С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Кинематика материальной точки20Дифференцируя это соотношение по времени, получаем уравнения связидля скоростей и ускорений грузиков:v1x + 2v2 x = 0, a1x + 2a2 x = 0 .Задание для самостоятельной работы1.6. Положение материальной точки на плоскости XOY задано полярнымикоординатами ρ(t) и ϕ(t) (см. пример 1.1 и рис. 1.6). Найти модуль ускорения точки a, считая ρ(t) и ϕ(t) известными функциями времени.1.7. Декартовы координаты материальной точки, движущейся в плоскостиXOY, изменяются по закону: x = b cos ωt , y = c sin ωt , где b, c и ω – положительные постоянные.
Найти уравнение траектории точки, величину инаправление ее ускорения.1.8. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону:r = bt(1 − αt) , где b – постоянный вектор, α – положительная константа.Найти скорость v(t) и ускорение точки a(t) в зависимости от времени, времяτ, через которое точка вернется в исходное положение, путь S, пройденныйпри этом точкой.1.9. Частица движется в плоскости XOY по закону: x = bt , y = bt (1 − αt ) ,где b и α – положительные постоянные.
Найти уравнение траектории частицы, скорость v(t) и ускорение a(t) частицы в зависимости от времени,время τ, через которое угол между скоростью v(t) и ускорением a(t) будетсоставлять π / 4 .1.10. Точка движется по окружности радиусом R так, что ее тангенциальноеускорение все время равно нормальному. Найдите закон изменения величины скорости точки, полагая, что в момент начала отсчета движения точкаимела скорость v0.
Составьте уравнение движения точки по окружности в§1. Кинематика материальной точки21виде зависимости пройденного ею пути от времени.1.11. Материальная точка, подвешенная на нити длиной l (математическиймаятник) совершает колебания по закону α = α 0 cos ωt , где α – угол отклонения нити от вертикали, α 0 – угловая амплитуда колебаний, ω – циклическая частота. Найти величину полного ускорения материальной точки приα = 0 и α = ±α 0 , а также минимальное значение полного ускорения и значение α m , ему соответствующее.1.12.
На каком расстоянии l от подножья обрыва и под каким углом α к горизонту нужно установить миномет (рис. 1.11), чтобы дальность S полета мин над плоскогорьем была максимальной? Чему равна эта дальность? Высотаобрыва h, начальная скоростьРис. 1.11мин v0.1.13. На какое расстояние l вниз по течению снесет пловца, переплывающего реку шириной L, если он направляет свою скорость v0 перпендикулярноберегу? Рассмотреть три случая:(а)(б)(в)Рис.
1.121) скорость течения по всей ширине реки постоянна и равна u0§1. Кинематика материальной точки22(рис. 1.12, а);2) скорость течения в зависимости от координаты y изменяется по закоu ( y) = 2u0 y / L при 0 ≤ y ≤ L / 2 ,u ( y) = 2u0 (L − y) / L прину:L / 2 ≤ y ≤ L (рис.
1.12, б);3) скорость течения в зависимости от координаты y изменяется по зако-()ну: u ( y) = u0 1 − 4( x − L / 2) 2 / L2 (рис. 1.12, в).1.14. Абсолютно жесткий стержень движется в плоскости, перпендикулярной двум другим плоскостям, образующим прямой угол (рис. 1.1.13). Зная внекоторый момент времени скорость левого конца стержня vy и угол α между стержнем и осью OY, найти в этот момент скорость vx правого концастержня и скорость vc его центра.1.15. Найти уравнения связей для координат, скоростей и ускорений грузиков в системе, изображенной на рис. 1.14.
Считать, что грузики движутсявертикально, нити нерастяжимы и все время натянуты.Рис. 1.13Рис. 1.14§2. Кинематика твердого тела23§2. Кинематика твердого телаКраткие теоретические сведенияПод твердым телом в механике понимают систему материальныхточек, расстояние между любой парой которых всегда остается неизменным. Иными словами, это тело, форма и размеры которого не меняются впроцессе движения. В общем случае для описания положения тела в пространстве необходимы шесть независимых координат: три координаты характеризуют положение какой-либо точки тела (например, его центра масс),еще три задают его ориентацию в пространстве. Различают следующие виды движений твердого тела: поступательное движение, вращение вокругнеподвижной оси (или просто вращение), плоское движение, движение содной неподвижной точкой и произвольное движение.Поступательным называют такое движение тела, при котором егоориентация в пространстве остается неизменной.
В этом случае перемещение тела полностью определяется перемещением какой-либо одной его точки. Поэтому кинематика поступательного движения тела по существу сводится к кинематике материальной точки. При поступательном движениискорости всех точек тела одинаковы: vi = v . Ускорения всех точек телатакже равны друг другу: a i = a .Вращение вокруг неподвижной оси – это движение, при которомвсе точки тела движутся по окружностям, а центры всех окружностей лежатна одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения – это прямаялиния, на которой лежат неподвижные точки тела. Примерами вращательного движения являются вращение карусели, колебания маятника и т.п.Положение тела в пространстве удобно характеризовать углом поворота относительно некоторого фиксированного положения.
Обозначимэтот угол через ϕ и будем считать, что ϕ измеряется в радианах. Закон движения тела можно представить в виде зависимости угла поворота от времени: ϕ = ϕ(t).§2. Кинематика твердого тела24Угловой скоростью вращения тела называется производная углаповорота тела по времениω=dϕ= ϕ& .dt(2.1)Угловая скорость характеризует быстроту изменения ориентациитела в пространстве и измеряется в радианах в секунду. Если угловая скорость вращения тела известна, то величину скорости любой точки тела относительно неподвижной системы отсчета можно выразить по формулеv i = ωri⊥ ,(2.2)где ri⊥ – расстояние от данной точки тела до оси вращения.Чтобы записать выражение для вектора скорости vi произвольнойточки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, вводят понятие вектора угловой скорости.
Так называется вектор ω, направленный вдоль оси вращения тела по правилу правоговинта (рис. 2.1) и равный по модулю производной углаповорота тела по времени. Вектор скорости произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижнойоси, равен векторному произведению вектора угловойРис. 2.1. Векторскорости вращения тела на радиус-вектор точки с начаугловой скоростилом на оси вращения:vi = [ω, ri ] .(2.3)Угловым ускорением вращения тела называется производная угловой скорости по времени:ε=dω d 2 ϕ= 2 .dtdt(2.4)§2.
Кинематика твердого тела25Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скоростивращения тела и измеряется в радианах на секунду в квадрате. Если угловоеускорение известно, то величину тангенциального ускорения любой точкитела можно найти по формуле:aiτ = εri⊥ .(2.5)Вектором углового ускорения называется производная вектора угловой скорости по времени:ε=dω.dt(2.6)Плоским называют такое движение твердого тела, при котором всеего точки движутся в параллельных фиксированных плоскостях. Например,качение автомобильного колеса по прямолинейному участку дороги является плоским движением.Плоское движение можно рассматривать как суперпозицию поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси.
Введем вспомогательную (“сопровождающую”) систему координат, начало которой связано с какой-либо точкой тела (например с центром масс), а оси параллельныосям неподвижной системы. Относительно неподвижной системы сопровождающая система координат совершает поступательное движение. Обозначим скорость этого движения через vc . В сопровождающей системе отсчетадвижение тела представляет собой вращение вокруг неподвижной оси. Заметим, что угловая скорость вращения ω не зависит от того, с какой именноточкой тела связано начало сопровождающей системы отсчета. Кроме того,при плоском движении ориентация вектора ω не зависит от времени.Применяя правило сложения скоростей, согласно которому абсолютная скорость материальной точки равна сумме ее относительной скорости и скорости движущейся системы отсчета, скорость произвольной точкитела можно записать в виде§2.
Кинематика твердого тела26v i = v c + [ω, ric ](2.7)Здесь ric – радиус-вектор данной точки тела в сопровождающей системекоординат.Рассмотрим теперь движение тела с одной неподвижной точкой.Примерами такого движения могут служить вращение гироскопа на кардановом подвесе, вращение волчка, опирающегося о неподвижную шероховатую поверхность и т.п.В соответствии с теоремой Эйлера движение тела, закрепленного водной точке, можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси,т.е. прямой, проходящей через неподвижные в данный момент времени точки тела, в том числе через точку закрепления.Математически теорема Эйлера выражается формулой (2.3), в которой vi – скорость некоторой точки тела, ω – вектор мгновенной угловойскорости вращения, ri – радиус-вектор данной точки тела. При этом предполагается, что начало отсчета выбрано в точке закрепления тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
