С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Так какx ≠ x ′ (см. рис. 6.1) , то иt ≠ t′ .(6.6)Это означает, что время течет по разному в разных системах отсчета.Преобразования Лоренца. Относительность времени приводит кнеобходимости поиска преобразований, описывающих переход отнеподвижной системы отсчета к системе, движущейся прямолинейно иравномерно, как преобразований не только координат, но и времени, т.е.преобразований, связывающих x , y, z, t и x ′, y ′, z ′, t ′ . Эти преобразованиявпервые были получены Лоренцем (1904) и имеют вид:x=x ′ +V t ′1 − V 2 / c2, y = y ′, z = z ′, t =t ′ + x ′V / c21 − V 2 / c2(6.7)Они линейны, обратимы, удовлетворяют принципу постоянства скоростисвета и в пределе при V / c → 0 переходят в преобразования Галилея.Таким образом, преобразования Лоренца можно рассматривать какобобщение преобразований Галилея.Принцип относительности Эйнштейна.
К концу XIX века физикойбыло накоплено много экспериментальных фактов, свидетельствующих отом, что не только механические, но и все физические явления вообщепротекают в системе отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно,§6. Релятивистская механика83так, как если бы эта система покоилась. Основываясь на этих данных,Эйнштейн сформулировал следующий принцип: “Никакими физическимиопытами, проведенными внутри данной системы отсчета, нельзяустановить, находится ли эта система в состоянии покоя или равномернопрямолинейно движется”.
Принципу Эйнштейна можно придатьматематическую форму: уравнения, описывающие физические законы,должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца.Заметим, что уравнения электромагнитного поля (уравнения Максвелла)удовлетворяют этому принципу.Релятивистское уравнение движения. Уравнение движенияматериальнойточкитакжедолжноудовлетворятьпринципуотносительности Эйнштейна. Для заряженной частицы в электромагнитномполе такое уравнение было получено Планком (1906) на основе второгозаконаНьютона,принципаотносительностииуравненийэлектромагнитного поля (уравнений Максвелла).
Это уравнение имеет вид& = F,p(6.8)где F – сила, действующая на заряд в электромагнитном поле (силаЛоренца),mvp=1 − v 2 / c2,(6.9)релятивистский импульс частицы, m – ее масса, v – скорость.Законы сохранения импульса и энергии в теории относительности.Если сумма внешних сил равна нулю, то релятивистский импульс ирелятивистская энергия системы частиц сохраняются:p=∑iE=∑imi vi1 − v i2 / c2m i c21 − v i2 / c2= const ,(6.10)= const .(6.11)§6.
Релятивистская механика84Суммирование производится по всем частицам системы. Заметим, что втеории относительности эти два закона не являются независимыми: законсохранения энергии является следствием закона сохранения импульса ипринципа относительности.Энергия покоя.
Из формулы для релятивистской энергии (6.11)видно, что покоящаяся частица массой m обладает энергиейE 0 = mc2(6.12)Эта энергия называется энергией покоя.Примеры решения задачПример 6.1. Написать обратные преобразования Лоренца.Решение. Примем за неподвижную систему отсчета систему S', показаннуюна рис. 6.1. Тогда система S, показанная на том же рисунке, будет двигатьсявлево (т.е. против оси O'X') со скоростью V.
Делая замену V на –V вформулах (6.7) и заменяя штрихованные величины на нештрихованные инаоборот, получимx′ =x −V t1 − V 2 / c2, y ′ = y, z ′ = z, t ′ =t − x V / c21 − V 2 / c2(6.13)Формулы (6.13) называются обратными преобразованиями Лоренца. Онипозволяют вычислить координаты материальной точки M в системе отсчетаS' в некоторый момент времени t' по часам этой системы, если известныкоординаты точки M в системе отсчета S в момент времени t. Заметим, чтоподстановка формул (6.13) в формулы (6.7) приводит к тождествам.
Этоозначает, что преобразования Лоренца обратимы.Пример 6.2. Собственными размерами тела называются его размеры в тойсистеме отсчета, в которой оно покоится. Пусть стержень собственнойдлиной L', расположенный параллельно оси OX, движется вдоль по этой оси§6. Релятивистская механика85со скоростью V. Какова длина L движущегося стержня, измеренная внеподвижной системе отсчета?Решение. Длина стержня равна разности координат его концов всоответствующей системе отсчета. В частности, собственная длина стержняL ′ = x 2′ − x1′(6.14)Длина движущегося стержняL = x 2 − x1(6.15)где x1 = x1 (t ), x 2 = x 2 (t ) – координаты концов стержня, измеренные в одини тот же момент времени в системе S. Зафиксируем момент времени t почасам этой системы. Из первой формулы (6.13) при t = const получаемx 1′ =x1 − V t1 − V 2 / c2, x 2′ =x 2 −V t1 − V 2 / c2.(6.16)Вычитая из второго уравнения (6.16) первое, и принимая во вниманиеформулы (6.14), (6.15), находимL′ =L1 − V 2 / c2,откудаL = L ′ 1 − V 2 / c2 .(6.17)Из формулы (6.17) видно, что L < L ′ , т.е.
длина движущегося стержняменьше его собственной длины. Этот эффект называют сокращением длиныдвижущегося стержня или лоренцевым сокращением.§6. Релятивистская механика86Пример 6.3. Пусть имеются двое неподвижных часов, расположенных наоси OX неподвижной системыотсчетаS на некоторомрасстоянии друг от друга, ичасы, движущиеся вдоль осиOX со скоростью V. Пусть все(а)(б)трое часов начинают отсчетРис.
6.2времени от момента, когдаподвижные часы проходят мимо левых неподвижных часов (рис. 6.2, а).Какое время t' покажут подвижные часы в момент прохождения ими правыхнеподвижных часов, если неподвижные часы показывают в этот моментвремя t?Решение. Пусть подвижные часы находятся в начале отсчета подвижнойсистемы S', показанной на рис. 6.1. Тогда координата этих часов вподвижной системеx′ = 0(6.18)Подставив выражение (6.18) в первую формулу (6.13), получимx =Vt .(6.19)Эта формула выражает координату подвижных часов в неподвижнойсистеме отсчета S. Подставив выражение (6.19) в последнюю формулу(6.13), получимt ′ = t 1 − V 2 / c2 .(6.20)Из формулы (6.20) видно, что t ′ < t .
Это означает, что в движущейсясистеме отсчета время течет медленнее, чем в неподвижной системе (рис.6.2, б). Этот эффект называют замедлением времени.§6. Релятивистская механикаПример 6.4. Вывестиотносительности.правила87сложенияскоростейвтеорииРешение. Пусть некоторая материальная точка M произвольным образомдвижется относительно неподвижной S и подвижной S' систем отсчета,показанных на рис. 6.1. Декартовы проекции скорости точки накоординатные оси указанных систем отсчета определяются формуламиvx =dxdydz, vy =, vz =dtdtdt(6.21)v′x =dx ′dy ′dz ′, vy =, v′z =.′′dtdtdt ′(6.22)иВычислим дифференциалы от величин x , y, z, t , определяемых формулами(6.7):dx =dx ′ + V dt ′1 − V 2 / c2, dy = dy ′, dz = dz ′, dt =dt ′ + (V / c2 )dx ′1 − V 2 / c2.
(6.23)Из формул (6.21) – (6.23) следует, чтоvx =v x′ + Vdxdx ′ + V dt ′==.2dt dt ′ + (V / c )dx ′ 1 + v x′ V / c2(6.24)v ′y 1 − V 2 / c2dy dy ′ 1 − V 2 / c2==dt dt ′ + (V / c2 )dx ′1 + v x′ V / c2(6.25)Аналогичноvy =и§6. Релятивистская механика88vz =dz v z′ 1 − V 2 / c2=.dt1 + v x′ V / c2(6.26)Формулы (6.24) – (6.26) позволяют найти декартовы проекции скоростичастицы в неподвижной системе отсчета S, если известны декартовыпроекции скорости частицы в подвижной системе S' и скорость движенияподвижной системы. Как и преобразования Лоренца, правила сложенияскоростей являются обратимыми. Например,v x′ =vx −V1 − v xV / c2.Положив v x′ = c , по формуле (6.24) получим v x = c .
Таким образом,полученные формулы удовлетворяют принципу постоянства скоростисвета. В пределе при V / c → 0 релятивистские правила сложенияскоростей переходят в классические правила сложения скоростей Галилея(6.2).Пример 6.5. Преобразование ускорений. Пусть известны декартовыпроекции скорости v x′ , v ′y , v z′ и ускорения ax′ , a′y , az′ материальной точкиотносительно подвижной системы отсчета S', показанной на рис. 6.1, атакже скорость движения этой системы V относительно неподвижнойсистемы S. Найти декартовы проекции ускорения ax , a y , az материальнойточки относительно неподвижной системы S.Решение.
Декартовы проекции ускорения материальнойотносительно систем S и S' определяются формуламиax =иdv ydvdv x, ay =, az = zdtdtdtточки(6.27)§6. Релятивистская механикаax′ =89dv ′ydv ′dv x′, a′y =, az′ = z .dt ′dt ′dt ′(6.28)Возьмем дифференциал от правой и левой частей формулы (6.24). Получимdv x =(1 + v x′ V / c2 )dv x′ − (v x′ + V )(V / c2 )dv x′(1 + v x′ V / c2 ) 2=(1 − V 2 / c2 )dv x′(1 + v x′ V / c2 ) 2.(6.29)Используя формулы (6.29), (6.28) и четвертую формулу (6.23), находимax =(1 − V 2 / c2 )dv x′ 1 − V 2 / c2(1 − V 2 / c2 ) 3/ 2 ax′dv x==.dt(1 + v x′ V / c2 ) 2 (dt ′ + (V / c2 )dx ′)(1 + v x′ V / c2 ) 3(6.30)Аналогично получаемdv y = 1 − V 2 / c2 ⋅(1 + v x′ V / c2 )dv ′y − v ′y (V / c2 )dv x′(1 + v x′ V / c2 ) 2иay[(1 + v′ V / c )a′ − v′ (V / c )a′ ](1 −V=x2y2y(1 + v x′ V / c2)x2),(6.31)).(6.32)/ c23а также[(1 + v′ V / c )a′ − v ′ (V / c )a′ ](1 −Va =xz2z(z21 + v x′ V / c2)x32/ c2Формулы обратного преобразования для компонент ускорения легкополучить, заменив, как обычно, в формулах прямого преобразования V на –V и штрихованные величины на нештрихованные и наоборот.
Например,§6. Релятивистская механика90(1 −V / c ) aa′ =(1 − v V / c )22x3/2x2x3.(6.33)Пример 6.6. На частицу массой m действует сила F. Найти ускорениечастицы a, если ее скорость v = 0,8 c , а направление силы совпадает снаправлением скорости.Решение. Направим ось OX вдоль векторов F и v.
Тогда v = v x = x& ,v y = v z = 0 и Fx = F , Fy = Fz = 0 . Запишем релятивистское уравнениедвижения точки⎞d ⎛⎜mv⎟ = F.dt ⎜⎝ 1 − v 2 / c2 ⎟⎠Проектируя это уравнение на осьx , получим⎞d ⎛⎜mx&⎟ =F.⎜dt ⎝ 1 − x& 2 / c2 ⎟⎠(6.34)Выполняя дифференцирование в формуле (6.34), находим1⎛ 1⎞+ mx& ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅2⎝⎠2&1x(/ c2 ) 3/ 2−1 − x& / cmx&&22илиmx&&22 3/2(1 − x& / c )откуда⎛ x& 2 x& 2 ⎞⎜⎜1 − 2 + 2 ⎟⎟ = F ,c ⎠⎝ c⎛ 1⎞⋅ ⎜ − 2 ⎟ ⋅ 2x& x&& = F⎝ c ⎠§6. Релятивистская механикаF ⎛ x& 2 ⎞⎜1 − ⎟m ⎜⎝ c2 ⎟⎠x&& =913/2.F ⎛ v2 ⎞Таким образом, a = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟m⎝ c ⎠3/2,8≈ 01F.mПример 6.7.
Неупругий удар. Две частицы массой m каждая летятнавстречу друг другу со скоростями v. В результате столкновения частицыслипаются. Найти массу M образовавшегося тела.Решение. Так как сумма внешних сил равна нулю, сохраняютсярелятивистские импульс и энергия системы. Используя формулы (6.10),(6.11), получим уравненияmv221− v / c−mv221− v / c=MV(6.35)1 − V 2 / c2иmc 21 − v2 / c2+mc 21− v2 / c2=Mc 21−V 2 / c2.(6.36)Согласно уравнению (6.35) скорость образовавшегося тела равна нулю:V = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
