С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Симметричным волчком называется тело, у которого совпадаютдва из трех главных момента инерции. Свободным называют вращение,происходящее в отсутствие моментов внешних сил. Используя уравненияЭйлера, для интересующего нас движения можно записатьω& x + Ωω y = 0, ω& y − Ωω x = 0, ω& z = 0 .(9.14)ЗдесьΩ=IB − IAω z0 ,IA(9.15)и введены обозначения I x = I y ≡ I A , I z ≡ I B , причем I A ≠ I B . В силу того,что в данном случаеω z (t ) = ω z 0 = const ,(9.16)уравнения (9.14) являются линейными.
Их решение записывается в видеω x (t ) = ω 0 cos(Ωt + ϕ), ω y (t ) = ω 0 sin( Ωt + ϕ) ,(9.17)где ω0 и ϕ – постоянные. Согласно формулам (9.16), (9.17), вектор мгновенной угловой скорости ω вращается по конусу вокруг оси OZ, которая является осью симметрии волчка. Это движение происходит равномерно с угловой скоростью Ω.
В силу формул (9.12), (9.16), (9.17),N x (t ) = N 0 cos(Ωt + ϕ), N y (t ) = N 0 sin(Ωt + ϕ), N z (t ) = N 0 = const .Это означает, что вектор момента импульса волчка также вращается по конической поверхности вокруг оси симметрии волчка синхронно с векторомω (рис. 9.7). Так выглядит картина движения векторов N и ω относительноглавных осей инерции волчка.
С другой стороны, относительно лабораторной системы отсчета вектор N должен быть неподвижным, как того требует§9. Динамика твердого тела128теорема моментов. Следовательно, относительно неподвижной системыотсчета волчок движется так, как если бы он был "вморожен" в конус, катящийся без проскальзывания по поверхности другого конуса (рис. 9.8).Рис. 9.7Рис. 9.8Пример 9.6. Вычислить кинетическую энергию твердого тела, совершающего произвольное движение.Решение. Согласно теореме Кенига кинетическая энергия твердого телапредставима в виде суммы кинетический энергии поступательного движения тела (кинетической энергии центра масс) Κc и кинетической энергиивращения тела вокруг центра масс Κoc.
Для тела массой m, центр масс которого движется со скоростью vc,Κc =1m v c2 .2Величину Κoc можно вычислить, перейдя в поступательно движущуюся систему отсчета, начало которой помещено в центр масс тела, и воспользоваться результатами, полученными выше для тела с одной неподвижной точкой. Используя определение кинетической энергии и формулу(9.8), получаем§9.
Динамика твердого телаΚ oc ==121212911∑ mi vi2 = 2 ∑ mi vi vi = 2 ∑ mi vi [ω, ri ] =iii1∑ mi ω[ri , vi ] = 2 ω ∑ [ri , mi vi ] ,iiилиK oc =()11ωN = ω x N x + ω y N y + ω z N z ,22Принимая во внимание формулы (9.12), последнее выражение можно представить в видеK oc =()1I x ω 2x + I y ω 2y + I z ω 2z .2Окончательно получаемK=()11m v c2 + I x ω 2x + I y ω 2y + I z ω 2z .22Задание для самостоятельной работы9.7.
Найти ускорение грузиков в системе, изображенной на рис. 9.9. Массыгрузиков m1 и m2, момент инерции блока I, радиус R. Грузики могут перемещаться только по вертикали, нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает относительно блока. Трение в подшипнике блока пренебрежимо мало.9.8. Найти угловое ускорение верхнего блока в системе, изображенной нарис. 9.10.
Массы блоков и грузика одинаковы, блоки представляют собойоднородные диски радиусом R, нить относительно блоков не проскальзывает.§9. Динамика твердого тела1309.9. В системе, изображенной на рис. 9.11, ворот приводится во вращениегрузиком массой m, подвешенным на нити, которая намотана на шкив ворота. Масса ворота M, момент инерции I, радиус шкива r.
Найти силу растяжения T опоры, на которой подвешен ворот. Изменится ли эта сила, когдагрузик будет подниматься вверх вследствие инерции раскрутившегося ворота?Рис. 9.9Рис. 9.10Рис. 9.119.10. К нити, намотанной на сплошной однородный цилиндр массой M ирадиусом R, привязан грузик массой m. Нить переброшена через блок пренебрежимо малой массы (рис. 9.12). Найти ускорение грузика a и ускорениецентра масс цилиндра ac. Считать, что цилиндр катится без проскальзывания.9.11. В задаче 9.10 найти, каким должен быть коэффициент трения μ цилиндра о плоскость, чтобы цилиндр катился по плоскости без проскальзывания.9.12.
В задаче 9.10 найти ускорение грузика a и ускорение центра масс цилиндра ac, считая, что цилиндр катится по плоскости с проскальзыванием.Коэффициент трения цилиндра о плоскость равен μ.9.13. На подставке, имеющей массу m1, укреплена ось, вокруг которой может свободно вращаться цилиндр радиусом R и массой m2. Нить, намотанная на цилиндр, прикреплена к телу массой m3 (рис. 9.13). Определить ус-§9. Динамика твердого тела131корение подставки a1 при условии, что к телу массой m3 приложена горизонтальная сила F и трения нет.Рис. 9.12Рис. 9.139.14. Однородный цилиндр массой m и радиусом R раскрутили до угловойскорости ω0 и опустили на доску массой M, лежащую на гладком столе.Коэффициент трения между цилиндром и доской равен μ, трение междудоской и столом отсутствует.
Найти скорости v1 и v2, которые будут иметь,соответственно, центр масс цилиндра и доска после того, как движение цилиндра относительно доски перейдет в качение без проскальзывания.9.15. На гладком горизонтальном столе лежит доска массой M, а на ней цилиндр массой m и радиусом R (рис. 9.14). К доске приложена горизонтальная сила F.
Найти ускорение доски, считая, что цилиндр катится по доскебез проскальзывания. Трением между доской и столом пренебречь.Рис. 9.14Рис. 9.159.16. На гладком горизонтальном столе лежит доска массой M, а на ней цилиндр массой m и радиусом R (рис. 9.14). Коэффициент трения между доской и цилиндром равен μ. Какую наибольшую силу F можно приложить к132§9. Динамика твердого теладоске в горизонтальном направлении, чтобы цилиндр катился по доске безпроскальзывания. Трением между доской и столом пренебречь.9.17. Два катка, связанные штангой, скатываются без проскальзывания понаклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 9.15).
Каткиимеют одинаковые массы m и радиусы R; момент инерции первого катка I1,второго I2. Найти ускорение, с которым катки скатываются по наклоннойплоскости. Массой штанги пренебречь.9.18. Бильярдному шару ударом сообщили поступательное движение соскоростью v0. Через какое время t0 движение шара перейдет в качение безпроскальзывания, если коэффициент трения шара о поверхность бильярдного стола равен μ?9.19.
Столб высотой h подпиливают у основания. Найти скорость верхнегоконца столба в момент падения на землю, если нижний конец столба припадении не смещается.9.20. Два одинаковых конуса касаются друг друга боковыми поверхностямитак, что их оси параллельны. Первый конус вращается с угловой скоростьюω1. Найти угловую скорость вращения второго конуса ω2.
Считать, что силатрения равномерно распределена вдоль линии касания конусов.§10. Закон сохранения момента импульса133§10. Закон сохранения момента импульсаКраткие теоретические сведенияСогласно уравнению моментов (см. §9) скорость изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки (полюса) равнасумме моментов внешних сил относительно той же точки:dN=M.dt(10.1)Отсюда следует закон сохранения момента импульса относительнополюса: если сумма моментов внешних сил относительно неподвижногополюса равна нулю, то момент импульса системы относительно полюсасохраняется.По отношению к любой оси (например, оси OZ) момент импульсаможно разложить на две составляющие: параллельную N | | и перпендикулярную N ⊥ этой оси: N = N | | + N ⊥ . Моментом импульса относительнооси называется проекция Nz вектора N на эту ось.
Очевидно, что вклад вмомент импульса относительно оси дает только составляющая N | | . Поэтому можно записать, чтоN z = kN | | ,(10.2)где k – единичный вектор вдоль оси OZ. Нетрудно показать, что для материальной точкиN | | = [r⊥ , m v⊥ ] ,(10.3)где r⊥ и v⊥ – составляющие радиус-вектора точки и ее скорости, перпендикулярные оси. Аналогично определяется N | | для системы материальныхточек.§10. Закон сохранения момента импульса134Если сумма моментов внешних сил относительно какой-либо неподвижной оси равна нулю, то момент импульса системы относительноэтой оси сохраняется.
Это утверждение носит название закона сохранениямомента импульса относительно оси.При решении задач этого раздела необходимо уметь вычислять моменты импульса материальной точки, твердого тела, вращающегося вокругнеподвижной оси, а также твердого тела, совершающего плоское движение.Рассмотрим эти случаи отдельно.Момент импульса материальной точки. На рис.
10.1 изображеначастица массой m, движущаяся по прямой со скоростью v. Момент импульса этой частицы относительно полюса O перпендикулярен плоскости рисунка и направлен от нас. Величина момента импульса равнаN = rm v sin α = m vR ,(10.4)где α – угол между векторами r и v, R = r sin α . Таким образом, моментимпульса материальной точки равен произведению ее импульса на расстояние от начала отсчета (полюса) до линии движения точки. В частности, есливыбрать начало отсчета на линии движения точки, то момент импульса будет равен нулю.Рис. 10.1. К вычислениюмомента импульсаматериальной точкиРис. 10.2.
К вычислениюмомента импульса телас неподвижной осью вращенияТело, имеющее неподвижную ось вращения (рис. 10.2). Составляющая момента импульса тела, параллельная оси вращения равнаN | | = Iω ,(10.5)где I – момент инерции тела относительно оси вращения, ω – вектор угло-§10. Закон сохранения момента импульса135вой скорости.Вращающееся тело обладает кинетической энергиейΚ=Iω 2.2(10.6)Плоское движение твердого тела. При плоском движении ось вращения тела движется поступательно, не меняя своей ориентации в пространстве. Составляющая момента импульса тела, параллельная оси вращения, равнаN | | = [rc⊥ , m vc ] + I cω .(10.7)Здесь m – масса тела, vc –скорость центра масс, Iс – момент инерции телаотносительно оси, проходящей черезцентр масс, rc⊥ – составляющая радиусвектора центра масс тела, перпендикулярная оси вращения (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
