С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 17
Текст из файла (страница 17)
10.3).В неподвижной системе отсчетакинетическая энергия тела согласно теореме Кенига может быть представлена ввидеΚ=Рис. 10.3. Плоское движениетвердого телаm v c2 I ñω 2+,22(10.8)Примеры решения задачПример 10.1. Показать, что движение материальной точки в центральномсиловом поле является плоским.Решение. Рассмотрим для определенности гравитационное поле. На рис.10.4 показан силовой центр массой M и материальная точка массой m, движущаяся по некоторой орбите в поле силового центра. Положение матери-§10. Закон сохранения момента импульса136альной точки относительно силового центрахарактеризуется радиус-вектором r, скоростьточки обозначена через v. На точку действуетсила тяготения F, направленная в сторону силовогоцентра.
Поскольку векторы r и F направРис. 10.4лены в противоположные стороны, их векторное произведение равно нулю. Следовательно, момент силы тяготения относительно силового центра равен нулю, и момент импульса материальнойточки сохраняется:N = [r, m v] = const .Отсюда следует, что в процессе движения радиус-вектор частицы и ее скорость не выходят за пределы одной и той же фиксированной плоскости,перпендикулярной вектору N. Иными словами движение частицы являетсяплоским.Пример 10.2.
Показать, что при движении в центральном силовом полерадиус-вектор частицы очерчивает равные площади за равные промежуткивремени (закон постоянства секторной скорости).Решение. На рис. 10.5 показана траектория движения частицы в поле силового центра. Пусть r – радиус-вектор частицы в некоторый момент времени t, а dr –приращение радиус-вектора за малое времяdt.
Назовем секторной площадью dS половину векторного произведения векторов r иРис. 10.5dr:1dS = [r, dr] .2Вектор dS перпендикулярен плоскости орбиты частицы, а его величинаравна площади треугольника, построенного на векторах r и dr. Этот тре-§10. Закон сохранения момента импульса137угольник заштрихован на рис. 10.5. Назовем секторной скоростью частицыσ отношение секторной площади dS к промежутку времени dt, за которыйчастица совершает перемещение dr:σ=dS.dtПодставляя в эту формулу выражение для dS, приведенное выше, получимσ=1 ⎡ dr ⎤ 1r,= [r, v] ,2 ⎢⎣ dt ⎥⎦ 2где v = dr / dt – скорость частицы. Учитывая определение момента импульса частицы, выражение для секторной скорости можно представить в видеσ=1N,2mгде N – вектор момента импульса, m – масса частицы.
При движении в центральном поле момент импульса частицы сохраняется (см. пример 10.1): N= const. Отсюда следует сохранение секторной скоростиσ = const .Это означает, что при движении в центральном силовом поле радиус-векторчастицы относительно силового центра очерчивает равные площади за равные промежутки времени.Закон постоянства секторной площади позволяет наглядно представить характер движения частицы в центральном силовом поле. Рисунок 10.6 иллюстрирует движение по эллиптическойтраектории.
На этом рисунке заштрихованы два сектора, имеющие одинаковыеплощади. Один из них опирается на учаРис. 10.6сток траектории, близкий к силовому центру, а другой – на периферическую часть орбиты. По закону постоянства§10. Закон сохранения момента импульса138секторной скорости частица проходит оба участка орбиты за равные промежутки времени.
Однако, как видно из рис. 10.6, первый из этих участковзначительно длиннее второго. Это значит, что скорость частицы на эллиптической орбите велика вблизи силового центра и мала вдали от него. Таким образом, двигаясь в центральном поле, частица увеличивает свою скорость по мере приближения к силовому центру и замедляет движение помере удаления от него.Пример 10.3.
Известен закон движения частицы массой m в полярных координатах: r = r(t ) , ϕ = ϕ(t ) . Вычислить момент импульса частицы относительно начала координат.Решение. На рис. 10.7 показаны полярные координаты точки r и ϕ, а такжеее декартовы координаты x и y. Как видно из этогорисунка,x = r cos ϕ, y = r sin ϕ .Рис. 10.7Дифференцируя эти формулы по времени, получимвыражения для декартовых проекций скорости частицы:v x = x& = r& cos ϕ − rϕ& sin ϕ, v y = y& = r& sin ϕ + rϕ& cos ϕ ,.Следовательно, вектор момента импульса частицыijkN = [r, m v] = m xx&yy&0 = km( x y& − x& y) = kmr 2 ϕ& .0Здесь i, j, k – орты декартовой системы координат по осям OX, OY, OZ.§10.
Закон сохранения момента импульса139Пример 10.4. Квадратная дощечка массой M со стороной a может вращаться без трения вокруг вертикальной оси OO', совпадающей с одной из ее сторон (рис. 10.8). Первоначально дощечка покоится, а перпендикулярно ее поверхности движется шарик массой m соскоростью v0. Место удара шарика о дощечкунаходится на расстоянии, равном 2a / 3 от осивращения. Считая удар абсолютно упругим, найти угловую скорость вращения дощечки послесоударения.Рис.
10.8Решение. Поскольку момент внешних сил относительно оси вращения дощечки равен нулю, момент импульса системы “шарик – дощечка” относительно этой оси сохраняется. Направив ось OX вдоль направления движенияшарика, можно записать22m v0 a = I ω + m v x a ,33гдеI=1M a23– момент инерции дощечки относительно оси вращения, vx – скорость шарика после удара в проекции на ось OX. Здесь мы предположили, что ударявляется достаточно коротким, так что за время удара дощечка не успеваетповернуться на заметный угол, и линия движения шарика после удара совпадает с линией, по которой он двигался до удара.
Закон сохранения энергии в системе дает соотношениеm v02 I ω 2 m v 2x.=+222§10. Закон сохранения момента импульса140Здесь ω – угловая скорость вращения дощечки после удара. Из приведенных уравнений следует, чтоv x = v0 −Maω ,2mгдеω=12m v0.(4 m + 3M )aПример 10.5.
Стержень массой M и длиной l подвешен за один из концовна шарнире O, как показано на рис. 10.9. Стерженьпадает из горизонтального положения, и в момент,когда он проходит вертикальное положение, ударяет по кубику массой m, сообщая ему движениепо горизонтальной плоскости. Найти скорость vкубика после удара, считая удар абсолютно неупРис. 10.9ругим.Решение. Применяя закон сохранения энергии, находим угловую скоростьвращения стержня ω0 в момент, когда он занимает вертикальное положение:Mgгде I =l I ω 20,=221M l 2 . Отсюда3ω0 =3g.lПри кратковременном взаимодействии между нижним концом стержня икубиком момент импульса системы не изменяется.
Поскольку удар абсо-§10. Закон сохранения момента импульса141лютно неупругий, линейные скорости конца стержня и кубика непосредственно после удара совпадают:ωl = v .Учитывая это, закон сохранения момента импульса относительно шарнираO можно записать в видеI ω 0 = I ω + m vl .Объединяя уравнения, приведенные выше, находимv=M3 gl .M + 3mЗадание для самостоятельной работы10.6.
На карусели с моментом инерции I стоит человек массой m. С какойугловой скоростью ω будет вращаться карусель, если человек пойдет поокружности радиусом r со скоростью u относительно карусели? Моментоминерции тела человека относительно его вертикальной оси пренебречь.10.7. Тонкий однородный стержень длиной L подвешен за один конец иможет вращаться без трения вокруг горизонтальной оси(рис. 10.10).
К той же оси подвешен на нити длиной l маленький шарик, масса которого равна массе стержня. Шарик отклоняют на некоторый угол и отпускают. При какойдлине нити шарик после удара о стержень остановится?Удар считать абсолютно упругим.Рис. 10.1010.8. На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень массой M идлиной L. В стержень ударяется шарик массой m, движущийся перпендикулярно стержню. На каком расстоянии l от середины стержня должен про-§10. Закон сохранения момента импульса142изойти удар, чтобы угловая скорость вращения стержня была максимальной? Удар считать абсолютно упругим.10.9.
Каким участком сабли следует рубить лозу, чтобы рука не чувствовалаудара? Саблю считать однородной пластиной длиной l.10.10. Однородный сосновый брус массой M, размеры которого указаны на рисунке 10.11, можетсвободно вращаться вокруг горизонтальной осиOO'. В точку A бруса ударяет горизонтально летящее ядро массой m. Какова начальная скорость ядра v0, если брус отклонился на угол ϕ, а ядро упалона месте удара?Рис.
10.11Рис. 10.1210.11. По внутренней поверхности конической воронки,стоящей вертикально, без трения скользит маленькийшарик (рис. 10.12). В начальный момент шарик находился на высоте h0 и имел скорость v0, направленнуюгоризонтально. Найти величину v0, если известно, чтопри дальнейшем движении шарик поднимается до высоты h, а затем начинает опускаться. Найти также скорость шарика v в момент, когда он достигает максимальной высоты h.10.12.
Маленький шарик подвешен на нити длиной l. В начальный моментнить составляет с вертикалью угол ϑ0, а шарик имеет скорость v0, направленную горизонтально. Найти величину v0, если известно, что при дальнейшем движении угол отклонения нити от вертикали возрастает до величины ϑ, а затем начинает уменьшаться.
Найти также скорость шарика v вмомент, когда угол отклонения нити от вертикали достигает максимальнойвеличины ϑ. Сопротивлением воздуха пренебречь.10.13. Планета движется по замкнутой траектории в гравитационном поле§10. Закон сохранения момента импульса143звезды. Найти минимальную v0 и максимальную v скорости планеты в процессе движения, если известны минимальное r0 и максимальное r расстояния между планетой и звездой. Звезду считать неподвижным силовым центром массой M. Гравитационная постоянная G.10.14. На краю свободно вращающейся карусели стоит человек массой m.Какую работу должен совершить человек, чтобы перейти к центру карусели? Радиус карусели R, момент инерции I.
Начальная угловая скорость вращения карусели ω0. Моментом инерции тела человека относительно еговертикальной оси пренебречь.10.15. В тонкую доску, лежащую на гладком горизонтальном столе, попадает пуля, летящая перпендикулярно доске и параллельно плоскости стола изастревает в доске. Масса доски M, масса пули m, начальная скорость пулиv0. Определить кинетическую энергию Κ, перешедшую во внутреннююэнергию системы, если точка попадания пули находится от конца доски нарасстоянии, равном 1/4 ее длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
