С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 26
Текст из файла (страница 26)
, pn – вероятность того, что значение случайной величины равно n, величина α = const – параметр распределения. Среднее значение пуассоновской случайной величины<n> =∞∑ npn = α .(15.16)n =0Таким образом, единственный параметр распределения Пуассона α имеетсмысл среднего значения самой случайной величины. Нетрудно показать,что дисперсия пуассоновской случайной величины σ 2n также равна α, а относительная флуктуация δn = 1 / α илиδn =1<n>.(15.17)Непрерывная случайная величина – это величина, принимающаябесконечное и несчетное множество значений из некоторого интервала.§15.
Статистическая механика213Удобной для физики характеристикой непрерывной случайной величиныявляется плотность вероятности.Плотность вероятности – это отношение вероятности попаданияслучайной величины в малый интервал вблизи заданного значения к величине интервала в пределе, когда интервал стремится к нулю:P( x0 ≤ x ≤ x0 + Δx).Δx →0Δxw( x0 ) = lim(15.18)Функция w(x) имеет размерность, обратную размерности случайной величины x, подчиняется условию нормировки∞∫ w( x)dx = 1(15.19)−∞и позволяет вычислить среднее значение произвольной функции случайнойвеличины:∞< f ( x) > =∫ f ( x)w( x)dx .(15.20)−∞В частности, среднее значение (математическое ожидание) самой случайной величины∞<x> =∫ xw( x)dx .(15.21)−∞Дисперсия случайной величины∞σ 2x =∫ ( x − < x >)−∞2w( x)dx = < x 2 > − < x > 2 .(15.22)§15.
Статистическая механика214Среднеквадратичное отклонение и относительная флуктуация непрерывнойслучайной величины могут быть вычислены по формулам (15.13), (15.14).Распределение Гаусса. Многие непрерывные случайные величиныимеют следующее распределение плотности вероятности, называемое нормальным распределением, или распределением Гаусса:w( x) =⎧⎪ (x − < x > )2 ⎫⎪exp⎨−⎬.2σ 2⎪⎩⎪⎭σ 2π1(15.23)Здесь случайная величина x может принимать любые вещественные значения ( −∞ < x < ∞ ). Распределение (15.23) подчиняется условию нормировки(15.19).Важным свойством гауссовых случайных величин является сохранение статистики при линейных преобразованиях.
Так, сумма или разностьнезависимых гауссовых случайных величин являются гауссовыми величинами.Многомерное распределение плотности вероятности – это отношение вероятности попадания нескольких случайных величин в малые интервалы вблизи заданных значений к произведению величин интервалов в пределе, когда интервалы стремятся к нулю. Например, в случае двух случайных величин x, yw( x0 , y0 ) = limΔx , Δy →0P( x0 ≤ x ≤ x0 + Δx, y0 ≤ y ≤ y0 + Δy ).ΔxΔy(15.24)Размерность этой функции обратна размерности произведения случайныхвеличин x и y.
Условие нормировки имеет вид:∞ ∞∫ ∫ w( x, y)dxdy = 1 .−∞ −∞Правило вычисления средних записывается следующим образом:(15.25)§15. Статистическая механика215∞ ∞< f ( x, y ) > =∫ ∫ f ( x, y)w( x, y)dxdy .(15.26)−∞ −∞Для многомерных плотностей вероятности справедливы правила понижения порядка распределения:∞w1 ( x) =∫∞w( x, y )dy , w2 ( y ) =−∞∫ w( x, y)dx .(15.27)−∞Многомерное (в частном случае двумерное) распределение плотности вероятности независимых случайных величин распадается на произведение одномерных распределений:w( x, y ) = w1 ( x) ⋅ w2 ( y ) .(15.28)Из формул (15.26), (15.28) следует, что среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению их средних значений:< x⋅ y > = < x > ⋅ < y > .Замена переменной в распределении плотности вероятности.
Пустьесть случайная величина x с известным распределением плотности вероятности w1 ( x) и другая случайная величина y, связанная с величиной x известным функциональным соотношением: y = y (x) . Тогда распределениеплотности вероятности для величины y можно вычислить по формулеw2 ( y ) = w1 ( x( y )) ⋅dx( y ).dy(15.29)Здесь x = x( y ) – функция, обратная функции y = y (x) . В случае двумерно-§15. Статистическая механика216го распределенияw2 (u, v) = w1 ( x(u, v), y (u , v)) ⋅D( x(u, v), y (u , v)).D(u , v)(15. 30)Здесь x, y исходные случайные переменные, для которых известно распределение плотности вероятности w1 ( x, y ) .
Величины u, v – новые случайныепеременные, связанные с величинами x, y известными функциональнымисоотношениями u = u ( x, y ), v = v( x, y ) . Функция w2 (u, v) представляет собой распределение плотности вероятности для величин u , v .
Второй множитель в правой части формулы (15.30) – это якобиан преобразования отпеременных x, y к переменным u , v :D( x, y ) ∂x ∂y ∂x ∂y=⋅−⋅.D(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂uАналогичным образом выполняется замена и для большего числа переменных.15.2. Распределение ГиббсаРассмотрим некоторую систему, находящуюся в состоянии термодинамического равновесия. Так называется состояние, в которое самопроизвольно переходит система, предоставленная самой себе в условиях изоляции от окружающей среды. В состоянии термодинамического равновесиясистема может находиться сколь угодно долго, причем ее параметры неизменяются со временем.Основной закон статистической механики равновесных систем утверждает, что при термодинамическом равновесии распределение плотности вероятности для различных состояний системы определяется следующей формулой, называемой распределением Гиббса:§15.
Статистическая механика⎧ H ( z) ⎫w( z ) = C ⋅ exp⎨−⎬.⎩ kT ⎭217(15.31)Здесь C – нормировочная постоянная; через z обозначена совокупность канонических переменных, т.е. набор обобщенных координат и импульсовсистемы:z = {q, p} = {q1 , q2 ,..., q s ; p1 , p2 ,..., p s } ,где s - число степеней свободы системы,H (z ) = Κ + Π– гамильтониан системы, Κ и Π – кинетическая и потенциальная энергиисистемы, T – абсолютная температура,k = 1,38 ⋅10 −23 Дж/К– постоянная Больцмана.С помощью распределения Гиббса можно вычислить, например,внутреннюю энергию u той или иной системы, которая в статистическоймеханике определяется как среднее значение гамильтониана:u = < H >.Отметим наиболее важные следствия распределения Гиббса.Распределение молекул по скоростям.
Распределение плотности вероятности для декартовых компонент скорости молекулы имеет вид⎧⎪ m(v 2x + v 2y + v z2 ) ⎫⎪w(v x , v y , v z ) = C ⋅ exp ⎨−⎬.2kT⎪⎩⎪⎭(15.32)§15. Статистическая механика218Здесь C – нормировочная постоянная, m – масса молекулы, v x , v y , v z – декартовы компоненты скорости молекулы, которая рассматривается как материальная точка.
Величины v x , v y , v z могут принимать любые вещественные значения. Распределение (15.32) называется распределениемМаксвелла.Из формулы (15.32) видно, что трехмерное распределение плотности вероятности для декартовых компонент скорости молекулы распадаетсяна произведение одномерных распределений:w(v x , v y , v z ) = w1 (v x ) ⋅ w1 (v y ) ⋅ w1 (v z ) ,где⎛ mv 2xw1 (v x ) = C1 ⋅ exp⎜ −⎜ 2kT⎝⎞⎟⎟⎠(15.33)– распределение плотности вероятности для величины v x . Выражения дляw1 (v y ) и w1 (v z ) имеют аналогичный вид. Это означает, что декартовыкомпоненты скорости молекулы представляют собой статистически независимые случайные величины. Сравнивая формулы (15.23) и (15.33), видим,что каждая из декартовых компонент скорости молекулы есть гауссова случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией< v 2x > =kT.mИспользуя интеграл Пуассона∞∫ exp(− x−∞2)dx = π ,(15.34)§15.
Статистическая механика219и условие нормировки (15.19), нетрудно вычислить постоянную C1 в формуле (15.33):C1 = m / 2πkT .(15.35)Нормировочная постоянная C в формуле (15.32) связана с C1 соотношением C = C13 . Следовательно,C = ( m / 2πkT ) 3 / 2 .(15.36)Распределение молекул во внешнем силовом поле. Распределениеплотности вероятности для декартовых координат молекулы имеет вид⎧ Π ( x, y , z ) ⎫w( x, y, z ) = C ⋅ exp⎨−⎬.kT⎩⎭(15.37)Здесь C – нормировочная постоянная, Π ( x, y, z ) – потенциальная энергиямолекулы.
Распределение (15.37) называется распределением Больцмана.Распределение энергии по степеням свободы. В состоянии термодинамического равновесия на каждую квадратичную степень свободы системы приходится в среднем одинаковая энергия, равная kT / 2 . Это утверждение называют теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы. Квадратичной степенью свободы или квадратичной каноническойпеременной называют переменную, вклад которой в гамильтониан пропорционален квадрату этой переменной. Например, для свободной частицымассой mH=()1p x2 + p 2y + p z2 .2m(15.38)Здесь обобщенные импульсы p x , p y , p z являются квадратичными перемен-§15.
Статистическая механика220ными.15.3. Диффузия и теплопроводностьДиффузией называют процесс проникновения одного вещества вдругое. Например, капнув в воду каплю чернил или туши, мы можем наблюдать процесс постепенного окрашивания воды – диффузию. Изучениеявления диффузии позволило сформулировать закон диффузии, согласнокоторому поток частиц пропорционален градиенту их концентрации.
В простейшем случае, когда концентрация частиц n зависит только от одной декартовой координаты (например x), закон диффузии записывается в виде∂n.∂x(15.39)1 ΔN x⋅S Δt(15.40)jx = − DЗдесьjx =– величина, называемая потоком частиц, ΔN x – число частиц, пересекающих площадку площадью S в направлении оси OX за время Δt . При этомпредполагается, что площадка перпендикулярна оси OX. Знак “минус” вправой части формулы (15.39) указывает на то, что поток частиц идет в направлении убывания их концентрации. Постоянная величина D в формуле(15.39) называется коэффициентом диффузии.Изменение концентрации частиц во времени и в пространстве описывается уравнением диффузии, которое имеет вид∂n∂ 2n= D⋅ 2 .∂t∂x(15.41)Это уравнение есть следствие закона диффузии и уравнения непрерывности, выражающего сохранение числа частиц:§15. Статистическая механика∂j∂n=− x .∂t∂x221(15.42)Теплопроводностью называют процесс переноса тепла в неоднородно нагретом теле.
Изучение этого явления позволило сформулироватьзакон теплопроводности, согласно которому поток тепла пропорционаленградиенту температуры. В простейшем случае, когда температура T зависиттолько от одной декартовой координаты (например x), закон теплопроводности записывается в виде∂T.∂x(15.43)1 ΔQx⋅S Δt(15.44)jx = −κ ⋅Здесьjx =– величина, называемая потоком тепла, ΔQx – энергия, проходящая черезплощадку площадью S в направлении оси OX за время Δt . При этом предполагается, что площадка перпендикулярна оси OX.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
