С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В общемслучае траектория точки не замкнута, поэтому говорить строго о периодеобращения нельзя. Однако можно ввести понятие квазипериода, посколькудвижение в этом поле всегда финитно.Y2Y211X0-2-1012X0-2-101-1-1-2-2(а)2(б)Рис. 16.6Из простых соображений ясно, что с ростом параметра ω2 квазипериод обращения будет возрастать. В самом деле, при фиксированной жесткости пружины k увеличение ω2 означает уменьшение начальной скоростичастицы, т.е. ее кинетической энергии. Одновременно уменьшается периодколебаний частицы, поэтому с ростом ω2 колебательное движение будетпреобладать над вращательным движением частицы вокруг силового центра.Приведенные выше соображения подтверждаются результатамичисленного интегрирования системы уравнений (16.51).
На рис. 16.6 изображены траектории частицы, полученные методом Рунге-Кутта с шагомΔτ = τ 2 / 100 для следующих значений параметров подобия: a = 15, ; ω2 = 5(рис. 16.6, а) и a = 15, ; ω 2 = 30 (рис. 16.6, б). (Пунктирными окружностями§16. Численный анализ в механике257на этих рисунках отмечена длина недеформированной пружины). Видно,что движению частицы вокруг центра сопутствуют ярко выраженные радиальные колебания, частота которых возрастает с увеличением ω2.3.
Особый интерес представляет движение частицы в поле с классическим кулоновским потенциаломΠ3 = −A.r(16.52)В случае электростатического поля, создаваемого неподвижным зарядом Q,константа взаимодействия A = − qQ / (4 πε 0 ) , где q – заряд движущейся частицы, ε0 – электрическая постоянная; в случае гравитационного поля, создаваемого неподвижной массой M, константа A = GM m , где G – гравитационная постоянная.При А < 0 взаимодействие носит характер отталкивания от центра,при А > 0 – притяжения к центру.
Ограничимся в дальнейшем случаем A >0, как приводящем к большему разнообразию типов движения.В безразмерных координатах кулоновский потенциал записываетсякакΠ3 = −Ar0 ( ξ 2 + η2 )1/ 2.(16.53)Уравнения движения имеют вид:d 2ξdτ2= −ω 3d2ηdτ 2ξ( ξ + η2 ) 3 / 2= −ω 32η( ξ 2 + η2 ) 3/ 2,(16.54),гдеω3 =Ar0 m v02(16.55)§16. Численный анализ в механике258– параметр подобия, имеющий смысл отношения модуля начальной потенциальной энергии A/r0 к удвоенной начальной кинетической энергии m v02 .Из курса теоретической механики известно([5], §2.4), что траектории частицы, движущейся в поле с потенциалом Π3, представляют собойкривые второго порядка.Если полная энергия E0 ≥ 0, то движение инфинитно, причем приE0 > 0, что соответствует значениям параметра ω 3 < 0,5 , траектория частицы – гипербола, при E0 = 0 ( ω 3 = 0,5 ) – парабола.Движение частицы с отрицательной полной энергией (Е0 < 0,ω 3 > 0,5 ) финитно. Траектории частицы представляют собой эллипсы, укоторых один из фокусов совпадает с центром (первый закон Кеплера).
Полуоси эллипсов рассчитываются по формулам ([5], §2.4):a1 =AN., a2 =2| E 0 |2m | E 0 |(16.56)Соответствующие им безразмерные величины имеют вид:α1 =ω3a1a, α2 = 2 ==r0 2ω 3 − 1r012ω 3 − 1.(16.57)Период обращения частицы по эллиптической орбите равенT 3 = 2πm 3/2a1 .A(16.58)Безразмерный период выражается через параметр подобия следующим образом:τ3 =v02π 3 / 2α1 .T3 =r0ω3(16.59)Результаты численного интегрирования системы уравнений (16.54)методом Рунге-Кутта с шагом Δτ = τ 3 / 100 представлены на рис.
16.7. Там§16. Численный анализ в механике259изображены траектории частицы, полученные при следующих значенияхпараметра подобия: ω3 = 0,5 (кривая 1); ω3 = 0,6 (кривая 2); ω3 = 0,75 (кривая 3); ω3 = 1 (кривая 4); ω3 = 1,5 (кривая 5).Y1422345X0-6-4-202-2-4Рис. 16.7Видно, что характер движения частицы и тип траектории действительно однозначно определяются параметром ω3. При равенстве абсолютных начальных значений потенциальной и кинетической энергии (ω3 = 0,5)движение происходит по параболе.
При ω3 > 0,5 (начальная кинетическаяэнергия мала по сравнению с А/r0) движение становится финитным, траектории частицы – эллипсы с силовым центром, расположенным в одном изфокусов. Частный случай ω3 = 1 соответствует движению по окружности.При 0,5 < ω3 < 1 силовой центр совпадает с ближним от начальной точкичастицы фокусом эллиптической орбиты, при ω3 > 1 – с дальним фокусом.4.
ПотенциалΠ4 = −A1+ δr(16.60)§16. Численный анализ в механике260используется в ряде теоретических моделей, например, при описании межмолекулярных и внутримолекулярных взаимодействий ([5, 6]) и т.п. Крометого, этот потенциал представляет методический интерес, поскольку позволяет в наглядной форме подчеркнуть фундаментальность кулоновского потенциала Π 3 = −A / r .
Из теории известно, что траектории частицы в поле спотенциалом Π4 при δ ≠ 0 незамкнуты, даже если движение финитно.Сколь угодно малое отличие δ от нуля приводит к прецессии (вращению)эллиптической орбиты, т.е. эффекту, имеющему во многих случаях принципиальное значение.В безразмерных координатах потенциал Π4 записывается следующим образом:Π4 = −A(r01+ δ ξ 2 + η2.)1/ 2 + δ / 2(16.61)Безразмерные уравнения движения имеют видd 2ξdτ 2= −ω 4 (1 + δ)2d ηdτ 2= −ω 4 (1 + δ)(ξ2ξ + η2(ξ)3/2+ δ /2(16.62)η2+ η2),3 / 2+ δ / 2,где один из параметров подобия, а именноω4 =Ar01+ δ m v02,(16.63)имеет, как и Π3, смысл отношения модуля начальной потенциальной энергии к удвоенной начальной кинетической энергии.
Вторым параметром подобия является δ.§16. Численный анализ в механике261Определение условий финитности или инфинитности движения взависимости от значений двух параметров подобия δ и ω4 в общем виде затруднительно и выходит за рамки нашего рассмотрения. Отметим лишь, чтообщая методика нахождения границ движения заключается в анализе зависимости так называемого эффективного потенциалаΠ eff = Π(r) +N22mr 2от радиуса r ([5], §2.3; [6], §14). Значения rmin и rmax, при которых выполняется равенство Π eff = E 0 , определяют границы изменения расстояния отсилового центра до частицы при ее движении.
Траектории частицы бесчисленное число раз касаются окружностей радиусов rmin и rmax и за бесконечное время заполняют все кольцо между ними.Численное интегрирование уравнений (16.62) проводилось, как иранее, методом Рунге-Кутта. Однако нужно заметить, что априорный выборшага интегрирования Δτ в данной задаче вызывает трудности, так как принекоторых значениях δ и ω4 скорость движения частицы по траекториисильно изменяется. Исходя требования, чтобы максимальное безразмерноесмещение частицы за шаг Δτ не превышало 0,05, была эмпирически уста-()новлена следующая, достаточно надежная оценка: Δτ ≤ 2π / 300 ω 4 , которая и использовалась в расчетахРезультаты численного анализа представлены на рис. 16.8 и 16.9.На рис.
16.8 изображены траектории частицы при ω 4 = 1 и положительныхзначениях δ: δ = 01, (рис. 16.8, а) и δ = 0,3 (рис. 16.8, б). На рис. 16.9 приведены траектории частицы при ω 4 = 1 и отрицательных δ: δ = −01, (рис.16.9, а) и δ = −0,3 (рис. 16.9, б).Обращают на себя внимание следующие закономерности. Когда| δ| << 1 , финитную траекторию можно интерпретировать как прецессирующий (вращающийся) эллипс, причем при δ > 0 направление прецессии совпадает с направлением движения частицы, при δ < 0 – противоположно.§16. Численный анализ в механике262Таким образом, сколь угодно малые отличия показателя степени r в функции 1/r от единицы можно зарегистрировать, наблюдая в течение достаточного времени движение уединенной материальной точки в исследуемомполе.
Замкнутость траекторий, с высокой точностью установленная для потенциала Π 3 = −A / r , убедительно свидетельствует о его фундаментальности.YY1.01.00.50.50.0-1.0-0.50.00.0X0.51.0-1.0-0.50.00.5X1.012-0.5-0.5-1.0-1.0(а)(б)Рис. 16.8YY2211X0-2-1012X0-2-1-10-1-2-2(а)(б)Рис. 16.9§16. Численный анализ в механике263С ростом δ > 0 сила притяжения к силовому центру при малых rувеличивается, но взаимодействие становится "короткодействующим" (силабыстро убывает с расстоянием). Наоборот, с уменьшением δ < 0 притяжение вблизи центра становится слабее, но медленнее убывает при удаленииот него.
Указанные закономерности отражаются на характере траекторийчастицы, которые можно видеть на рис. 16.8, б и 16.9, б.Пример 16.3. Два грузика одинаковой массой m связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок пренебрежимо малой массы, который может вращаться без трения (рис.
16.10). Левый грузик отклонили на некоторый угол ϕ в плоскости рисунка иотпустили. Правый грузик может перемещаться тольковертикально. Радиус блока R0 достаточно мал, так что изменением длины r левого отрезка нити за счет перемещения точки схода нити с блока можно пренебречь( R 0 ϕ << r ). Определить, как будет двигаться левый грузик, когда систему предоставят самой себе.Анализ. Уравнение связи, накладываемой нитью длиной lна положение грузиков, имеет вид:r + x 2 + πR 0 − l = R 0 ϕ ≈ 0 ,Рис. 16.10(16.64)Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координатвыберем r и ϕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
