С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Однако, как видно из (8.5), их сумма останется той же самой, так как стоящая в правой части (8.5) величина не зависит от ориента-§8. Момент инерции твердого тела108ции координатных осей. Таким образом, сумма моментов инерции Ix, Iy и Izотносительно любых трех взаимно перпендикулярных осей, проходящихчерез одну точку, зависит только от положения этой точки и не меняется сизменением ориентации осей.Для тонкой плоской пластинки произвольной формы из (8.5) вытекает еще одно полезное следствие. Если совместить координатную плоскость XOY c плоскостью пластинки, то z-координаты всех элементов пластинки будут равны нулю.
Поэтому стоящий в правой части (8.5) интегралпреобразуется в момент инерции пластинки Iz относительно оси OZ. Такимобразом, в случае плоского распределения масс справедливо соотношениеI x + I y + I z = 2I z , илиIx + I y = Iz .(8.6)Примеры решения задачПример 8.1. Вычислить момент инерции однородного стержня массой m идлиной l относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярностержню.Решение. Направим ось OX вдоль стержня, и поместим начало отсчета координаты в центр масс стержня (рис. 8.3).
Тогдаось вращения совпадает с осью OY. Выделимэлемент стержня длиной dx, находящийся нарасстоянии x от оси вращения. Момент инерцииданного элемента стержня равенРис. 8.3dI c = dm ⋅ x 2 =mdx ⋅ x 2 .lИнтегрируя по длине стержня, получаемmIc =ll /2∫x 2 dx =− l /2ml 2.12§8. Момент инерции твердого тела109Применяя теорему Гюйгенса – Штейнера, находим момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец:2I=ml 2ml 2⎛ l⎞+ m⎜ ⎟ =.⎝ 2⎠123Пример 8.2. Вычислить момент инерции тонкого однородного диска массой m и радиусом R относительно оси, а) проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска и б) совпадающей с диаметром диска.Решение.
Введем полярные координаты r и ϕ, поместив начало координат в центр диска (рис. 8.4).Элемент площади в полярных координатах равенdS = r dr dϕ ,а масса элемента диска с такой площадьюdm =mπR 2Рис. 8.4r dr dϕ .а) Учитывая, что расстояние от элемента диска до оси вращения равно r,получаем элементарный момент инерции относительно оси OZ, перпендикулярной диску,dI z = dm ⋅ r 2 =mπR 2r 3 dr dϕ .Интегрируя это выражение, находимIz =mπR 22πR∫ ∫dϕ r 3 dr =00mR 2.2§8.
Момент инерции твердого тела110Заметим, что такой же момент инерции имеет однородный цилиндр массойm и радиусом R относительно продольной оси.б) Отличие от предыдущего случая заключается в том, что расстояние отэлемента диска до оси вращения (оси OY) теперь равно x = r cos ϕ . Учитывая это, находим элементарный момент инерцииdI y = dm ⋅ x 2 =mπR 2r 3 cos2 ϕ ⋅ dr dϕ .ОкончательноIy =mπR 22π∫R∫cos2 ϕ ⋅ dϕ r 3 dr =00mR 2.4Пример 8.3. Вычислить момент инерции однородного кругового цилиндрамассой m, радиусом R и длиной L относительно оси, перпендикулярной осицилиндра и проходящей через его центр масс.Решение.
Выберем систему координаткак показано на рис. 8.5, поместив начало координат в центр масс цилиндра.Для вычисления момента инерции разобьем цилиндр на тонкие диски. Элементарный момент инерции диска толщиной dy, находящегося на расстоянииy от оси вращения, согласно теоремеГюйгенса-Штейнера равенРис. 8.5dI = dI c + dm ⋅ y 2 =R2 mm⋅ dy + y 2 dy .L4 LИнтегрируя это выражение по длине цилиндра, находим:§8. Момент инерции твердого телаmI=LL /2∫− L /2111mR 2 mL2⎛1 22⎞+.⎜ R + y ⎟ dy =⎝4⎠124Пример 8.4. Вычислить момент инерции однородного сплошного шарамассой m и радиусом R относительно оси, проходящей через центршара.Решение. Введем сферическую систему координат r, ϑ, ϕ, поместив началоотсчета в центр шара (рис. 8.6).
Элемент объема всферических координатах равенdV = r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ .Расстояние от этого элемента до оси вращения(оси OZ) равно r sin ϑ . Масса выделенного элемента шараРис. 8.6dm = ρ dV ,Плотность шара ρ можно вычислить, поделив массу шара на его объем, равный4πR 3 . Получим3ρ=3m4 πR 3.Элементарный момент инерции:dI = dm ⋅ (r sin ϑ) 2 = ρr 4 sin 3 ϑ dr dϕ dϑ .§8.
Момент инерции твердого тела112Интегрированием этого выражения по объему шара находим его моментинерции:2ππR∫ ∫∫I = ρ dϕ sin 3 ϑ dϑ r 4 dr =0002mR 2 .5Пример 8.5. Определить положение центра масс сплошного однородногоконуса высотой H.Решение. Выберем систему координат, изображенную на рис. 8.7. Учитывая осевую симметрию рассматриваемого тела, разобьемконуснатонкиедискимассойz⎞⎛dm = ρdV = ρπr 2 dz .
Здесь r = R ⎜1 − ⎟ – радиус⎝ H⎠диска, ρ – плотность, R – радиус основания конуса.В выбранной системе координата центра масс конуса выразится следующим образом:Рис. 8.7ρπR 2zc =mH∫02z⎞1⎛ρπR 2 H 2 .⎜1 − ⎟ zdz =⎝ H⎠12mгде m – масса конуса, равнаяH2z⎞1⎛m = ρπR 2 ⎜1 − ⎟ dz = ρπR 2 H .⎝ H⎠3∫0Окончательноzc =H.4Центр масс однородного сплошного конуса находится на его оси на расстоянии H / 4 от основания.§8. Момент инерции твердого тела113Задание для самостоятельной работы8.6. Вычислить момент инерции тонкой прямоугольной пластинки массой mсо сторонами a и b относительно оси, перпендикулярной пластинке и проходящей через ее центр.8.7.
Найти момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей через середину стержня и составляющей с ним угол α.8.8. Вычислить момент инерции кольца массой m с внутренним радиусом rи внешним радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскостикольца и проходящей через его центр.8.9. Вычислить момент инерции однородной тонкой пластинки массой m,имеющей форму эллипса с полуосями a и b, относительно оси, перпендикулярной пластинке и проходящей через центр эллипса.8.10.
Вычислить момент инерции однородной тонкой пластинки массой m,имеющей форму прямоугольного треугольника с острым углом α и прилежащим ему катетом b (рис. 8.8), относительно оси, перпендикулярной пластинке и проходящей через вершину острого угла.Рис. 8.8Рис. 8.98.11. Найти момент инерции круглого диска радиусом R с двумя вырезами ввиде кругов радиусами R/2 (рис.
8.9) относительно оси, перпендикулярнойплоскости диска и проходящей через центр. Толщина диска b, плотность ρ.114§8. Момент инерции твердого тела8.12. Вычислить момент инерции прямого кругового конуса массой m с радиусом основания R относительно оси симметрии.8.13. Найти момент инерции кругового конуса массой m, высотой H с радиусом основания R относительно оси, проходящей через вершину конуса иперпендикулярной его оси симметрии.8.14. Вычислить момент инерции тонкой сферы массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через центр сферы.8.15. Найти положение центра масс сплошного однородного тела, представляющего собой половину шара радиусом R.§9.
Динамика твердого тела115§9. Динамика твердого телаКраткие теоретические сведенияВ задачах динамики твердого тела различают следующие видыдвижения (см. §2): поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси, плоское движение, движение тела с одной неподвижной точкой.Согласно теореме о движении центра масс (см §5), при любом типедвижения тела справедливо уравнениеmac = F ,(9.1)где m – масса тела, ac – ускорение центра масс, F – сумма внешних сил, действующих на тело. Центр масс тела движется так, как будто в этой точкесосредоточена масса всего тела и к ней приложены все внешние силы.При поступательном движении тела перемещения, скорости и ускорения всех его точек одинаковы, поэтому уравнение (9.1) полностьюописывает такое движение.Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси имеет вид:Iε = M || ,(9.2)где I – момент инерции тела относительно оси, ε – вектор углового ускорения тела, M | | – составляющая суммы моментов внешних сил, параллельнаяоси вращения.
Для силы F, точка приложения которой описывается радиусвектором r с началом на оси вращения, M | | вычисляется по формулеM | | = [ r⊥ , F⊥ ] ,(9.3)§9. Динамика твердого тела116где r⊥ и F⊥ – составляющие радиус-вектора r и силы F в плоскости, перпендикулярной оси. Процедура нахождения векторной величины M | | проиллюстрирована на рис. 9.1.Вращение твердого тела, совершающего плоское движение, удобнее всего описывать в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центроммасс тела. В этой системе уравнение вращениятела совпадает по форме с (9.2).
Под I в данном случае следует понимать момент инерциитела Ic относительно оси, перпендикулярнойплоскости движения тела и проходящей черезцентр масс, под M | | –составляющую моментавнешних сил вдоль этой же оси.В некоторых задачах возникает необходимость вычислить кинетическую энергиютвердого тела, совершающего плоское движение. Для этого можно воспользоваться теоремой Кенига, согласно которойРис. 9.1. К вычислениюмомента силыΚ=m v c2 I ω 2+.22(9.4)Рассмотрим теперь движение тела с одной неподвижной точкой.Для анализа такого движения поместим начало неподвижной (лабораторной) системы координат в неподвижную точку тела и вычислим относительно нее момент импульса телаN=∑ [ri , mi vi ] ,(9.5)iи момент внешних силM=∑ [ri , Fi ] .i(9.6)§9. Динамика твердого тела117Здесь mi – масса, ri – радиус-вектор, vi – скорость i–й точки тела в лабораторной системе отсчета, Fi – сумма внешних сил, действующих на эту точку.
Суммирование в (9.5) и (9.6) проводится по всем точкам тела.Запишем уравнение моментов относительно неподвижной точки:dN=M.dt(9.7)Согласно теореме Эйлера (2.3) скорость i–й точки тела в лабораторной системе отсчета выражается через радиус-вектор этой точки ri и вектор мгновенной угловой скорости тела ω следующим образом:vi = [ω, ri ] .(9.8)Введем сопровождающую систему координат x, y, z, жестко связанную с телом. Эта система вращается относительно лабораторной системы с угловой скоростью ω.
Обозначим через d ′N приращение вектора N завремя dt относительно сопровождающей системы отсчета. ТогдаdN = d ′N + [ω, N ]dt .(9.9)Заметим, что если вектор N жестко связан с сопровождающей системойкоординат ( d ′N = 0 ), то за время dt он приобретает в лабораторной системеприращениеdN = [ω, N ]dt .(9.10)Важно отметить, что формула типа (9.10) справедлива вообще для любоговектора, жестко связанного с сопровождающей системой, в том числе дляортов этой системы.Из (9.7) и (9.9) следует, что§9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
