С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В момент удара линия, соединяющая центры шаров, составляет с вектором v угол, равный ϑ. На какой угол ϕ повернется векторскорости первого шара в результате удара? Какими будут скорости шаровv1 и v2 после удара? Удар считать абсолютно упругим. Трением пренебречь.17.23. Цепь массой m и длиной l подвешена за концы и находится в состоянии равновесия в однородном поле тяготения. Найти функцию y(x), описывающую форму цепи, если известно, что звено на левом конце цепи является самым нижним, касательная к цепи на левом конце направлена горизонтально, а натяжение цепи на левом конце равно T0.17.24. Брусок массой m, лежащий на горизонтальной плоскости, соединенпружиной жесткостью k с неподвижной стенкой.
Пружина расположенагоризонтально и в начальном состоянии не деформирована. Брусок смещают вдоль оси пружины на расстояние l и отпускают без начальной скорости.Найти максимальную скорость, которой достигнет брусок в процессе движения, если коэффициент трения бруска о плоскость равен μ.17.25. Три одинаковых тела массой m каждое надеты на горизонтальныйстержень, по которому могут скользить без трения.
Первое и второе тело§17. Задачи повышенной трудности281соединены пружиной жесткостью k, такой же пружиной соединены второеи третье тела. Найти собственные частоты колебаний и нормальные координаты для этой системы.17.26. В однородном диске радиусом R просверлили отверстие радиусом r,центр которого расположен на расстоянии a от центра диска. Вычислитьмомент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. На каком расстоянии от центра дисканаходится центр масс диска с отверстием? Масса диска с отверстием m.17.27. Искусственный спутник движется вокруг Земли по круговой орбитерадиусом r0. Для изменения орбиты спутника на короткое время включаютнавигационный двигатель, в результате чего линейная скорость спутникаувеличивается на n = 9,5% , оставшись неизменной по направлению.
Найтирасстояние от центра Земли до апогея (самой удаленной от Земли точки)новой орбиты спутника.17.28. Тонкий однородный стержень массой m шарнирно закреплен на одном из концов (рис. 17.9). Приподнимая стержень за свободный конец, его приводят в положение, при котором он составляет с горизонталью угол 30°, а затем отпускают без начальной скорости. Определить реакцию шарРис.
17.10нира P в момент, когда стержень проходитгоризонтальное положение.17.29. Объем тонкостенного цилиндрического сосуда высотой Н = 40 смравен V = 400 см3, его масса m = 330 г. Притемпературе окружающей среды t = 47° C иатмосферном давлении р0 = 100 кПа сосудпереворачивают вверх дном и погружают вжидкость плотностью ρ= 1000 кг/м3. Приэтом сосуд плавает, как изображено на рис.Рис. 17.10282§17. Задачи повышенной трудности17.10. Затем температура окружающей среды начинает медленно понижаться.
При какой температуре t1 сосуд утонет? Атмосферное давление считатьнеизменным, ускорение свободного падения принять g =10 м/с2.17.30. Считая молекулы газа твердыми гладкими шариками массой m, вычислить среднее значение произведения < v z ⋅ v z′ > , где v z – проекция ско-рости молекулы на ось OZ перед столкновением, v z′ – проекция скоростимолекулы на ось OZ сразу после столкновения с другой молекулой. Температура газа T.17.31. Считая молекулы газа твердыми гладкими шариками массой m, вычислить среднее значение произведения B ( τ) =< vz (t ) ⋅ v z (t + τ) > , где v z (t )– декартова компонента скорости молекулы в момент времени t. Температура газа T.Указание. Считать, что число столкновений n, которые испытывает молекула газа за время t, есть пуассоновская случайная величина со средним значением < n >= υ ⋅ t , где υ = const – средняя частота столкновений.17.32.
Фотон с энергией E 0 = 1 эВ распространяется вдоль оси OX. На-встречу фотону движется электрон с энергией E = 50 МэВ. В результатестолкновения образуется фотон с энергией E1 , распространяющийся против оси OX. Найти величину E1 . Энергия покоя электрона mc2 = 0,5 МэВ.Ответы283Ответы§1. Кинематика материальной точки(&&ρ − ρϕ& )21.6. a =x22& & + ρϕ&& )2 .+ (2ρϕy2= 1 (эллипс с полуосями b и c); a = −ω 2 r (ускорениеc2направлено к центру эллипса).1b1.8. v = b(1 − 2αt ) ; a = −2αb ; τ = ; S =.α2α1.7.b2+1.9.
y = x −α 2x ; v = ib + j(b − 2αt ) ; v = b 2 − 4αt + 4α 2t 2 ; a = − j2αb ;ba = 2αb ; τ =1.10. v =1.αv0 R⎛ v ⎞; S = ln ⎜1 + 0 t ⎟ .⎝R ⎠R + v 0t1.11. a(0) = lα 20ω 2 ; a(α 0 ) = lα 0ω 2 ; amin = lω 2 α 20 −11; α m = ± α 20 − .422⎛⎞v2v02 ⎜ 1 ⎛ gh ⎞1 gh ⎟1 gh⎜⎟− ⎜ 2 ⎟ − + 2 ⎟ ; cosα =− 2 ; S max = 0 − 2h .1.12. l =⎜g ⎜ 4 ⎝ v0 ⎠2 v0 ⎟2 v0g⎝⎠Указание: дальность полета мин над плоскогорьем максимальна,если угол, который составляет с горизонтом скорость минна высоте h, равен 45° .1.13. l1 =2u Lu0 LuL; l2 = 0 ; l3 = 0 .3v0v02v01.14.
v x = v y ctg α ; v c =vy.2sin α1.15. 2 y1 + y2 + y3 = const ; 2v1 y + v2 y + v3 y = 0 ; 2a1 y + a2 y + a3 y = 0 .Ответы284§2. Кинематика твердого тела2.6. x (ϕ) = R (ϕ − sin ϕ),2.7. ω =2.8. v01y( ϕ) = R (1 − cos ϕ) .1 2v1 + v22 .lvBvB= 2 м/с, v02 =≈ 115=,м/с.⎛ π α⎞⎛ π α⎞2 sin ⎜ − ⎟2 cos⎜ − ⎟⎝ 4 2⎠⎝ 4 2⎠vc.rv02.10. v =.1 − tg α2.9. ω =cos ϕ − sin ϕ 0$2.11. S = sin ϕ cos ϕ 0 .1002.12. t ij = s ji , или T$ = S$ T , где символ T обозначает операциютранспонирования.2.13.∑ sik s jk = δ ij , где δ ij – символ Кронекера, i = 1, 2, 3; j= 1, 2, 3.k∑ sik(1) skj(2) , или2.14.
sij =S$ = S$ (1) S$ (2) . Искомая матрица являетсяkпроизведением матриц S$ (1) и S$ (2) .2.15. v i′ =∑ s ji v j ,ai′ =j∑ s ji a j .j§3. Кинематика относительного движения3.7. u =3.8. n0 =v2± u02 −v2.2n1v2 − n2 v1= 100 капель в секунду.v2 − v1Ответы285v2 sin α3.9. l =v12 + v22 + 2v1v2 cos αL.3.10.
v = 3V .3.11. v1 = v 2 + 4u 2 cos ϑ − 4uv cos 2 ϑ .3.12. vотн = v1 cos( π − α)(tg β − tg( π − α) ) .3.13. Влево по ходу движения.3.14. vотн = Vd= 20 км/ч.R3.15. vотн = V 2 + 2d d2+≈ 116,6 км/ч.R R23.16. l = R (tg α − α) , где α = arccosR −h.R§4. Динамика материальной точки. Законы Ньютона4.6. v = v0 e−βtm; S = v0m.βββ ⎞tmgm 2 − m t ⎛⎜⎛ τ⎞m4.7. 1) S = gτ⎜1 − ⎟ ; 2) S =1 − e ⎟ .
Отсчет времени tτ + 2 ge⎜⎟⎝ 2⎠ββ⎝⎠начинается с начала падения первой капли.4.8. 1) | Fср |=2 2mV 2 ; 2) | Fср |= maτ .πR4.9. F = 3P1 .4.10. a =gR ⎛l⎞⎜1 − cos ⎟ .l ⎝R⎠4.11. a = g 9μ 2 + 4 = 20,5 м/с2.4.12. α =π 11− arctg .2 2μОтветы2864.13. a1 =4 m1m2 + m0 ( m1 − m2 )m0 m2.g ; m1 =4 m1m2 + m0 ( m1 + m2 )m0 + 4 m 24.14. a1 =m1 g − m2 ( g − a2 )m1m2; R=(2g − a2 ) .( m1 + m2 )m1 + m24.15. F =9mMg.4m + M( gR tg α + v )gR .24.16.
u =gR − v 2 tg α§5. Законы сохранения импульса и энергии5.6. ΔΚ = 2mu(u − v) , Δp = 2m( u − v) .5.7. u = vM +m.m cos α5.8. v0 =gl.β +15.9. x =( m2 − m1 )l.m1 + m2 + M5.10. ϑ = arctg3 ≈ 70° .5.11. v x = v0 ⋅β2 − 26 − β2. Здесь ось OX направлена вдоль начальной скоростишайбы A. При β < 2 шайбаA отскочит назад, при β = 2остановится, при β > 2 будет двигаться вперед.5.12.
F =mSt025.13. v = m ⋅5.14. v == 2,5 ⋅104 Н, A =mS 2t 02= 2,5 ⋅10 5 Дж, Κ =2 gR.M ( M + m)2m1 + m2⎛m22v2 ⎞⋅ ⎜⎜ m1 gh +⋅ 0 ⎟⎟ .m1 + m2 2 ⎠⎝mS 22t02=A.2Ответы287m1m2.k ( m1 + m2 )5.15. L = l + v0⎛ | m − M |⎞5.16. S = L ⎜1 +⎟.⎝m+M ⎠§6. Релятивистская механика6.8. v =2v01 + v02 / c26.9. v = v0 2 -v02c2, c; 0,8c; 0,994c .. v ≈ 0198, c; 0,661c; 0,982c .. v ≈ 0141FF1 − v 2 / c2 = 0,6 .mm4⎡ tg α ⎤= arctg .
Заметим, что β > α .6.11. β = arctg ⎢22⎥3⎣1 − v / c ⎦6.10. a =6.12. px′ =px − EV / c22, p′y = py , pz′ = pz , E ′ =2E − pxV1 −V / c1 − V 2 / c26.13. E = pc, v = c . Такая частица называется фотоном.6.14. η =6.15. v =21 + 3v02 / c2, ; 1512, ; 1080,. η ≈ 1971.v11 + 1 − v12 / c2= 0,5c .§7.
Неинерциальные системы отсчета7.6. a = a0 cos α − μ a02 sin 2 α + g 2 .7.7. a =111− μg(1 − μ) − a0 (1 + μ) , если a0 < g,1+ μ22a = 0 , если g1− μ1+ μ,≤ a0 ≤ g1+ μ1− μОтветы288111+ μa = − g(1 + μ) + a0 (1 − μ) , если a0 > g.1− μ22l7.8. T = 2π2g + a2., см.7.9. На восток, на расстояние x = v0 Ωτ 2 sin ϕ ≈ 317.10. ω 2 = ω1sin ϕ 2≈ 5,02 ⋅10 −5 рад/с.sin ϕ17.11. v c = R (2 g + ω 2 R ) .7.12. cos ϕ =3 g.⋅5 ω 2lω 2lsin α .g7.13.
tg β = 2 tg α −7.14. α = arctg7.15. R = rR ω2.g4π 2 k + m ω 24π 2 k − mω 2.§8. Момент инерции твердого тела()8.6. I =m 2 2a +b .128.7. I =ml 2sin 2 α .128.8. I =m 2r +R2 .28.9. I =m 2 2a +b .48.10. I =()()mb22⎛ 1 2 ⎞⎜1 + tg α⎟ .⎝ 3⎠Ответы2898.11. I =5πR 4 bρ .168.12. I =3mR 2 .108.13. I =3 ⎛ 2 R2 ⎞⎟.m⎜ H +5 ⎜⎝4 ⎟⎠8.14. I =2mR 2 .38.15. Центр масс находится на расстоянии z c =3R от центра.8§9. Динамика твердого тела9.7. a =9.8. ε =( m 1 − m2 ) gm 1 + m2 + I / R 2.4 g⋅ .11 R9.9. T = M g +9.10.
a =ImgI + mr 2.gg, ac =.3M3M1+2+8m4m9.11. μ ≥ μ min =1M8+3m.3m − μMm + μ(4 m + M )g , ac =g.3m + M3m + M2m2 F.9.13. a1 =(2m1 + 3m2 )( m2 + 2m3 ) − m229.12. a =9.14. v1 =M R ω0mR ω 0, v2 =.m + 3Mm + 3MОтветы2903F.m + 3M9.16. F = μg( m + 3M ) .9.15. a =2 g sin α.I +I2 + 1 22mR2 v09.18. t0 =.7 μg9.17. a =9.19. v = 3gh .9.20. ω 2 =()2 − 1 ω1 .§10. Закон сохранения момента импульса10.6. ω =10.7. l =10.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
