С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Вводя безраз~~~мерные моменты инерции I x = 1, I y = I y / I x , I z = I z / I x и безразмерныепроекции угловой скорости Ω x = ω x / ω x 0 , Ω y = ω y / ω x 0 , Ω z = ω z / ω x 0 ,получаем:dΩ x= Ω yΩzdτdΩ y= Ωz ΩxdτdΩ z= Ωx Ω ydτ(I~ − I~ ), Ω (0) = 1,(I~ − 1) I~ , Ω (0) = Ω(1 − I~ ) I~ , Ω (0) = Ωyzzyxyyy0<< 1,zzz0<< 1,(16.84)где τ = ω x 0 t . Результаты численного интегрирования системы (16.84) сшагом Δτ = 2π / 100 представлены на рис.
16.19 – 16.21. Там приведенырасчетные зависимости компонент угловой скорости Ω от времени при поочередном закручивании тела вокруг трех главных осей инерции. Малыезначения компонент угловой скорости по осям OY и OZ имитируют в расчетной модели неточности задания начальных условий, всегда существующие в действительности.Рис. 16.19 относится к случаю, когда тело закручивают вокруг оси,соответствующей наибольшему моменту инерции (рис. 16.18, а):~~~I x = 1; I y = 0,25; I z = 0,4 . Видно, что компоненты угловой скоростиΩ y , Ω z осциллируют с небольшими амплитудами, а Ω x практически по-стоянна. Следовательно, тело совершает в этом случае почти плоское движение, слегка покачиваясь при вращении.Аналогично ведет себя тело при закручивании вокруг оси, соответствующейнаименьшемумоментуинерции(рис.16.18,б:~~~I x = 1; I y = 4; I z = 2 ).
Зависимости Ω x ( τ), Ω y ( τ), Ω z ( τ) для этого случаяизображены на рис. 16.20.§16. Численный анализ в механике1.2275ΩΩ1.2ΩxΩx0.80.80.40.4ΩzΩzτ0.00481216τ0.02004Ωy8121620Ωy-0.4-0.4Рис. 16.19Рис. 16.20Если закрутить тело вокруг оси, соответствующей среднему по величине моменту инерции (рис. 16.18, 2.0 Ω~~~в: I x = 1; I y = 2; I z = 0,25 ), то, какΩyвидно из рис. 16.21, тело начинаеткувыркаться. Все компоненты угловой скорости сильно изменяются повеличине, а Ω x è Ω y даже меняютΩx1.0Ωzτ0.0048121620знак: в некоторые моменты времени-1.0тело вращается вокруг осей OX и OYв противоположном направлении.Такое поведение тела, совершающего -2.0Рис. 16.21в данном случае существенно неплоское движение, отражает тот известный факт, что вращение вокруг оси, соответствующей среднему по величине моменту инерции, является неустойчивым.§17.
Задачи повышенной трудности276§17. Задачи повышенной трудности17.1. С какой минимальной скоростью v0 нужно бросить камень, чтобы онперелетел через дом, имеющий форму прямоугольного параллелепипедавысотой h = 9 м и шириной l = 6 м? Под каким углом α к горизонту нужносовершить этот бросок? На какое расстояние a нужно подойти к стене домадля этого броска? Считать, что бросок производится от поверхности земли.17.2. Собака, находящаяся на расстоянии L = 28 м от прямой тропинки, заметила движущегося по ней навстречу велосипедиста и побежала, держакурс все время прямо на него. На какое наименьшее расстояние a сможетприблизиться к велосипедисту собака, если их скорости одинаковы, а первоначальное расстояние между ними было D = 100 м?17.3. Равносторонний треугольник ABC скользит плашмя по горизонтальному столу (рис.
17.1). Известно, что в некоторыймомент времени точка A имеет скорость v1 =6 м/с≈ 2,45 м/с, точка B имеет скорость v2 = 1,5 м/с, аРис. 17.1скорость центра треугольника направлена параллельно стороне CB. Какова величина скорости v0 центратреугольника в этот момент времени?17.4. Маленькое тело брошено вертикально вверх с начальной скоростьюv0. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости телаи коэффициент сопротивления равен β, найти высоту h подъема тела отточки броска до верхней точки траектории. Какое время τ будет продолжаться подъем тела до верхней точки?17.5. Автомобиль движется с постоянной скоростью по горизонтальнойдороге, имеющей форму эллипса с полуосями А и В. Какую максимальную§17. Задачи повышенной трудности277скорость может развить автомобиль, чтобы не было заноса, если коэффициент трения между шинами автомобиля и покрытием дороги μ? Для оценокположить: А = 100 м, В = 50 м, μ = 0,5.17.6.
На горизонтальном столе покоится клин массой M (рис. 17.2). Сверхуна клин падает гладкий шарик массой m. Определить угол при основании клина α, если известно,что после упругого удара о клин шарик отскочилпод углом β к вертикали, а клин начал двигатьсяпоступательно. Трением пренебречь.Рис. 17.217.7. Два одинаковых шара радиусами R летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями как показано на рис. 17.3. Расстояние между линиями движения центров шаров S =R. На какой угол β повернется вектор скорости кажРис. 17.3дого из шаров после удара? Удар считать упругим,шары – идеально гладкими.17.8.
Космический корабль движется с постоянной по величине скоростьюv. Для изменения направления полета включается навигационный двигатель, выбрасывающий струю газа с относительной скоростью v0 перпендикулярно траектории корабля. Определить угол α, на который повернетсявектор скорости корабля, если его начальная масса m0, а масса топлива, израсходованного на поворот, m.
Для оценок положить v =10 км/с, v0 = 2 км/с,m0 = 100 т, m = 100 кг.17.9. Ракета начинает разгоняться в свободном пространстве из состоянияпокоя, выбрасывая реактивную струю с относительной скоростью v0 = 3км/с. Найти отношение кинетической энергии ракеты к кинетической энергии реактивной струи в момент, когда ракета достигнет скорости vкон = 12км/с.17.10. Ракета начинает разгоняться в свободном пространстве из состояния278§17. Задачи повышенной трудностипокоя, выбрасывая продукты сгорания с относительной скоростью v0.
Прикакой скорости ракеты v ее кинетическая энергия максимальна?17.11. С поверхностей Земли и Луны вертикально вверх стартуют одинаковые ракеты, имеющие начальную массу m0 = 100 т. Найти и сравнить скорости этих ракет, которые они приобретут относительно планет спустя 10 секунд после старта. Скорости выбрасывания газов v0 у ракет одинаковы иравны 2 км/с.
Расход топлива μ также одинаков и равен 1 т/с. Гравитационные поля Земли и Луны считать однородными. Ускорение свободного паде, м/с2.ния у поверхности Луны gË = 1617.12. Космический зонд, совершающий мягкую посадку на Марс, зависаетнад его поверхностью. По какому закону μ = μ(t) должен меняться расходтоплива, чтобы зонд оставался неподвижным? Какое количество топлива mизрасходует двигатель зонда за время t0? Масса зонда в начале зависания m0= 1 т, относительная скорость выбрасывания газов двигателем v0 = 2 км/с,ускорение свободного падения у поверхности Марса g = 3,7 м/с2, t0 = 1 мин.17.13. Определить коэффициент полезного действия ракеты, т.е. отношениекинетической энергии Κ, приобретенной ракетой, к количеству теплоты Q,выделившейся при сгорании топлива.
Скорость, достигнутая ракетой v = 9км/с. Удельная теплота сгорания топлива q = 1,68 МДж/кг, относительнаяскорость выбрасывания газов v0 = 3 км/с.Рис. 17.417.14. Брусок массой M = 100 г подвешен на невесомой пружинежесткостью k = 1 Н/м (рис. 17.4). Снизу в него попадает пластилиновый шарик массой m = 1 г, летящий вертикально вверх соскоростью v0 = 2,5 м/с, и прилипает к бруску. Найти амплитудуA возникающих при этом гармонических колебаний.
Ускорениесвободного падения принять g = 10 м/с2.17.15. На гладком столе покоятся два одинаковых шарика массой m каж-§17. Задачи повышенной трудности279дый, скрепленные пружиной длиной l и жесткостью k. Одному из шариковсообщили ударом скорость v в направлении, перпендикулярном прямой,соединяющей их центры. Определить эту скорость, если известно, что придвижении шариков пружина растягивалась до максимальной длины, равнойL.17.16. Теннисный мяч ударяется о пол теннисного корта так, что скоростьцентра мяча непосредственно перед ударом направлена под углом α к вертикали (рис. 17.5). Определить угол отскока мяча β, считая, что до ударамяч двигался поступательно, а в конце удара проскальзывание мяча относительно пола прекратиРис.
17.5лось. При расчетах положить, что мяч являетсяполым шаром с бесконечно тонкими стенками.17.17. Клин массой M с углом α при вершинеможет скользить по гладкой горизонтальнойплоскости. С клина скатывается без проскальзывания однородный цилиндр массой m (рис.17.6). Найти ускорение клина.17.18. Тонкий однородный стержень массой m подвешен за концы на двух нитях, закрепленных в однойточке на неподвижной опоре (рис. 17.7). Длина каждой нити равна длине стержня. Одну из нитей пережигают.
Найти натяжение другой нити в этот моментвремени. Нити считать невесомыми и нерастяжимыми.Рис. 17.6Рис. 17.717.19. Показать, что однородный сплошной шар притягивает материальнуюточку так, как если бы вся масса шара находилась в его центре.17.20. Тело покоится на наклонной плоскости, причем коэффициент тренияμ тела о плоскость связан с углом α наклона плоскости к горизонту соот-§17. Задачи повышенной трудности280ношением μ = tg α . Ударом телу сообщили скорость v0 в горизонтальном направлении вдоль наклонной плоскости(рис. 17.8). Найти установившуюся скоРис. 17.8рость движения тела v ∞ .17.21.
Бусинка скользит по проволочному кольцу, расположенному горизонтально. Коэффициент трения между бусинкой и проволокой равен μ. Восколько раз n уменьшится кинетическая энергия бусинки при прохожденииею пути, при котором вектор скорости бусинки повернется на угол Δϕ?Действием сил тяжести и сопротивления воздуха пренебречь.17.22. Шар массой m1, движущийся со скоростью v, налетает на покоящийся шар массой m2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
