С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для давления жидкости на глубине h справедливоследующее выражение:p( h) = ρgh ,(14.3)где ρ – плотность жидкости, которая вследствие ее несжимаемости одинакова на любой глубине, g – ускорение свободного падения. Давление, определяемое формулой (14.3), называется гидростатическим. Это давление создает жидкость, находящаяся в равновесии под действием силы тяжести.Поскольку давление верхних слоев жидкости на нижележащие слоипередается ими одинаково по всем направлениям, приложенное к поверхности жидкости внешнее давление p0 увеличивает давление в каждой точкежидкости на одну и ту же величину. В этом случаеp( h) = p0 + ρgh .(14.4)Таким образом, сила тяжести и внешнее давление на поверхности жидкостисоздают внутри покоящейся жидкости давление, которое, согласно законуПаскаля, передается на и дно, и на стенки сосуда.
По третьему закону Ньютона дно и стенки сосуда оказывают на жидкость такое же по величине давление.Зависимость давления в жидкости или газе от глубины приводит квозникновению выталкивающей силы, действующей на тело, окруженное совсех сторон жидкостью или газом. Выталкивающая (архимедова) силапредставляет собой результирующую элементарных сил давления, действующих на поверхность тела со стороны окружающей жидкости (газа).
В§14. Механика жидкостей и газов197соответствии с законом Архимеда, выталкивающая сила направлена вертикально вверх; ее величина равна весу жидкости (газа) в объеме погруженной части тела, а точка приложения совпадает с центром тяжести объемавытесненной телом жидкости (газа).Раздел физики, занимающийся изучением законов движения жидкостей и газов называется гидроаэродинамикой. Если жидкость (газ) находится в движении, то наряду с нормальными составляющими поверхностных сил, действующих на выделенный объем, в жидкости (газе) могут возникать касательные силы.
Эти силы определяются не самими деформациями сдвига, а их производными по времени. Поэтому касательные силы вдвижущейся жидкости (газе) относятся к классу сил трения, или вязкости.Их называют вязкими силами.Жидкость, в которой при любых движениях не возникают силывязкости, называется идеальной. Для установившегося движения идеальнойнесжимаемой жидкости справедливо уравнение Бернулли:p+ρv 2+ ρgh = const .2(14.5)Здесь v – скорость движения жидкости в данном сечении трубы, h – высотаданного сечения трубы над некоторым уровнем. Из уравнения Бернуллиследует, что скорость вытекания жидкости из малого отверстия в боковойстенке или дне широкого сосуда равнаv = 2gh ,(14.6)где h – высота поверхности жидкости над отверстием.
Равенство (14.6) часто называют формулой Торричелли.Для несжимаемой жидкости, протекающей по трубе переменногосечения, справедливо соотношениеS1v1 = S 2 v2 ,(14.7)§14. Механика жидкостей и газов198являющееся следствием уравнения неразрывности. Здесь v1 и v2 – скоростижидкости в двух сечениях трубы площадью поперечного сечения S1 и S2.Вязкость, которой обладают реальные жидкости, приводит к возникновению касательных сил трения. Эти силы действуют как между слоями самой жидкости (внутреннее трение), так и между жидкостью и поверхностью находящегося в ней тела (внешнее трение). Внутреннее трение характеризуется коэффициентом динамической вязкости η, имеющим разныезначения для различных жидкостей. Физический смысл коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен импульсу, который переносится в единицу времени (1 с) через площадку в 1 м2 при градиенте скорости жидкости в направлении, перпендикулярном площадке, равном единице(1 м/с на 1 м длины).
Для подавляющего большинства жидкостей значениядинамической вязкости известны и приведены в справочной литературе.Наличие вязкости приводит к тому, что течение жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения возможно лишь при наличии перепада давления на входе и выходе трубы. Этот перепад давления необходимдля поддержания стационарного течения, чтобы уравновешивать силы трения.Наиболее простым и хорошо изученным течением вязкой жидкостиявляется ламинарное течение, при котором отдельные слои жидкости илигаза скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. При ламинарномдвижении объем жидкости (газа), протекающей за время t через капиллярную трубку радиусом r и длиной l, определяется формулой ПуазейляV =πr 4 t Δp,8lη(14.8)где Δp – разность давлений на концах трубки.Сила сопротивления, которую испытывает движущийся в вязкойжидкости (или в газе) шарик, определяется формулой СтоксаF = 6πηrv ,(14.9)§14.
Механика жидкостей и газов199где r – радиус шарика, v – его скорость. Закон Стокса справедлив толькодля ламинарного обтекания шарика жидкостью.Примеры решения задачПример 14.1. В сосуде, вертикальное сечение которого изображено на рис.14.1, находятся в равновесии два невесомых поршня,соединенные невесомой нерастяжимой нитью. Пространство между поршнями заполнено жидкостью,плотность которой ρ = 103 кг/м3.
Найти силу натяжениянити Т, если площади поршней S1 = 0,1 м2 и S2 =0,05 м2, адлина нити l = 0,5 м. Трением поршней о стенки сосудаРис. 14.1пренебречь, ускорение свободного падения принять g =210 м/с .Решение: Поршни находятся в равновесии под действием сил, величины инаправления которых указаны на рис. 14.2. Для облегчения анализа рисунка точки приложения некоторых сил условно смещены от их истинного положения.
На самом деле точки приложения всех сил расположены на оси симметрии системы.Будем использовать следующие обозначения: T – величина силы натяжения нити, которая всилу невесомости нити одинакова во всех ее точках,Рис. 14.2p0– атмосферное давление, p – давление жидкости науровне верхнего поршня. Поршни находятся в равновесии при выполненииусловий:p0 S1 + T = pS1 для верхнего поршня,( p + ρgl)S 2 = p0 S 2 + Tдля нижнего поршня.Из первого уравнения получаем, что T = ( p − p0 )S1 . Отсюда видно, что§14. Механика жидкостей и газов200ответ зависит от разности p − p0 .
Сложение первого и второго уравненийдает: ( p − p0 )(S1 − S 2 ) = ρglS 2 . Используя это выражение, находим ответ:T =ρglS1S 2= 500 Н.S1 − S 2Пример 14.2. Металлический брусок в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b и l лежит на наклоннойстенке резервуара с водой (рис. 14.3). Масса бруска m, коэффициент трения между стенкой и бруском μ. Какую силу F нужно приложить к брускувдоль наклонной стенки, чтобы сдвинуть его сместа вниз? Вода под брусок не подтекает, атмоРис.
14.3сферное давление p0, необходимые размеры указаны на рисунке.Решение. Силы, действующие на брусок, изображены на рис. 14.4, где введены следующие обозначения: F1, F3 и F2 – силыдавления воды на боковые и верхнюю грани бруска, mg – сила тяжести, Fтр – сила трения бруска остенку резервуара, N – нормальная составляющаяреакции стенки. Поскольку вода под брусок неподтекает, сила давления воды на нижнюю граньбруска равна нулю. Условия равновесия бруска впроекциях на наклонную стенку и нормаль к нейимеютвид:Рис. 14.4F − Fтр − F1 + F3 + mg sin α = 0 , N − F2 − mg cosα = 0 .(14.10)Будем искать такое значение силы F = F0 , при котором брусок покоится, но сила трения покоя достигает своего максимального значения§14. Механика жидкостей и газов201(Fтр )max = μN .
Условию задачи очевидно будут удовлетворять все значенияF > F0 . Из системы (14.10) получаем:F0 = F1 − F3 + μF2 + mg(μ cos α − sin α)(14.11)Для вычисления сил давления воды на грани бруска воспользуемсякоординатными системами O1Y1, O2X2 иO3Y3, изображенными на рис.
14.5. Изрисунка видно, что начало O1 координатной оси O1Y1 находится на глубинеh + h1 , начало O2 координатной осиO2X2 – на глубине h + h2 , начало O3координатной оси O3Y3 – на глубинеh − h3 . В выбранных координатах си-Рис. 14.5лы давления воды на грани бруска выражаются следующим образом:bF1 =∫ [ρg( h + h1 − y1 cos α) + p0 ]ldy1 ,0aF2 =∫ [ρg( h + h2 − x 2 sin α) + p0 ]ldx 2 ,0bF3 =∫ [ρg( h − h3 − y3 cos α) + p0 ]ldy3 .0Выполняя в (14.12) интегрирование и учитывая, чтоh1 =получаем:ababsin α + cos α , h2 = h3 = sin α − cos α ,2222(14.12)§14.
Механика жидкостей и газов202⎡ ⎛⎤⎡ ⎛⎤ab⎞⎞F1 = ⎢ρg⎜ h + sin α⎟ + p0 ⎥bl , F2 = ⎢ρg⎜ h − cos α⎟ + p0 ⎥al ,⎝⎠⎝⎠22⎣⎦⎣⎦⎡ ⎛⎤a⎞F3 = ⎢ρg⎜ h − sin α⎟ + p0 ⎥bl .⎝⎠2⎣⎦Подстановка найденных сил давления в (14.11) приводит к ответу:μ⎛⎞F > F0 = μal(ρgh + p0 ) + ρgabl⎜ sin α − cos α⎟ + mg(μ cos α − sin α ) .⎝⎠2Замечание 1. Как легко видеть, результирующая сил давления водынаправлена наклонно вниз. Из-за того, что вода под брусок не подтекает,действующая на него со стороны воды сила прижимает брусок к стенке.Если брусок был бы окружен водой со всех сторон, на его нижнюю граньдействовала бы сила⎡ ⎛⎤b⎞F4 = ⎢ρg⎜ h + cos α⎟ + p0 ⎥al .⎠2⎣ ⎝⎦(На рис.
14.5 эта сила не показана). Читателю предлагается самостоятельноубедиться в том, что в этом случае результирующая сил давления, т.е. векторная суммаFΣ = F1 + F2 + F3 + F4направлена вертикально вверх и по величине равна FΣ = ρgabl (закон Архимеда).Замечание 2. Если толщина пластинки пренебрежимо мала(b → 0) , ответ принимает видF > μal(ρgh + p0 ) + mg(μ cos α − sin α ) .§14. Механика жидкостей и газов203Для невесомой тонкой пластинки (b → 0, m → 0) ответ наиболее прост:F > μal(ρgh + p0 ) .Пример 14.3. Сопло фонтана, дающего вертикальнуюструю высотой H = 8 м, имеет форму усеченного конуса,сужающегося кверху (рис.
14.6). Диаметр нижнего сечениясопла D = 5 см, диаметр верхнего d = 1 см. Высота сопла h=0,5 м. Определите расход воды μ, подаваемой фонтаном.На какую величину Δp давление в нижнем сечении соплабольше атмосферного? Сопротивлением воздуха в струепренебречь.Рис. 14.6Решение. В потоке жидкости в сопле выделим два горизонтальных сечения:нижнее (I) и верхнее (II) (рис. 14.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
