С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Производные d 2 ξ / ds2 , d 2 η / ds2 аппроксимируем разностными операторами по формулам численного дифференцирования:d 2ξ≈Δ2 ξ=4(ξ i +1 − 2ξ i + ξ i −1 ),(ξ i +1 − ξ i −1 )2 + ( ηi +1 − ηi −1 )24( ηi +1 − 2ηi + ηi −1 )d 2 η Δ2 η≈ 2 =,2dsΔs(ξ i +1 − ξ i −1 )2 + ( ηi +1 − ηi −1 )22ds2Δs(16.29)§16.
Численный анализ в механике247где ξi, ηi – значения координат ракеты в момент времени τ i = iΔτ . При заданной скорости ракеты кривизна траектории дает величину центростремительного ускорения ракеты в данной точке:an =u2= Ku2 .R(16.30)Результаты численного моделирования проиллюстрированы на рис.16.2, 16.3. В частности, на рис. 16.2, а изображены траектория цели и семейство траекторий ракеты имеющей скорость u = 2 и запускаемой из точкис координатами x 0 = 0,5, y0 = 0 в моменты времени τ s = 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6(кривые 1, 2, 3, 4, 5 соответственно). На рис. 16.2, б представлены зависимости нормального ускорения ракеты от времени для тех же моментов запуска.any0.40.23410.0x0.02501 2 3 4 50.55τ01.00.00.5(а)1.0(б)Рис.
16.2any20.41 2 3 40.20.05055x0.00.53411.00τ0.0(а)0.5(б)Рис. 16.31.0§16. Численный анализ в механике248Анализ этих рисунков дает возможность изучить закономерностикриволинейного движения точки с постоянной по модулю скоростью, непосредственно связать локальную кривизну траектории с величиной нормального ускорения точки. Следует обратить внимание на то, что в задачах преследования как правило выгодно выбирать траектории с наименьшей возможной кривизной, так как при этом ракета испытывает минимальные перегрузки и снижается расход топлива. В рассмотренном примере наименьшая кривизна траектории достигается при τ s = 0,6 , однако запуск ракеты встоль позднее время сопряжен с риском, ибо ракета поражает цель ужевблизи поверхности Земли.
Для сравнения на рис. 16.3 изображены результаты преследования цели ракетой, имеющей скорость u = 3 и запускаемойиз точки с координатами x 0 = 0,25, y0 = 0,05 в моменты времениτ s = 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7 (кривые 1, 2, 3, 4, 5 соответственно). Важно отме-тить, что смещение точки запуска ракеты к месту старта цели приводит кнеобходимости увеличить скорость ракеты, т.к. при u = 2 большинство сеансов преследования заканчивается неудачей: ракета не успевает поразитьцель в воздухе. Как следствие этого, нормальное ускорение ракеты на всехтраекториях, кроме последней, по сравнению с предыдущим случаем возрастает. Приведенный пример показывает, что даже в простейшей постановке определение оптимального сценария преследования представляетсобой сложную многопараметрическую задачу.Пример 16.2. Материальная точка (частица) движется под действием силыпритяжение к неподвижному силовому центру.
Исследовать основные закономерности такого движения. Рассмотреть силовые поля с потенциаламивида:Π1 = kr 2 / 2 ,Π 2 = k (r − l0 ) 2 / 2 ,Π 3 = −A / r ,Π 4 = − A / r1+ δ ,§16. Численный анализ в механике249где k – константа упругого взаимодействия с силовым центром, l0 – расстояние от центра, при котором сила упругости меняет знак, А > 0 – константа кулоновского взаимодействия, r – расстояние от частицы до силового центра.Анализ. При движении материальной точки (частицы) в поле центральнойсилы выполняется закон сохранения момента импульсаN = [r, m v] = const ,(I5.31)где r – радиус-вектор, v – скорость, m – масса частицы.Поскольку вектор N в каждый момент времени перпендикуляренвекторам r и v, движущаяся частица остается в одной и той же плоскости,проходящей через силовой центр и вектор начальной скорости. Следовательно траектория частицы представляет собой плоскую кривую.Закон сохранения момента импульса влечет за собой постоянствосекториальной скоростиσ=dSN=|[r, v]| == const .2mdt(16.32)Скорость σ численно равна площади, описываемой радиус-вектором частицы в единицу времени.
Соотношение (16.32) известно как второй закон Кеплера, который утверждает, что при движении точки в центральносимметричном поле за одинаковые промежутки времени радиус-вектор точки описывает одинаковые площади.Центральные силы любой физической природы являются консервативными: их работа на произвольной замкнутой траектории равна нулю.Поэтому при движении частицы в поле такой пространственной конфигурации ее полная механическая энергия сохраняется:mv2+ Π( r) = E 0 .2(16.33)§16. Численный анализ в механике250Законы сохранения (16.32), (16.33), записанные в полярных координатах,обычно называют интегралами площадей и энергии. В курсах теоретической механики [5, 6] их используют для анализа общих свойств движения иполучения уравнений траектории.Векторное уравнение движения частицы под действием силыF = − grad Π( r) , имеет видmmd2x2dtd2 ydt 2=−dt 2= F.(16.34)Совместим с плоскостью движения частицы координатную плоскость XOY, начало координат поместим в силовой центр(рис.
16.4). В проекциях на координатные осиуравнение (16.34) принимает видРис. 16.4md2r∂Π,∂x(16.35)∂Π=−.∂yНачальные условия в общем случае имеют видx (0) = x 0 , y(0) = y0 ,dxdy(0) = v0 x ,(0) = v0 y .dtdt(16.36)Для упрощения постановки задачи и интерпретации результатовбудем рассматривать только такие движения частицы, при которых ее начальная скорость v0 перпендикулярна начальному радиус-вектору r0. В этомслучае число независимых параметров подобия задачи минимально и сводится к одному для потенциалов Π1 = kr 2 / 2 , Π 3 = −A / r и к двум дляпотенциалов Π 2 = k (r − l0 ) 2 / 2 , Π 4 = − A / r1+ δ .§16.
Численный анализ в механике251Не ограничивая общности, будем полагать, что координатная осьОХ проходит через начальную точку движения частицы (рис. 16.4). Тогдаусловия (16.36) принимают видdxdy(0) = 0,(0) = v0 .dtdtx (0) = r0 , y(0) = 0,(16.37)При численном интегрировании системы дифференциальных уравнений (16.35) с начальными условиями (16.37) удобно перейти к безразмерным переменным путем нормировки переменных х, у, t.
В качестве пространственного масштаба естественно взять начальное расстояние от частицы до силового центра r0, в качестве масштаба времени – величинуt0 = r0 / v0 . Вводя безразмерные координаты ξ, η и время τ по формуламξ = x / r0 , η = y / r0 , τ = v0t / r0 ,(16.38)получаем безразмерные уравнения движенияd 2ξdτ2d2η=−1m v02⋅∂Π,∂ξ∂Π=−⋅.22 ∂ηdτm v01(16.39)и начальные условияξ(0) = 1, η(0) = 0,dξdη= 1.= 0,dτdτ(16.40)Выбранная нормировка переменных означает, что частица начинает движение из одной и той же точки ξ = 1, η = 0 , имея единичную скорость, направленную перпендикулярно оси Oξ.
Начальные данные r0, v0, а такжемасса частицы m и константы взаимодействия с силовым центром, соответствующие реальному движению, образуют безразмерные параметры подобия задачи.§16. Численный анализ в механике252Исследуем движение частицы в рассматриваемых силовых полях.1. ПотенциалΠ1 =kr 22(16.41)описывает взаимодействие частицы с силовым центром посредством квазиупрутих сил.
Потенциалы подобного вида обычно используются в механикеи физике для описания моделей пространственных осцилляторов (см. [5],§2.3; [6], 23]). Выраженный через безразмерные координаты частицы, потенциал (16.41) имеет вид:Π1 =()kr02 2ξ + η2 .2(16.42)В соответствии с этим уравнения (16.39) принимают следующую форму:d 2ξdτ 2d2ηdτ 2= −ω1ξ,(16.43)= −ω1η,гдеω1 =kr02(16.44)mv02– параметр подобия, имеющий смысл отношения начальной потенциальнойэнергииΠ 0 = kr02 / 2кначальнойкинетическойэнергиичастицыΚ 0 = mv02 / 2 . Параметру ω1 можно придать также вид начального отношения силы упругости kr0 к центробежной силе инерции m v02 / r0 , котораядействует в неинерциальной системе отсчета на частицу, движущуюся со§16.
Численный анализ в механике253скоростью v0 по окружности радиуса r0. Такая интерпретация дает возможность на основе простых рассуждений пояснить характер движения частицыпри разных значениях ω1.Из курса теоретической механики известно (например, [6], §2.3),что траектории частиц в полях с потенциалами вида Π ~ r 2 всегда замкнуты и представляют собой эллипсы, центр которых совпадает с силовымцентром.
Точки поворота, в которых радиальная скорость обращается внуль, характеризуются расстояниями от силового центра r1, r2, определяемым по формулам ([6], с. 80):r1,2 =⎞k1⎛⎜⎜ E 0 m E 02 − N 2 ⎟⎟ ,k⎝m⎠(16.45)Используя введенную выше нормировку координат и времени, а также выражение (16.45), получаемE0 =m v02 kr02+= Κ 0 + Π 0 = Κ 0 (1 + ω1 ) ,22k 2 k2N = ( mr0 v0 ) = 4Π 0 Κ 0 = 4Κ 0ω1 .mmСледовательно, безразмерные полуоси эллипса α1 = r1 / r0 , α 2 = r2 / r0 выразятся следующим образом:α1 = 1, α 2 =1ω1.(16.46)Безразмерный период обращения, т.е.
время τ1, через которое частица возвращается в исходную точку, как видно из (16.43), равенτ1 =2πω1.(16.47)§16. Численный анализ в механике254Он связан сT1 = τ1r0 / v0 .размерным(истинным)YпериодомT1соотношением2123X0-202-2Рис. 16.5Результаты численного интегрирования уравнений (16.43) методомРунге-Кутта с шагом Δτ = τ1 / 100 представлены на рис. 16.5.
Там изображены траектории движения частицы, полученные при разных значенияхпараметра подобия ω1: ω1 = 0,5 (кривая 1); ω1 = 1 (кривая 2); ω1 = 4 (кривая3). Отчетливо видно влияние начальных условий на форму траектории. Вчастности, когда начальная потенциальная энергия мала по сравнению скинетической (ω1 < 1), эллипс вытянут в направлении начальной скорости.Наоборот, при ω1 > 1 большая полуось эллипса располагается вдоль начального смещения частицы. Случай ω1 = 1 соответствует движению по окружности (см. также формулы (16.46)).2.
При движении тела малых размеров (материальной точки) напружине, длина которой в недеформированном состоянии l0, потенциальнаяэнергия упругих деформаций запишется какΠ2 =k (r − l0 ) 2.2(16.48)§16. Численный анализ в механике255Сила упругости F = − grad Π 2 является в этом случае знакопеременной:при r > l0 частица притягивается к центру, при r < l0 – отталкивается.Потенциал (16.48) выражается через безразмерные координаты следующим образом:Π2 =(kr02 ⎡ 22⎢ ξ +η2 ⎣)1/ 22−l0 ⎤⎥ .r0 ⎦(16.49)Вводя параметры подобияa=l0kr 2, ω 2 = 02 ,r0m v0(16.50)запишем безразмерные уравнения движения частицы:⎞⎛a⎟,⎜1 −=−ωξ2⎜22 ⎟dτ 2ξ +η ⎠⎝d 2ξ⎞⎛d ηa⎟.⎜1 −=−ωη2 ⎜22 ⎟dτ 2ξ +η ⎠⎝(16.51)2Отметим, что хотя параметр ω2 совпадает по форме с (16.44), его интерпретация иная, поскольку величина kr02 уже не связана непосредственно с начальной потенциальной энергией (Π 2 ) 0 = k (r0 − l0 ) 2 / 2 .
Для установлениясмысла параметра ω2 воспользуемся выражением для периода свободныхколебаний тела массой m на пружине жесткостью k, а именноT2 = 2π m / k . Учитывая нормировку времени t0 = r0 / v0 , находим, чтобезразмерный период свободных колебаний τ2 равенτ2 =2πω2.§16. Численный анализ в механике256Траекторию движения частицы в поле с потенциалом Π2 можнопредставить в виде суперпозиции вращательного движения точки по некоторой замкнутой кривой и колебаний относительно этой кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
