С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Знак “минус” в правойчасти формулы (15.43) указывает на то, что поток тепла идет в направленииубывания температуры. Постоянная величина κ в формуле (15.43) называется коэффициентом теплопроводности.Изменение температуры во времени и в пространстве описываетсяуравнением теплопроводности, которое имеет вид∂Tκ ∂ 2T= ⋅ 2 .∂t cρ ∂x(15.45)Здесь c – удельная теплоемкость, ρ – плотность вещества. Уравнение(15.45) есть следствие закона теплопроводности и уравнения, выражающего§15.
Статистическая механика222сохранение энергии:cρ∂T∂j=− x .∂t∂x(15.46)Примеры решения задачПример 15.1. В сосуде объемом V находится N молекул газа. Какова вероятность P того, что в части сосуда объемом v окажется n молекул газа?Решение. Разобьем сосуд на малые элементы одинакового объема и будемсчитать, что попадания молекулы в любой из этих элементов представляютсобой равновероятные случайные события.Рассмотрим некоторую выделенную молекулу газа. Вероятностьпопадания этой молекулы в часть сосуда объемом v равна v / V . Вероятность попадания n выделенных молекул в указанную часть сосуда есть(v / V ) n .
Это выражение получено с использованием аксиомы умножениявероятностей в предположении, что попадания нескольких молекул в выделенную часть сосуда – независимые случайные события. Аналогичным образом вычисляем вероятность того, что оставшиеся N − n молекул газа попадут в часть сосуда объемом V − v , т.е.
останутся за пределами выделенной нами части сосуда. Эта вероятность равна (1 − v / V ) N − n . Вероятностьтого, что оба указанные случайные события произойдут одновременно,равна (v / V ) n ⋅ (1 − v / V ) N − n . Здесь также использована аксиома умножениявероятностей.Найдем теперь вероятность того, что любые n молекул газа попадутв выделенную часть сосуда, а остальные останутся за ее пределами. Согласно аксиоме сложения вероятностейP = C Nn ⋅ (v / V ) n ⋅ (1 − v / V ) N − n ,где(15.47)§15. Статистическая механикаC Nn =N!n!( N − n)!223(15.48)– число способов, которыми можно выбрать n молекул из N молекул (числосочетаний).
Формулы (15.47), (15.48) дают ответ на вопрос задачи. Распределение вероятности вида (15.47) называется биномиальным распределением или распределением Бернулли. Величина n пробегает значения0, 1, 2, ..., N . Используя формулу для бинома Ньютона, легко убедиться, чтоэто распределение удовлетворяет условию нормировки.Поясним кратко формулу (15.48). Одну молекулу можно выбратьиз N молекул N способами. На каждый из этих способов существует N − 1возможность выбрать вторую молекулу.
Следовательно, выбрать две молекулы из N молекул можно N ⋅ ( N − 1) способами. Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что число способов выбрать n молекул из N молекул равно N ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ ( N − n + 1) . Обозначим это число символом ANn ипредставим в видеANn =N!.( N − n)!(15.49)Оно равно числу способов разместить n различных элементов, напримершахматных фигур, в N клетках и называется числом размещений из N по n.Рассмотрим конкретный пример. Пусть N = 3 , n = 2 . Вычисляячисло размещений по формуле (15.49), получим A32 = 6 . Этот результат легко проверить прямым перебором вариантов: 1-2, 1-3, 2-1, 2-3, 3-1, 3-2.Видно, однако, что среди этих наборов из двух элементов попадаются одинаковые по составу наборы, отличающиеся только порядком следованияэлементов, например, 1-2 и 2-1 или 1-3 и 3-1.
В нашей задаче о молекулахтакие наборы следует считать эквивалентными. Чтобы получить число различных по составу наборов из N элементов по n, нужно поделить числоразмещений ANn на число перестановок Pn из n элементов. Таким образом,получаем§15. Статистическая механика224C Nn =ANn.Pn(15.50)Число перестановок Pn совпадает с числом размещений n элементов в nклетках, т.е.Pn = Ann = n! .(15.51)Подстановка (15.49) и (15.51) в (15.50) приводит к формуле (15.48).Пример 15.2. Найти решение задачи из примера 15.1 в предельном случаеN → ∞ , V → ∞ , N / V = const .Решение.
В данном предельном случае v << V , n << N , поэтомуN − n ≈ N , ANn = N ⋅ ( N − 1) ⋅ ... ⋅ ( N − n + 1) ≈ N n и 1 − v / V ≈ exp(−v / V ) .С учетом этих соотношений результат примера 15.1nP=N ⋅ ( N − 1) ⋅ ... ⋅ ( N − n + 1) ⎛ v ⎞ ⎛ v ⎞⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟n!⎝V ⎠ ⎝ V ⎠можно представить в видеP=(Nv / V )n ⋅ exp(− Nv / V )n!илиP = exp(−α) ⋅αn,n!N −n§15. Статистическая механика225где α = v ⋅ ( N / V ) – среднее число молекул в объеме v.
Таким образом, число молекул в относительно небольшой части сосуда с газом есть пуассоновская случайная величина.Пример 15.3. Найти относительную флуктуацию числа молекул в одномкубическом сантиметре воздуха при нормальных условиях.Решение. Используя результат примера 15.2, будем считать число молекулn в одном кубическом сантиметре воздуха пуассоновской случайной величиной. Согласно формуле (15.17), относительная флуктуация числа молекулравнаδn =1n0,где n0 – среднее число молекул воздуха в одном кубическом сантиметре.Известно, что при нормальных условиях моль любого газа занимает объем,равный 22,4 литра.
При этом в моле газа содержится число молекул, равноечислуАвогадро:N A = 6,02 ⋅ 10 23 .Используяэтиданные,находимn0 = 2,7 ⋅1019 (число Лошмидта) и δn ≈ 2 ⋅10 −10 .Пример 15.4. В сосуде объемом V находится N молекул идеального газапри температуре T. Найти давление газа p.Решение. Давление газа на стенку сосуда возникает за счет ударов молекул.В столкновении со стенкой молекула ведет себя как материальная точка.Для вычисления силы давления используем закон изменения импульса механической системы, согласно которому скорость изменения импульса системы равна сумме внешних сил:§15.
Статистическая механика226dp=F.dtРассмотрим в качестве системы совокупность молекул, испытывающихстолкновение со стенкой сосуда в течение времени dt . Тогда dp – изменение импульса этой системы, вызванное столкновениями молекул со стенкой, F – сила действия стенки на молекулы. По третьему закону Ньютонаэта сила равна и противоположна искомой силе давления молекул на стенку.Направим ось OX перпендикулярно стенке сосуда, площадь которой S. В проекции на ось OX закон изменения импульса приобретает видdp x= Fx .dt(15.52)Вычислим величину dp x .
Пусть m – масса молекулы, v x – составляющаяскорости молекулы, параллельная оси OX. Удар молекулы о стенку сосудабудем считать абсолютно упругим. Результатом удара будет изменение скорости v x на − v x , при этом импульс молекулы изменится на величинуΔp x = 2mv x .(15.53)Таким образом, величина Δp x , определяемая формулой (15.53), есть изменение x-компоненты импульса молекулы при упругом ударе о стенку, перпендикулярную оси OX. Далее нужно найти число ударов молекул, имеющих скорость v x , о стенку за время dt . Это число равноdN (v x ) = dn(v x ) ⋅ S ⋅ v x ⋅ dt ,(15.54)dn(v x ) = n ⋅ w(v x ) ⋅ dv x(15.55)где§15. Статистическая механика227– число молекул в единице объема газа, у которых скорость в направленииоси OX лежит в области от v x до v x + dv x ,n=NV(15.56)– полное число молекул в единице объема газа (концентрация молекул),w(v x ) ⋅ dv x – вероятность того, что скорость молекулы в проекции на осьOX лежит в области от v x до v x + dv x , w(v x ) – распределение плотностивероятности для декартовой компоненты скорости молекулы v x .Перемножив величины Δp x и dN (v x ) , найдем изменение xкомпоненты импульса совокупности молекул, имеющих скорость v x , в результате ударов о стенку за время dt:dp x (v x ) = Δp x ⋅ dN (v x ) ,или, с учетом, формул (15.53) – (15.55),dp x (v x ) = 2m ⋅ n ⋅ S ⋅ dt ⋅ v x2 ⋅ w(v x ) ⋅ dv x .(15.57)Теперь остается только просуммировать вклады молекул с различнымискоростями.
Интегрируя выражение (15.57) по v x в пределах от 0 до ∞ ,находим∞∫dp x = 2m ⋅ n ⋅ S ⋅ dt ⋅ v x2 ⋅ w(v x )dv x .(15.58)0Согласно формулам (15.52), (15.58), искомое давление газа∞∫p = 2m ⋅ n v x2 ⋅ w(v x )dv x .0(15.59)§15. Статистическая механика228В силу четности этого распределения и формулы (15.34) имеем:∞∞∫2 v x2 ⋅ w(v x )dv x =∫ v x ⋅ w(v x )dv x =2v 2x = kT / m .(15.60)−∞0Из (15.59) и (15.60) следует, чтоp = nkT .(15.61)Уравнение (15.61) называется уравнением состояния идеального газа.Пример 15.5. Найти распределение плотности вероятности w(v) для моду-ля тепловой скорости v молекулы газа.
Масса молекулы m, температурагаза T.Решение. По определениюP(v0 ≤ v ≤ v0 + Δv),ΔvΔv →0w(v0 ) = lim(15.62)где P(v0 ≤ v ≤ v0 + Δv) – вероятность того, что модуль скорости молекулыv лежит в интервалеv0 ≤ v ≤ v0 + Δv .(15.63)Эту вероятность можно вычислить по формуле∫P(v0 ≤ v ≤ v0 + Δv) = w(v x , v y , v z )dv x dv y dv z ,(15.64)Ωгде w(v x , v y , v z ) – распределение Максвелла (15.32), Ω – область в пространстве скоростей, определяемая условием (15.63). В данной области§15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
