С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 8
Текст из файла (страница 8)
4.8. Считать, что нити нерастяжимы и грузики совершают только вертикальные перемещения. Массой нитей и блоков пренебречь,трение и сопротивление воздуха не учитывать.Решение. В проекции на вертикальную координатную ось, направленнуювниз, уравнения движения грузиков имеют вид:m1a1 = m1 g − T1 , m2 a2 = m2 g − T2 , m3 a3 = m3 g − T3 .Из невесомости нитей и блоков вытекают следующиесоотношения между силами натяжения:T1′ = T1 , T3 = T2 , T1 = 2T2 .Рис.4.8Условие нерастяжимости нитей накладывает кинематическую связь на ускорения грузиков (см.
задачу 1.10):2a1 + a2 + a3 = 0 .§4. Динамика материальной точки. Законы Ньютона61Решая полученную систему уравнений, находим ответ:T1 =8 gm1m2 m31, T2 = T1 ,4 m2 m3 + m1 ( m2 + m3 )2a1 =m1 ( m2 + m3 ) − 4 m2 m34 m2 m3 + m1 ( m2 − 3m3 )g , a2 =g,4 m2 m3 + m1 ( m2 + m3 )4 m2 m3 + m1 ( m2 + m3 )a3 =4 m2 m3 + m1 ( m3 − 3m2 )g.4 m2 m3 + m1 ( m2 + m3 )Задание для самостоятельной работы4.6. Лодка под парусом развила скорость v0.
Как будет убывать скоростьлодки в спокойной воде после спуска паруса, если сопротивление воды пропорционально скорости и коэффициент сопротивления равен β? Какой путьлодка пройдет до полной остановки? Масса лодки m.4.7. Из неподвижного облака через интервал времени τ одна за другой начинают падать две дождевые капли массой m каждая.
Как будет изменятьсясо временем расстояние между ними? Решить задачу для двух случаев: 1)полагая, что сопротивление воздуха пренебрежимо мало; 2) полагая, чтосопротивление воздуха пропорционально скорости капель и коэффициентсопротивления равен β. Ускорение свободного падения g.4.8. Материальная точка массой m движется по окружности радиусом R.Найти модуль среднего вектора силы |Fср|, действующей на эту точку напути, равном четверти длины окружности, если точка движется: 1) равномерно со скоростью v; 2) с постоянным по величине тангенциальным ускорением aτ без начальной скорости.4.9.
Кусок однородного каната висит вертикально, причем его нижний ко-§4. Динамика материальной точки. Законы Ньютона62нец касается горизонтального стола. Найти силу F давления каната на столпри его падении, выразив ее через вес P1 части каната, уже лежащей на столе.4.10. На гладкую сферическую поверхность радиусом R положили цепочкудлиной l ( l < πR / 2 ) и закрепили один из ее концов на вершине сферы. Скаким по величине ускорением начнет двигаться цепочка, если ее верхнийконец освободить?4.11.
Маленькое тело соскальзывает без начальной скорости по внутреннейповерхности полусферы с высоты, равной ее радиусу (рис. 4.9). Одна половина полусферы абсолютно гладкая, а другая – шероховатая, причемна этой половине коэффициент трения междуРис. 4.9телом и поверхностью μ = 0,15. Определить ускорение a тела в тот момент, когда оно только перейдет на шероховатуюповерхность.
Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с2.4.12. Несколько наклонных плоскостей (a1, a2 , . . . ) имеютРис. 4.10общее основание, но разные углы наклона (рис. 4.10). Каков должен быть угол α наклона плоскости к горизонту,чтобы время соскальзывания небольшого тела с ее вершины было минимальным? Коэффициент трения между теломи плоскостью μ.4.13. В системе, изображенной на рис. 4.11, массы телравны m0, m1, m2, трение отсутствует, массы блоков инитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела массой m1. При каком условии оно равно нулю?Рис. 4.114.14.
Через легкий, вращающийся без трения блок перекинут шнурок. Наодном конце шнурка привязан груз массой m1. По другому концу шнурка с§4. Динамика материальной точки. Законы Ньютона63постоянным относительно шнурка ускорением a2 скользит кольцо массойm2. Найти ускорение a1 груза m1 и силу трения R кольца о шнурок. Массойшнурка пренебречь.4.15. Два блока подвешены на динамометре, как показано нарис. 4.12.
К свободному концу нити, пропущенной через блоки, прикреплен груз массой m, на подвижном блоке виситгруз массой M. В некоторый момент грузы предоставили самим себе. Найти показание динамометра при движении грузов. Массы блоков пренебрежимо малы.Рис. 4.124.16. Максимальная скорость, с которой велосипедист может пройти поворот радиусом R на велотреке с горизонтально расположенным дорожнымполотном, равна v. С какой максимальной скоростью u велосипедист можетпройти такой же поворот на треке с дорожным полотном, расположеннымпод углом α к горизонтали?§5. Законы сохранения импульса и энергии64§5. Законы сохранения импульса и энергииКраткие теоретические сведенияРезультаты некоторых механических процессов не зависят от того,как развивается процесс во времени.
Например, если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то тело, брошенное вертикально вверх, вернется вточку броска с начальной скоростью независимо от того, как долго продолжался полет. При выстреле пушка приобретает импульс отдачи, зависящийтолько от массы и скорости снаряда, но не зависящий от длины ствола и т.п.Теория, основанная на законах Ньютона, предсказывает существование втаких процессах сохраняющихся величин, к числу которых относятся импульс и энергия.Импульсом материальной точки называется произведение массыэтой точки на ее скорость:p = mv .(5.1)Импульсом системы частиц называется сумма импульсов отдельных частицсистемы:Np=∑ mi vi .(5.2)i =1Важную роль в механике играет понятие центра масс системы частиц. Так называется воображаемая точка, радиус-вектор которой определяется формулойrc =1mN∑ mi ri .i =1(5.3)§5.
Законы сохранения импульса и энергии65NЗдесь mi – масса отдельной частицы, ri – ее радиус-вектор, m =∑ mi–i =1полная масса системы. Скорость и ускорение центра масс описываются выражениямиvc =1mN∑mi vi , a c =i =11mN∑ mi a i .(5.4)i =1Используя понятие центра масс, импульс системы тел можно записать в виде:p = m vc .(5.5)По отношению к данной механической системе все силы делятся навнутренние и внешние.
Внутренними силами называются силы взаимодействия между телами системы, внешними – силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в данную систему. Из законов Ньютонаследует закон изменения импульса: скорость изменения импульса системытел равна сумме внешних сил:p& = mv& c = Fвнешн .(5.6)Этот закон можно сформулировать также следующим образом:центр масс системы частиц движется так, как двигалась бы материальнаяточка, масса которой равна массе системы, если бы к этой точке были приложены все внешние силы.
Последнее утверждение называют законом движения центра масс или теоремой о движении центра масс.Согласно закону сохранения импульса, если сумма внешних силравна нулю, то импульс механической системы сохраняется:Np=∑ mi vi = const .i =1(5.7)§5. Законы сохранения импульса и энергии66Если внешние силы на систему действуют, но существует такая ось, например, ось OX, в проекции на которую сумма внешних сил равна нулю, топроекция импульса системы на эту ось сохраняется:Npx =∑ mi vix = const .(5.8)i =1Заметим, что из сохранения импульса относительно какой-либоодной инерциальной системы отсчета и правила сложения скоростей следует сохранение импульса и относительно любой другой инерциальной системы.Кинетической энергией материальной точки называется величинаΚ=1mv 2 ,2(5.9)Кинетической энергией системы частиц называется сумма кинетическихэнергий отдельных частиц:Κ=12N∑ mi vi2 .i =1Элементарной работой силы называется скалярное произведениесилы на бесконечно малое перемещение точки приложения силы:dA = Fdr .(5.10)Работой силы на траектории L называется интеграл∫A = dA ,L(5.11)§5.
Законы сохранения импульса и энергии67т.е. сумма элементарных работ, взятая по всем участкам траектории движения точки. Согласно теореме об изменении кинетической энергии, приращение кинетической энергии материальной точки равно элементарной работе действующей на нее силы:dΚ = dA .(5.12)Если работа силы, действующей на материальную точку, равна нулю при перемещении этой точки по любой замкнутой траектории, то силаназывается потенциальной. Математически условие потенциальности силызаписывается в виде∫ Fdr = 0 .(5.13)Любое однородное или центральное силовое поле является потенциальным. Наиболее важные примеры потенциальных сил – сила тяжести,сила упругости, сила Кулона. В противоположность этому сила трения, работа которой по любому замкнутому пути всегда отлична от нуля, являетсянепотенциальной силой.Для сил, обладающих свойством (5.13), можно ввести потенциальную энергию Π.
Приращение потенциальной энергии определяется как взятая со знаком минус элементарная работа потенциальной силы:dΠ = −Fdr .(5.14)В соответствии с этим потенциальной энергией материальной точки в силовом поле называется интеграл∫Π = dΠ ,(5.15)взятый по любому пути. Потенциальной энергией системы тел называетсясумма потенциальных энергий отдельных тел системы во внешнем поле иэнергия взаимодействия тел друг с другом:§5. Законы сохранения импульса и энергии68NΠ=∑NΠi +i =1∑ Π ij .(5.16)i, j =1i< jЗаметим, что данное выше определение потенциальной энергиипозволяет вычислить ее с точностью до произвольной постоянной, значениекоторой зависит от выбора начала отсчета (нулевого уровня) потенциальной энергии. Конкретный выбор нулевого уровня определяется удобствомрешения той или иной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
