С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Малые колебанияΚ≈12s177s∑ ∑ Κ pj η& pη& j .(13.19)p=1 j =1Таким образом, вблизи положения равновесия лагранжиан системы можетбыть приближенно записан в следующей форме:L≈12ss∑ ∑ (Κ pj η& pη& j − Π pj η pη j ) .(13.20)p=1 j =1Отсюда следует, что уравнения движения системы, совершающей свободные малые колебания, имеют вид:s∑ (Κ pj η&& j + Π pj η j ) = 0,j =1p = 1, 2, L, s .(13.21)Таким образом, движение системы с идеальными голономнымистационарными связями и s степенями свободы, подверженной действиюконсервативных сил, определяется s линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными действительнымисимметричными коэффициентами.Общее решение системы дифференциальных уравнений (13.21) длякаждой обобщенной координаты η j ( j = 1, 2, L, s ) состоит из суммы s гармонических колебаний с частотами ω1, ω 2 , L, ω s , называемых собственными частотами:sηj =∑ α kj Ak cos(ω k t + ϕ k ),k =1j = 1, 2, L, s .(13.22)Для определения собственных частот системы нужно приравнять нулю детерминант§13.
Малые колебания178(−Κ)LLLLLLL−Κ s1ω 2 + Π s1LL11ω2+ Π11()( −Κ1sω2+ Π1s)LLLLLL = 0 ,− Κ ssω 2 + Π ss()(13.23)раскрывая который получают характеристическое уравнение s-й степениотносительно ω2. Оно имеет 2s действительных корней ± ω k , k = 1, 2, L, s .Совокупностькоэффициентовраспределенияамплитудα kj( j = 1, 2, L, s ) для частоты ω k называется формой собственного колебанияна этой частоте. При каждом собственном колебании соотношение междузначениями координат в один и тот же момент времени всегда остается неизменным. Это и означает, что каждое собственное колебание обладаетприсущей ему формой.Коэффициенты α k1 ( k = 1, 2, L, s ) обычно полагают равными единице. Для определения коэффициентов α kj ( j = 2, 3, L, s ) необходимо решить k систем, каждая их которых содержит s −1 неоднородных уравненийs∑ (Π pj − ω 2k Κ pj )α kj = −(Π p1 − ω 2k Κ p1 ),j =2p = 2, 3, L, s, k = 1, 2, L, s(13.24)Таким образом, в каждом частном движении на частоте ω k произвольныдве величины: Ak и ϕk; остальные величины – ωk и все αkj( j = 2, 3, L, s, α k 1 = 1 ) – определяются только устройством системы.
Константы Ak и ϕk ( k = 1, 2, L, s ), в свою очередь, не зависят от свойств системы, а определяются из начальных условий (начального смещения и начальной скорости).Частные движения системы, при которых все координаты гармонически изменяются со временем на одной из собственных частот, называются нормальными колебаниями. Эти движения всегда можно возбудить пу-§13.
Малые колебания179тем специального выбора начальных условий. Например, если задать начальные значения координат в соответствии с j-й собственной формой, аначальные скорости положить равными нулю, то в системе возникнут нормальные (гармонические) колебания на j-й частоте. Во многих случаях такое выделение гармонических движений из собственных колебаний системы позволяет сразу определить собственную частоту.Если мы зададим s гармонических колебанийξ k = Ak cos(ωk t + ϕ k ), k = 1,2, L,s ,(13.25)сумма которых представляет собой движение первой координаты η1 , тотем самым мы зададим движение всех остальных координатηj( j = 2, 3, L, s ).
Следовательно, величины ξ1, L, ξ s , полностью определяющие движение всей системы, можно принять за новые обобщенные координаты. Они называются нормальными координатами.Формулы преобразования от нормальных координат к обобщеннымимеют вид:sηj =∑ α kj ξ k ,k =1j = 1, 2, L, s .(13.26)В нормальных координатах(1Π = (a ω ξ2Κ=)1 &2a1ξ1 + a2 ξ& 22 +L+ as ξ& 2s ,22 21 1 1)+ a2ω 22 ξ 22 +L+ asω 2s ξ 2s .(13.27)и уравнения Лагранжа распадаются на s независимых друг от друга уравнений:&&ξ k + ω 2k ξ k = 0, k = 1, 2, L, s .(13.28)§13.
Малые колебания180Каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание с соответствующей ей собственной частотой. В отличие от нормальныхкаждая обобщенная координата совершает движение по сложному, вообщеговоря непериодическому закону. Но всегда можно указать такие линейныекомбинации обобщенных координат, которые колеблются по чисто гармоническому закону на собственных частотах системы.Примеры решения задачПример 13.1.
Найти частоту колебаний системы, изображенной на рис.13.1. Цилиндр радиусом R и массой m катится пошероховатой горизонтальной плоскости без проскальзывания. Жесткость невесомой пружины, прикрепленной к оси цилиндра, равна k. Движение происходит в плоскости рисунка.Рис. 13.1Решение. Положение центра масс цилиндра описывается координатой x,связанной с углом поворота цилиндра ϕ соотношениемx = Rϕ .Начало отсчета переменной x выберем в точке, где пружина недеформирована.
Кинетическая энергия цилиндраΚ=mx& 2 I ϕ& 2 3 x& 2+= m.222 2Потенциальная энергия деформированной пружиныΠ=kx 2.2Лагранжиан системы§13. Малые колебанияL=1813 x& 2x2m−k.2 22Уравнение движения цилиндра32kmx&& + kx = 0 , или x&& +x = 0.23m2k, стоящий перед переменной x в уравнении движения, пред3mставляет собой квадрат собственной частоты.
Следовательно,Множительω=2k.3mПример 13.2. Тонкую однородную палочку массой m и длиной L, подвешенную за концы надвух нитях длиной l, выводят из равновесия путем поворота вокруг центра масс на малый угол(рис. 13.2) и отпускают. Найти частоту малыхколебаний палочки.Рис. 13.2Решение. При повороте палочки вокруг центра масс на угол ϕ обе нити отклонятся от вертикали в разные стороны на угол ψ, причем для малых ϕ и ψвыполняется соотношениеlψ =LLϕ , или ψ = ϕ .2l2Центр масс палочки поднимается при этом на высоту§13. Малые колебания182Δx = l(1 − cos ψ) ≈ lψ 2 L2 ϕ 2=⋅.24l 2Таким образом, потенциальная энергия системы, отсчитываемая от уровня,который занимает палочка в положении равновесия, равнаmgL2 ϕ 2⋅.4l2Π≈Кинетическая энергия палочки складывается из энергии вращения вокругвертикальной оси, проходящей через центр масс,Κ1 =I ϕ& 2 mL2 ϕ& 2=⋅212 2и энергии поступательного движения центра масс в вертикальном направленииΚ2 =m( Δx& )22≈mL416l 2(ϕϕ& )2 .Последнее выражение имеет более высокий порядок, чем второй, и при малых колебаниях может быть отброшено (в случае малых отклонений от устойчивого положения равновесия скорости точек системы также являютсямалыми, что непосредственно вытекает из закона сохранения энергии).
Таким образом, лагранжиан системы можно приближенно записать в виде:L≈mL2 ϕ& 2 mgL2 ϕ 2.⋅−⋅12 24l2Из уравнения движения§13. Малые колебания183mL2mgL23g&& +&& +ϕ=0ϕϕ = 0 , или ϕ124llнаходим собственную частоту:ω=3g.lПример 13.3. Найти частоту малых колебанийшарика массой m, надетого на гладкий горизонтальный стержень и прикрепленного к одному изконцов пружины, другой конец которой закрепленна расстоянии l от стержня (рис 13.3). В положении равновесия шарика пружина растянута с силой F0.Рис.
13.3Решение. При смещении шарика от положения равновесия на малое расстояние x удлинение пружины составит величину⎛x2 ⎞x2.Δl = l 2 + x 2 − l ≈ l⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ − l =2l⎝ 2l ⎠Сила упругости пружиныF = F0 + k Δl = F0 + kx22lпри малых x является практически постоянной. Поэтому потенциальнаяэнергия пружины с точностью до малых величин высшего порядка равнапроизведению силы F0 на удлинение Δl:§13.
Малые колебания184Π ≈ F0 Δl ≈F0 x 2⋅.l 2Лагранжиан системыL≈mx& 2 F0 x 2−⋅.l 22Уравнение малых колебанийx&& +F0x =0.mlСледовательно,ω=F0.mlЗамечание. Если длина недеформированной пружины равна l (в положенииравновесия пружина не растянута), то первый неисчезающий член в потенциальной энергии имеет четвертый порядок:Π≈k x4⋅.l2 8В этом случае малые колебания шарика около положения равновесия небудут гармоническими.Пример 13.4. Найти собственные частоты и собственные формы малыхколебаний системы, изображенной на рис.
13.4: два плоских математических маятника, представляющих собой маленькие шарики массой m каждый, подвешенные на невесомых жестких стержнях длиной 2l, связаны посередине пружиной жесткостью k, длина которой в недеформированномсостоянии равна расстоянию между точками подвеса маятников.§13. Малые колебания185Решение. Вводим две обобщенные координаты –углы отклонения маятников β1 и β2. Кинетическая энергия системы⎛ β& 2 β& 2 ⎞Κ = 4 ml 2 ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ .2⎠⎝ 2Рис.
13.4Потенциальную энергию запишем сразу для случая малых отклонений маятников от положения равновесия:Π ≈ 2mgl ⋅β12β 2 k (lβ1 − lβ 2 ) 2+ 2mgl ⋅ 2 +.222Лагранжиан системыL ≈ 4 ml 2β& 12 + β& 22β 2 + β 22(β − β 2 ) 2− 2mgl 1− kl 2 1.222Уравнения Лагранжа&& + 2mglβ + kl 2 (β − β ) = 0,4 ml 2β11122 &&24 ml β + 2mglβ + kl (β − β ) = 0.22Вводя обозначения γ =2(13.29)1gkk+, δ=, представим эти уравнения в ви2l 4 m4mде:&& + γβ − δβ = 0,β112&& − δβ + γβ = 0.β212(13.30)§13. Малые колебания186Примем во внимание, что в общем случае малые колебания системы с двумя степенями свободы описываются уравнениями&& + Κ β&&Κ11β112 2 + Π11β1 + Π12β 2 = 0,&& + Κ β&&Κ 21β122 2 + Π 21β1 + Π 22β 2 = 0.(13.31)Сравнивая (13.30) и (13.31), находим, чтоΚ11 = Κ 22 = 1, Κ12 = Κ 21 = 0, Π11 = Π 22 = γ , Π12 = Π 21 = −δ .Общее решение системы (13.30) имеет вид:β1 = D1 cos(ω1t + ϕ1 ) + D2 cos(ω 2t + ϕ 2 ),β 2 = α12 D1 cos(ω1t + ϕ1 ) + α 22 D2 cos(ω 2t + ϕ 2 ),(13.32)где ω1, ω2 – собственные частоты, α12, α22 – коэффициенты распределенияамплитуд.
Для определения частот составим определитель( − Κ11ω 2 + Π11 ) ( − Κ12ω 2 + Π12 )=( − Κ 21ω 2 + Π 21 ) ( − Κ 22ω 2 + Π 22 )=( −ω 2 + γ )−δ= ( −ω 2 + γ ) 2 − δ 22−δ( −ω + γ )и запишем характеристическое уравнение:ω 4 − 2γω 2 + γ 2 − δ 2 = 0 .Отсюдаω12 = γ − δ =ggk, ω 22 = γ + δ = +.2l2l 2m(13.33)§13. Малые колебания187Чтобы найти коэффициенты α12, α22, образуем систему уравнений⎧⎪( γ − ω12 )α12 = δ,⎧⎪( Π 22 − ω12 Κ 22 )α12 = −( Π 21 − ω12 Κ 21 ),или⎨⎨⎪⎩( γ − ω 22 )α 22 = δ.⎪⎩( Π 22 − ω 22 Κ 22 )α 22 = −( Π 21 − ω 22 Κ 21 ),Отсюда находимα12 =δγ− ω12= 1, α 22 =δγ − ω 22= −1 .Таким образом, собственные формы колебаний имеют вид:на частоте ω1: α11 = 1, α12 = 1 ; на частоте ω 2 : α 21 = 1, α 22 = −1 .Следовательно, для возбуждения нормальных колебаний на первойчастоте нужно отклонить маятники в одну сторону на одинаковые углы иотпустить; при этом маятники будут колебаться в фазе без деформациипружины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
