С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Формулы преобразования от обобщенных координат к декартовым таковы:x 1 = r cos ϕ, y1 = − R 0 + r sin ϕ, x 2 = ( l − πR 0 ) − r .(16.65)Записываем кинетическую энергию системы:Κ=m( x&12 + y&12 ) mx& 22r&2 + r 2 ϕ& 2r&2r&2r 2 ϕ& 2.+=m+m= 2m + m222222§16. Численный анализ в механике264Потенциальная энергия равнаΠ = − mgx 1 − mgx 2 = − mgr cos ϕ + mgr − mg(l − πR 0 ) .Лагранжиан системы имеет вид:L = 2mr&2r 2 ϕ& 2+m− mgr + mgr cos ϕ .22(16.66)Записываем уравнения Лагранжа2mr&& − mrϕ& 2 + mg − mg cos ϕ = 0,&& ) + mgr sin ϕ = 0.mr(2r&&ϕ + rϕ(16.67)Введем безразмерные переменныеρ=r, τ = ω 0t ,r0(16.68)где r0 = r(0), ω 0 = g / r0 и сведем (16.67) к системе уравнений первогопорядка:dρ= ξ,dτdϕ= η,dτ1dξ 1= (cos ϕ − 1) + ρη2 ,2dτ 212dη= − sin ϕ − ξη.ρρdτНачальные условия для безразмерных переменных имеют вид:(16.69)§16.
Численный анализ в механике265ρ(0) = 1, ϕ(0) = ϕ 0 , ξ(0) = 0, η(0) = η0 .(16.70)Результаты численного интегрирования системы уравнений (16.69)с шагом Δτ = 2π / 100 представлены на рис. 16.11 для двух значений начального угла отклонения левого грузика: ϕ0 = 0,1 (кривая 1) и ϕ0 = 0,5 (кривая 2) при начальной скорости η0 = 0. Там изображены траектории движения левого грузика на плоскости переменных ρ, ϕ.ϕ0-0.4-0.20.00.20.422146ρРис. 16.11Видно, что раскачиваясь, левый грузик совершает сложное движение: угол его отклонения уменьшается, а длина левого отрезка нити возрастает, одновременно правый грузик поднимается вверх.
Раскачивающийсягрузик "перевешивает" такой же грузик, висящий на вертикальной нити,причем этот эффект тем заметнее, чем больше начальный угол отклоненияшарика. Аналогичная картина наблюдается, если неотклоненному левомугрузику (ϕ0 = 0) сообщить начальную скорость η0 в горизонтальном направлении (рис. 16.12: η0 = 0,1 (кривая 1) и η0 = 0,5 (кривая 2)).§16. Численный анализ в механике266ϕ0-0.4-0.20.00.20.422146ρРис. 16.12Пример 16.4. Исследовать колебания плоского математического маятника,нить которого изменяет свою длину со временем по закону l = l0 + v0t , гдеv0 = const . Рассмотреть случаи, когда v0 > 0 (нить удлиняется) и v0 < 0(нить укорачивается).Анализ.
Уравнение движения маятника имеет вид (см. задачу 11.8):&& +ϕ2V 0gϕ& +sin ϕ = 0 .l0 + v0tl0 + v0t(16.71)Выберем в качестве масштаба времени величинуT =l0| v0 |и введем безразмерное время τ по формулеτ=t | v0 | t=.Tl0(16.72)§16. Численный анализ в механике267В результате замены t на τ уравнение (16.71) распадается на два безразмерных уравнения:d 2ϕdτ2+2 dϕ β 2⋅ +sin ϕ = 0 ï ðè v0 > 0,1 + τ dτ 1 + τd 2ϕ2 dϕ β 2−⋅ +sin ϕ = 0 ï ðè v0 < 0,dτ 2 1 − τ dτ 1 − τ(16.73)где β = ω 0T – параметр подобия задачи, ω 0 = g l 0 – характерная частота.
Параметру β можно придать следующий наглядный смысл:β = 2 πN ,где N – число полных колебаний, совершаемых маятником постоянной длины l0 за время T = l0 /| v0 | . Следовательно, быстрому изменению длины нитисоответствуют малые значения параметра β, а медленному – большие.Сводя (16.73) к системам уравнений первого порядка, получаем:dϕ= ψ,dτdψβ22=−ψ−sin ϕ = 0 ï ðè v0 > 0,dτ1+ τ1+ τdψβ22=ψ−sin ϕ = 0dτ 1 − τ1− τ(16.74)ï ðè v0 < 0.Начальные условия имеют вид:ϕ(0) = ϕ 0 , ψ (0) = ψ 0 .(16.75)Рассмотрим движение маятника при следующих начальных условиях:ϕ 0 = 01, ; ψ0 = 0 .§16.
Численный анализ в механике268Результаты численного интегрирования системы (16.74) с шагом Δτ = 0,005приведены на рис. 16.13 для случая удлиняющейся нити ( v0 > 0 ) и на рис.16.14 для случая укорачивающейся нити ( v0 < 0 ). Там изображены зависимости угла отклонения маятника ϕ от времени τ, полученные при β = 100(кривые 1) и при β = 10 (кривые 2).ϕ0.2120.0τ0.00.20.40.60.81.00.8τ1.0-0.2Рис. 16.13ϕ1.0210.00.00.20.40.6-1.0Рис. 16.14Когда длина нити увеличивается, движения маятника носят характер затухающих колебаний с уменьшающейся частотой. По иному выглядятдвижения маятника, когда нить укорачивается. Вначале угловая амплитудаи частота колебаний маятника увеличиваются.
Затем наступает момент,когда угол ϕ начинает расти монотонно (на рисунках в этот момент кривыепрерываются). На смену колебаниям приходит вращение маятника вокругточки подвеса с нарастающей угловой скоростью.§16. Численный анализ в механике269Пример 16.5. Исследовать движение двойного плоского маятника (рис.16.15) при произвольных начальных отклонениях. Численные решения сравнить с аналитическими решениями, полученными в задаче 13.5 при малых отклонениях маятника.Анализ.
Лагранжиан системы имеет вид (см. задачу 13.5 иформулу (13.27)):⎛⎞β& 2L = ml 2 ⎜⎜ β& 12 + 2 + β& 1β& 2 cos(β1 − β 2 )⎟⎟ −2⎝⎠Рис. 16.15−2mgl(1 − cos β1 ) − mgl(1 − cos β 2 ) .(16.76)Запишем уравнения Лагранжа:&& + β&& cos(β − β ) + β& 2 sin(β − β ) + 2 g sin β = 0,2β12122121l&& cos(β − β ) + β&& − β& 2 sin(β − β ) + 2 g sin β = 0.β11221122l(16.77)В отличие от линеаризованных уравнений (13.28), эти уравнения справедливы при любых углах отклонения маятников β1 и β2. Введем безразмерноевремя τ по формулеτ = ω 0t , ω 0 =gl(16.78)и сведем систему (16.77) к четырем уравнениям первого порядка:dβ1= ψ 1,dτdβ 2= ψ 2,dτdψdψ 2cos(β1 − β 2 ) = − ψ 22 sin(β1 − β 2 ) − 2 sin β1,2 1+dτdτdψ 2dψ 2cos(β1 − β 2 ) += ψ12 sin(β1 − β 2 ) − sin β 2 .dτdτ(16.79)§16.
Численный анализ в механике270Последние два уравнения системы (16.79) нужно разрешить относительноdψ1 dτ и dψ 2 dτ . В итоге получаем:dβ1= ψ 1,dτdβ 2= ψ 2,dτdψ11=− sin(β1 − β 2 ) ψ12 cos(β1 − β 2 ) + ψ 22 −2dτ 1 + sin (β1 − β 2 )⎫− 2 sin β1 + sin β 2 cos(β1 − β 2 ) ⎬,⎭⎧dψ 22⎡ 2 1 2⎤=⎨sin(β1 − β 2 ) ⎢ψ1 + ψ 2 cos(β1 − β 2 ) ⎥ +22dτ1 + sin (β1 − β 2 ) ⎩⎣⎦{[](16.80)⎫+ sin β1 cos(β1 − β 2 ) − sin β 2 ⎬.⎭Начальные условия в общем случае имеют вид:β1 (0) = β10 , β 2 (0) = β 20 , ψ1 (0) = ψ10 , ψ 2 (0) = ψ 20 .(16.81)Система уравнений (16.80) интегрировалась методом Рунге-Кутта с шагомΔτ = 2π / 100 . Рассмотрены движения маятника из отклоненного положениябез начальной скорости:ψ10 = 0, ψ 20 = 0 ,причем для начальных значений углов β10 , β 20 использованы соотношения, соответствующие нормальным колебаниям в линейном случае (см. задачу 13.5) и называемые собственными формами:β 20 = 2β10 , β 20 = − 2β10 .§16.
Численный анализ в механике271Результаты расчета колебаний двойного маятника при β10 = 0,5 радпредставлены на рис. 16.16, а, б. Видно, что даже при довольно большихначальных отклонениях ( β10 = 28°38 ′ , β20 = ±40°30′ ) колебания маятникаявляются почти гармоническими, причем соотношения между амплитудамиколебаний верхнего и нижнего маятников практически постоянны во времени.ϕ1.01.0ϕ220.50.5110.0τ01020-0.5τ0.0030102030-0.5-1.0-1.0(а)(б)Рис. 16.16При увеличении β10 (и, соответственно, | β20 | = 2β10 ) движениемаятника приобретает более сложный характер.
Результаты расчета приβ10 = 1 рад ( β10 = 57°17 ′ , β 20 = ±81° ) изображены на рис. 16.17, а, б. Хотясоотношения между β10 и β 20 (формы начальных отклонений) такие же,как и в предыдущем случае, движение становится качественно иным – непериодическим. Меняются во времени не только сами амплитуды верхнегои нижнего маятников, но и соотношения между ними.
Мы видим, что понятие собственной формы колебаний как свойства данной системы в случаенелинейных колебаний теряет смысл. Вместе с тем, для произвольного β10по-видимому можно опытным путем подобрать такие β 20 , при которыхдвижения в системе станут периодическими (но не гармоническими), а соотношения между амплитудами маятников – не меняющимися во времени.§16. Численный анализ в механике272ϕϕ2.02.02211.01.01τ0.001020-1.0τ0.0300102030-1.0-2.0-2.0(а)(б)Рис. 16.17Пример 16.6. Исследовать свободное вращение однородного сплошногопараллелепипеда вокруг центра масс (рис. 16.18).(а)(б)Рис. 16.18(в)Анализ.
Наиболее удобный и эффективный способ описания вращениятвердого тела, имеющего одну неподвижную точку, состоит в переходе внеинерциальную систему отсчета, координатные оси которой жестко связаны с твердым телом и направлены вдоль главных осей инерции. Записывая& = M на оси вращающейся вместе с телом системыуравнение моментов Nкоординат, приходим к уравнениям Эйлера (9.13):§16. Численный анализ в механикеdω x+ ω y ω z (I z − I y ) = M x ,dtdω yIy+ ω z ω x (I x − I z ) = M y ,dtdω zIz+ ω x ω y (I y − I x ) = M z ,dt273Ix(16.82)где Ix, Iy, Iz – главные моменты инерции твердого тела относительно соответствующих координатных осей, ωx, ωy, ωz – проекции угловой скоростивращения тела на координатные оси подвижной системы, Mx, My, Mz – проекции момента внешних сил.
Система (16.82) нелинейных уравнений первого порядка относительно проекций угловой скорости ωx, ωy, ωz дополняетсяначальными условиямиω x (0) = ω x 0 , ω y (0) = ω y0 , ω z (0) = ω z 0 ,(16.83)задающими величину и направление вектора ω относительно вращающегося тела в начальный момент времени (при t = 0).Если момент внешних сил M равен нулю, то твердое тело совершает свободное вращение в пространстве, причем вектор момента импульсатела N сохраняет в пространстве постоянное направление. Однако, как нетрудно видеть из уравнений (16.82), даже при M x = M y = M z = 0 проекции угловой скорости ω x , ω y , ω z меняются, вообще говоря, со временем.Это означает, что вектор угловой скорости, совпадающий по направлению смгновенной осью вращения, меняет ориентацию как относительно тела, таки относительно неподвижной системы отсчета.
Следовательно, произвольнозакрученной твердое тело, будучи предоставленным самому себе, совершает сложное движение.Представляет интерес исследовать движение тела в том случае, когда начальная угловая скорость направлена по отношению к какой-либоглавной оси инерции под малым углом. При проведении анализа будем считать, что тело получает преимущественное вращение вокруг оси OX, совмещая эту ось поочередно с разными главными осями (рис. 16.18, а, б, в).§16. Численный анализ в механике274Выберем в качестве масштаба времени величину T = 1 / ω x 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
