С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Расход воды μ равен объему жидкости,протекающей за единицу времени через любое сечение сопла. Скоростьводы, протекающей через сечение II, легко найти по высоте подъема воды вполе силы тяжести:v2 = 2 gH .Тогдаμ = v2 S 2 = 2 gHπd 2= 9,8 ⋅10 −4 м3/с.4Запишем уравнение Бернулли для потока жидкости в сопле фонтана междусечениями I и II:ρgh +ρv22ρv 2+ pA = 1 + p1 ,22§14. Механика жидкостей и газов204где pА – атмосферное давление.
Из последнего уравнения находим избыточное давлениеΔp = p1 − pA = ρgh +()ρ 2v2 − v12 .2Для определения скорости воды в сечении I воспользуемся уравнением неразрывности струи:v1S1 = v2 S 2 .Объединяя записанные равенства, получаем ответ:⎛d4 ⎞Δp = ρgh + ρgH ⎜⎜1 − 4 ⎟⎟ ≈ 8,33 ⋅104 Па.⎝ D ⎠Пример 14.4. В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м имеетсякруглое отверстие диаметром d = 1 см.
Найти зависимость скорости v понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Вычислить значение v для высоты h = 0,2 м.Решение. Пусть S1 – площадь поперечного сечения сосуда, v1 – скоростьтечения воды в нем (скорость понижения воды в сосуде), S2 – площадь поперечного сечения отверстия, v2 – скорость вытекания воды из отверстия. Всоответствии с уравнением Бернуллиρv12ρv 2+ ρgh = 2 ,22илиv12 + 2 gh = v22 .В силу уравнения неразрывности v1S1 = v2 S 2 , или§14. Механика жидкостей и газовv2 =205v1S1S2Объединяя записанные выражения, находим, чтоv1 =S 2 2 ghS12 − S 22=d 2 2 ghD 4 − d4.Поскольку по условию d 4 << D 4 , то приближенноv = v1 ≈d2D22 gh .При h = 0,2 м v = 8·10–4 м/с.Пример 14.5.
В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусомR = 2 см вставлен горизонтальный капилляр радиусом r = 1 мм и длинойl = 2 см. В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которогоη = 12 г/(см·с). Найти зависимость скорости v понижения уровня касторо-вого масла в цилиндрическом сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Вычислить значение v при h = 26 см.Решение. Скорость понижения уровня касторового масла в сосуде зависитот скорости протекания масла через капилляр.
Объем масла, протекающегоза время t через капилляр, определяется формулой ПуазейляV =πr 4t Δp.8lη§14. Механика жидкостей и газов206В рассматриваемой задаче разность давлений на концах капилляра обусловлена гидростатическим давлением слоя масла в сосуде, т.е.Δp = ρgh .С другой стороны,V = S1v1t = πr 2 v1t ,где v1 – скорость протекания масла через капилляр. Из этих равенств находимv1 =r 2ρgh.8lηНо так как v1S1 = vS , где v – скорость понижения уровня масла в сосуде иS – площадь поперечного сечения сосуда, то, окончательноv=r 4 ρgh8lηR 2.При h = 26 см v = 3 10–5 м/с.Задание для самостоятельной работы14.6.
Два вертикальных сообщающихся цилиндра заполнены водой и закрыты поршнями с массами М1 =1 кг и М2 =2 кг(рис. 14.7). В положении равновесия левый поршеньрасположен выше правого на величину h = 10 см.Когда на левый поршень поместили гирю массой m= 2 кг, поршни в положении равновесия оказалисьна одной высоте. Какова будет разность высотРис. 14.7поршней H в положении равновесия, если гирю перенести на правый поршень?§14. Механика жидкостей и газов20714.7. Тело, состоящее из куска льда и вмерзшего в него алюминиевого бруска, плавает в воде так, что под водой находится α = 95% объема тела (рис. 14.8).
Какойпроцент льда β должен растаять, чтобы телоРис. 14.8полностью погрузилось в воду? Плотность3333воды ρ в = 10 кг/м , плотность льда ρ л = 0,9·10 кг/м , плотность алюминияρ а = 2,7·103 кг/м3.14.8. Колокол, представляющий собой полусферу радиусом R, стоит нагладком горизонтальном столе (рис. 14.9).
В колокол впаяна тонкая трубка.До какого уровня, отсчитываемого от стола, можно налить в трубку воду,чтобы она не вытекала из-под колокола? Масса колокола с трубкой равна m,плотность воды ρ.Рис. 14.9Рис. 14.1014.9. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно переместить поршень площадью S на расстояние l в трубе, соединяющей два резервуара,заполненные водой до одного уровня (рис.
14.10)? Площади поперечногосечения резервуаров равны S1 и S2. Плотность воды ρ. Трением пренебречь.14.10. Цилиндрический сосуд высотой h = 1 м до краев заполнен водой. Закакое время вся вода выльется через отверстие, расположенное через отверстие на дне сосуда, если площадь поперечного сечения отверстия вn = 400 раз меньше площади поперечного сечения сосуда?14.11. На гладком горизонтальном столе стоит цилиндрический сосуд с водой, высота уровня которой равна H. На какой высоте h от стола нужнопроделать в боковой стенке сосуда маленькое отверстие, чтобы струя из§14. Механика жидкостей и газов208него падала на поверхность стола наиболее далеко от сосуда?14.12.
Вертикальный цилиндрический сосуд с водой вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ω. Найти:а) форму свободной поверхности воды;б) распределение давления воды на дне сосуда вдоль радиуса, если давление воды в центре дна равно p0. Плотность воды ρ.14.13. Смесь свинцовых дробинок диаметром d1 = 1 мм и d2 = 3 мм опустили в сосуд с глицерином глубиной h = 1 м. На какое время τ дробинкименьшего диаметра достигнут дна сосуда позже, чем дробинки большегодиаметра? Динамическая вязкость глицерина η = 13,9 г/(см·с), плотностьглицерина ρгл = 1,2 г/см3, плотность свинца ρсв = 11,3 г/см3.14.14. На рис. 14.11 представлена схема водомера. По горизонтальной трубепеременного сечения течет вода.
Сечения горизонтальной трубы у основания водомерных трубок равны S1 (слева) и S2 (справа). Найти объем воды Q,протекающей в единицу времени через сечение трубы, если разность уровней воды в манометрических трубках равна Δh.Рис. 14.11Рис.14.1214.15. На рис. 14.12 изображена установка, демонстрирующая течение вязкой жидкости по горизонтальной трубе. Манометрические трубки впаяны втрубу на равных расстояниях a = 10 см. Высота уровня жидкости в широком сосуде H = 26 см. Прямая AB, проведенная через уровни жидкости вманометрических трубках, образует с горизонталью угол α = 30° . Опреде-лить скорость вытекания жидкости.§15.
Статистическая механика209§15. Статистическая механикаКраткие теоретические сведенияВажной задачей физики является изучение строения и свойств вещества. С точки зрения статистической механики вещество представляетсобой совокупность большого числа движущихся и взаимодействующихчастиц – атомов или молекул.
Удобный способ описания таких систем основан на применении вероятностных представлений. Сформулируем краткоосновные понятия теории вероятностей.15.1 Случайные величины и вероятностьСлучайное событие – это событие, наблюдение которого можномногократно повторить (например, бросание монеты или игрального кубика), но исход которого нельзя предсказать заранее.Вероятность случайного события P(A) – это отношение числа NAпоявлений события A в серии испытаний к полному числу испытаний N впределе, когда число испытаний стремится к бесконечности:NA.N →∞ NP ( A) = lim(15.1)Как видно из определения, 0 ≤ P ≤ 1 .Аксиома сложения вероятностей.
Вероятность наступления одногоиз случайных взаимоисключающих событий равна сумме их вероятностей:P( A + B) = P( A) + P( B) .(15.2)Аксиома умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей:§15. Статистическая механика210P( A ⋅ B) = P( A) ⋅ P( B) .(15.3)Случайная величина – это величина, измерение которой можномногократно повторить, но значение которой нельзя предсказать заранее.Различают дискретные и непрерывные случайные величины.Дискретная случайная величина – это величина, принимающая конечноеили бесконечное, но счетное множество значений.
Все эти значения можноперенумеровать:x1 , x2 , ..., xn , ...(15.4)Обозначим через pn = P( x = xn ) вероятность того, что x = xn . Набор чиселp1 , p2 , ..., p n , ...(15.5)вполне характеризует данную дискретную случайную величину и называется распределением вероятности. Распределение вероятности подчиняетсяусловию нормировки∞∑ pn = 1 ,(15.6)n =1которое является следствием аксиомы сложения вероятностей.Если распределение вероятности известно, то среднее значение< f (x) > произвольной функции f (x) случайной величины x можно вычислить по формуле< f ( x) > =∞∑ f ( xn ) p n .n =1(15.7)§15. Статистическая механика211Наиболее важными характеристиками случайной величины являются среднее значение (математическое ожидание)<x> =∞∑ xn p n(15.8)n =1и дисперсия, определяемая как средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения:σ 2x = < ( x − < x >) 2 > .(15.9)Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулеσ 2x =∞∑ ( x n − < x >) 2 p n .(15.10)n =1Нетрудно показать, что в общем случаеσ 2x = < x 2 > − < x > 2 ,(15.11)где< x2 > =∞∑ xn2 pn(15.12)n =1– среднее значение квадрата случайной величины.Мерой отклонения случайной величины от ее среднего значенияявляется величина, равная квадратному корню из дисперсииσ x = σ 2x(15.13)§15.
Статистическая механика212и называемая среднеквадратичным (стандартным) отклонением. Безразмерная величинаδx =σx<x>(15.14)называется относительной флуктуацией случайной величины x.Распределение Пуассона. Многие дискретные случайные величиныподчиняются следующему распределению вероятности, называемому распределением Пуассона:αn.n!pn = e −α(15.15)Здесь n – случайная величина, которая может принимать целочисленныезначения 0, 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
