С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Здесь H = H (q, p, t ) –функция Гамильтона (гамильтониан) системы, определяемая формулойsH =∑ q& j p j − L .(11.13)j =1Переход от обобщенных скоростей к обобщенным импульсам производитсяс помощью формул (11.10), которые можно рассматривать как системууравнений, связывающих между собой величины q&1, q&2 , L, q& s иp1, p2 , L, ps .Если гамильтониан системы не содержит явной зависимости отвремени, то система называется консервативной.
К числу консервативныхсистем относятся системы с идеальными голономными стационарными связями (или вообще без связей) и потенциальными заданными силами. Гамильтониан консервативной системы есть постоянная движения, имеющаясмысл полной механической энергии системы:H (q, p) = Κ(q, p) + Π(q) .(11.14)Примеры решения задачПример 11.1. Два грузика массами m1 и m2 связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок с радиусом R и моментом инерции I(рис.
11.1). Ось блока неподвижна, грузики могут перемещаться только повертикали, нить не проскальзывает относительно блока и все время натянута, трение в подшипнике пренебрежимо мало. Найти лагранжиан системы иполучить уравнение Лагранжа.§11. Динамика систем со связями150Решение. Определим число степеней свободы в рассматриваемой системе,состоящей из двух материальных точек и твердого тела(блока). В отсутствие связей ее конфигурация описываетсядвенадцатью независимыми координатами. Число связей,ограничивающих положение блока, равно пяти: тремя связями зафиксирован его центр, и две связи задают постоянное направление оси вращения.
Кроме того, четыре связиограничивают перемещение грузиков, давая им возможностьдвигаться только по вертикали. Из условия нерастяРис. 11.1жимости нити длины l = const вытекает соотношениеx1 + x 2 + πR − l = const .Наконец, вследствие отсутствия проскальзывания нити по блоку его поворот однозначно связан с перемещениями каждого из грузиков. В итоге получаем, что на рассматриваемую систему наложено 11 связей и число еестепеней свободы s = 1 .В качестве обобщенной координаты, описывающей положение системы, выберем угол поворота блока ϕ, отсчитываемый против часовойстрелки.
Полагая, что ϕ = 0 , когда левый грузик находится в верхнем положении, получаем формулы, выражающие декартовы координаты грузиков x1 и x2 через обобщенную координату ϕ:x1 = R ϕ, x 2 = l − πR − R ϕ .Кинетическая энергия системы равнаΚ=()m1x&12 m2 x& 22 I ϕ& 2ϕ& 2.++= ( m1 + m2 )R 2 + I2222Находим потенциальную энергию§11. Динамика систем со связями151Π = − m1 gx1 − m2 gx 2 = −( m1 − m2 ) gR ϕ − m2 g(l − πR )и лагранжиан системы(L = Κ − Π = ( m1 + m2 )R 2 + I) ϕ2&2+ ( m1 − m2 ) gR ϕ .Впоследнемвыраженииопущенонесущественноеслагаемоеm2 g(l − πR ) = const . Вычисляем производные, входящие в уравнения Лагранжа:()()∂Ld ⎛ ∂L ⎞∂L2&&,= ( m1 + m2 )R 2 + I ϕ& ,= ( m1 − m2 ) gR .⎜ ⎟ = ( m1 + m2 )R + I ϕ&&∂ϕdt ⎝ ∂ϕ ⎠∂ϕОкончательно имеем((m + m )R122)&& − ( m1 − m2 ) gR = 0 .+I ϕПример 11.2.
На горизонтальной плоскости лежит клин массой M, а наверхней грани клина располагается брусокмассой m (рис. 11.2). Все поверхности абсолютно гладкие. Найти лагранжиан системы изаписать уравнения Лагранжа. Движение всехРис. 11.2тел происходит в плоскости рисунка, брусокот поверхности клина не отрывается.Решение. В отсутствие связей материальная точка (брусок) и твердое тело(клин) обладают девятью степенями свободы. Легко убедиться, что числосвязей в рассматриваемой системе равно семи (пять связей ограничиваютперемещение клина так, что он может двигаться только поступательновдоль горизонтальной прямой, одна связь ограничивает движение бруска вплоскости рисунка, и одна связь отражает то условие, что брусок не поки-§11.
Динамика систем со связями152дает поверхность клина). Следовательно, система имеет две степени свободы.Введем систему координат, как показано на рис. 11.2. В качествеобобщенных координат выберем горизонтальную координату бруска x1 и координатуострия клина x2 (рис. 11.3). Вертикальнаякоордината бруска y1 связана с обобщеннымикоординатами x1, x2 соотношениемРис.
11.3y1 = ( x1 − x 2 ) tg α .Найдем кинетическую энергию системыΚ=()()()x& 2x& 2m 2M 2x&1 + y&12 +x& 2 = m 1 + tg 2 α 1 − mx&1x& 2 tg 2 α + M + m tg 2 α 2 .2222Потенциальная энергия равнаΠ = mgy1 = mg( x1 − x 2 ) tg α .Получаем лагранжиан системы(L = m 1 + tg 2 α) x&2 − mx& x&211 2(tg 2 α + M + m tg 2 α) x&2 − mg( x221− x 2 ) tg αи записываем уравнения движенияm(1 + tg 2 α) x&&1 − mx&&2 tg 2 α + mg tg α = 0 ,− mx&&1 tg 2 α + (M + m tg 2 α) x&&2 − mg tg α = 0Пример 11.3. Найти лагранжиан и записать уравнение Лагранжа для однородного цилиндра радиусом r, катящегося без проскальзывания по внут-§11.
Динамика систем со связями153ренней стороне цилиндрической поверхности радиусом R (рис. 11.4).Решение. Подсчет числа степеней свободыпоказывает, что в рассматриваемой системеs = 1 . В качестве обобщенной координаты,описывающей положение цилиндра, выберемугол ϕ между вертикалью и линией, соединяющей ось цилиндрической поверхности радиусом R и ось цилиндра. Тогда скорость центра масс цилиндра выразится формулойРис.
11.4v c = (R − r)ϕ& ,& определяется соа угловая скорость вращения цилиндра вокруг его оси ψотношением& = (R − r)ϕ& , или ψ& =rψR −rϕ& .rЗдесь ψ – угол между вертикалью и какой-либо фиксированной линией,перпендикулярной оси цилиндра (рис. 11.4).
Кинетическую энергию цилиндра найдем с помощью теоремы Кенига:Κ=&2 3m v c2 I cω 2ϕ& 2ϕ& 2 1 2 ψ+= m ( R − r) 2+ mr= m ( R − r) 2.222 2222Потенциальная энергия цилиндра в поле силы тяжести равнаΠ = mg(R − r)(1 − cos ϕ) .(За уровень отсчета потенциальной энергии выбрано положение центрамасс в самой нижней точке траектории цилиндра). Лагранжиан системы§11.
Динамика систем со связями154L=3ϕ& 2m ( R − r) 2− mg(R − r)(1 − cos ϕ) ,22а уравнение движения цилиндра3&& + mg(R − r) sin ϕ = 0 .m(R − r) 2 ϕ2Пример 11.4. Найти функцию Лагранжа для плоского математического маятника массой m и длиной l (рис. 11.5), точка подвеса которого совершаетзаданное движение по закону y = a cos ωt , где a и ω – положительные по-стоянные.Решение.
Так как координата точки подвеса маятника в каждый моментвремени известна, она не является независимойпеременной. Следовательно, рассматриваемая система имеет одну степень свободы. Положение маятника будем характеризовать обобщенной координатой ϕ, имеющей смысл угла отклонения маятника от вертикали (рис. 11.5). Для декартовых координат материальной точки массой m имеемРис. 11.5x1 = l cos ϕ, y1 = a cos ωt + l sin ϕ .Кинетическая энергия маятникаΚ=⎛ ϕ& 2⎞m( x&12 + y&12 )= m ⎜⎜ l 2− alωϕ& sin ωt cos ϕ⎟⎟ + ma2ω 2 sin 2 ωt .22⎝⎠Потенциальная энергияΠ = − mgx1 = − mgl cos ϕ .(11.15)§11.
Динамика систем со связями155Записывая лагранжиан системы, будем иметь в виду, что члены, зависящиетолько от времени, но не зависящие от обобщенной координаты и скоростисистемы, как, например, последнее слагаемое в (11.15), можно опустить,поскольку в уравнения движения они не войдут. Окончательно имеемL = ml 2ϕ& 2− malωϕ& sin ωt cos ϕ + mgl cos ϕ .2Пример 11.5. Построить гамильтониан материальной точки массой m, находящейся в потенциальном силовом поле. Потенциальная энергия частицызадана как функция ее декартовых координат: Π = Π( x , y, z) .Решение.
Система имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты материальной точки x , y, z . Тогдаее обобщенными скоростями будут величины x& , y&, z& . Кинетическая энергияΚ=m 2( x& + y& 2 + z& 2 ) .2Функция ЛагранжаL=m 2( x& + y& 2 + z& 2 ) − Π( x , y, z ) .2Так как эта функция не содержит явной зависимости от времени, системаявляется консервативной. Следовательно, гамильтониан системы равенсумме кинетической и потенциальной энергий системы, выраженной черезобобщенные координаты и обобщенные импульсы:H = Κ + Π = H ( p, q) .§11.
Динамика систем со связями156Вычисляем обобщенные импульсы:px =∂L∂L∂L= mx&, py == my&, pz == mz& .&&∂x∂y∂z&Используя эти соотношения, выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:x& =pypxp, y& =, z& = z .mmmПодставив эти выражения в формулу для кинетической энергии, находим еекак функцию обобщенных импульсов:Κ=()1px2 + p2y + pz2 ,2mи получаем гамильтонианH =()1px2 + p2y + pz2 + Π( x , y, z) .2mЗадание для самостоятельной работыРис. 11.611.6.
Получить функцию Лагранжа и записатьуравнение движения для однородного стержнямассой m и длиной l, который скользит в полесилы тяжести, опираясь одним концом о вертикальную, а другим – о горизонтальную плоскости(рис. 11.6). Трением пренебречь.11.7. Получить функцию Лагранжа и записать уравнение движения для однородного стержня массой m и длиной l который движется без трения в поле силы тяжести, опираясь на внутреннюю поверхность цилиндра радиусомR (рис. 11.7). Движение происходит в плоскости рисунка.11.8.
Записать функцию Лагранжа и найти уравнение движения плоского§11. Динамика систем со связями157математического маятника массой m, длина подвеса которого меняется позакону l = l0 + v0t , где v0 = const (рис. 11.8).Рис. 11.7Рис. 11.8Рис. 11.9Рис. 11.1011.9. Получить функцию Лагранжа для математического маятника массой mи длиной l, выбрав в качестве обобщенных координат углы ϑ и ϕ сферической системы координат.11.10. Получить функцию Лагранжа для симметричного двойного плоскогоматематического маятника, показанного на рис.
11.9.11.11. Получить функцию Лагранжа для двойного плоского физическогомаятника, состоящего из двух одинаковых стержней массой m и длиной lкаждый (рис. 11.10).11.12. Получить функцию Лагранжа для плоского математического маятника массой m и длиной l, точка подвеса которого массой M может свободно двигаться по горизонтальнойпрямой (рис. 11.11). Трением пренебречь. В качествеобобщенных координат выбрать координату x точкиподвеса маятника и угол ϕ отклонения маятника отРис. 11.11158§11.
Динамика систем со связямивертикали.11.13. Получить гамильтониан плоского математического маятника массойm и длиной l, считая обобщенной координатой угол отклонения маятника отвертикали ϕ.11.14. Построить гамильтониан для математического маятника массой m идлиной l, выбрав в качестве обобщенных координат углы сферической системы координат ϑ и ϕ.11.15. Две материальные точки массой m каждая соединены жестким невесомым стержнем длиной l.
Пренебрегая действием внешних силовых полейзаписать гамильтониан этой системы, выбрав в качестве обобщенных координат декартовы координаты x , y, z центра масс системы и сферическиеуглы ϑ, ϕ, задающие ориентацию стержня в пространстве.11.16. Небольшое тело массой m опустили на неподвижную гладкую поверхность и предоставили самому себе. Уравнение поверхности в декартовых координатах имеет вид z = z( x , y) , причем оси OX и OY лежат в гори-зонтальной плоскости, а ось OZ направлена по вертикали вверх. Предполагая, что при движении тело не отрывается от поверхности, записать для не1 2( x + y 2 ) , где a – положи2aтельная постоянная, получить уравнения Лагранжа.го функцию Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
