В.Г. Чирский - Лекции по математическому анализу за 3 семестр (1111233)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Уважаемый читатель| Основная цель этого издания — облегчить студентам общего потока подготовку к экзамену по математическому анализу. К сожалению, иногда в Интернет попадают материалы, созданные коллективами «доброжелателей». На них, бывает, поставлена и моя фамилия. Вынужден сообщить, что к изданиям, отличным от настоящего, я не имею отношения! Мало того, этн издания могут содержать ошибки, искажающие смысл излагаемого материала. Поэтому я посчитал своим долгом дать проверенный мной материал. Он в точности соответствует экзаменационным требованиям и материалам прочитанных лекций. разумеется, иногда на лекциях могли использоваться несколько другие обозначения и порядок изложения мог быть слегка изменен.

Кроме того, на лекциях я часто рассказывал о вопросах, выходящих за рамки экзаменационных билетов, но полезных для лучшего понимания сути содержащегося в них материала и взаимосвязи между математикой и другими естественными науками. Имея собственные лекции и используя эту книгу, Вы сумеете быстрее и лучше подготовиться к экзамену. Надеюсь также, что впоследствии, столкнувшись с необходимостью использования быстро развивающихся математических методов исследований, в том числе в химии, Вам будет проще найти правильный подход к задаче, вспомнив университетский курс математики.

В подготовке издания мне оказали помощь Ваши коллеги, студенты 2 курса химического факультета. Выражаю им свою признательность. Буду очень благодарен всем тем, кто возьмет на себя труд отметить опечатки в этой книге. Кроме того, для меня будут очень важны любые Ваши замечания как о стиле изложения материала, так и о содержании книги.

Онн могут быть очень полезными для того, чтобы улучшить книгу в дальнейшем. Успехов Вам! Ваш лектор, профессор В,Г. Чирский 15 декабря 2005 г, 1. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числовоао ряде. Свойсгпвв сходящихся рядов Бесконечный рмд обозначается так: а! + а„+...+а +... ~ а„. «! Прежде всего требуется дать точное определение этого понятия. Длм заданной последовательности чисел 1а„1рассмотрим последовательность ° !«а!+ . +а«1 называемых частичными суммами ряда.

Определение. Если существует предел последовательности Я„при М вЂ” !, то говорят, что ряд сходится . Величина Егози., =5 называется суммой ряда. Если же предел последовательности у„прн Ф вЂ” э не существует, илн бесконечен, то говорят, что ряд расходится, Пример. Рассмотрим геометрическую прогрессию 1+!1+ф +...+а" +... Вычислим частичную сумму этого рмда при а и 1: е 1 !у Я„= 1+ !1 + !1 +...+!1" =— 1-у Если 'Х1 ~<1, то 1нп!у"" = О, следовательно 1 1пп ~ю (-~Ю и рассматриваемый ряд сходится. При остальных значениях !1 он расходится и мы докажем зто немного позже. Определение. Бесконечный ряд Я =а,+а,+... называется остапгком ряда с иомером У.

Примечание. Разумеется, сам ряд можно считать остатком с номером О. Утверждение. Если ряд сккЪтся, то для любого номера Ф остаток и «то!Хсе сходится. Если с!пиесп!еует камер У такой, что остаток Яи сходится, тосамряд сходится. Доказательство, Обозначим, при произвольном Ф аи+! " +ак*ю . ~«а!+" +аи!.! а!+" +а«+а! +".+а« ~е +'~! В этом равенстве величина Я ие зависит от л, значит йш 5 = 5с, поэтому сходимость остатка Лк, т.е. существование предела йш Я„, равносильна существовагояо предела 1пп Я,„=-11го Б„, т.е. сходимости исходного ряда, по Ф .~ '" бтеореме о пределе суммы последовательностей. При изучении предела числовой последовательности мы доказали критерий Коши существования предела последовательности.

Напомним формулировку этого критерия, Критерий Коши существования предела последовательности. Пусть 15„) - лиследоеательность чисел. Предел 1пп 5„сущестерет тогда и тилько 'дг > О 3 Ф1г )Ю и > 'ч'1 а)Юр а~1 1о.„, — 5 ! «е . Для последовательности частичных сумм 1Б,) имеем: 5„, — Я„= а, +...+а„, -(а, +...+а,) = ае,, +...+а,„ поэтому приведбнный вьппе критерий можно переформулировать следугощим образом: Критерий Коши сходимости ряда. Ряи асодатсл тоеда а только тозда, к~жда '7е>ОЗФ1е )Юл >У(е)Ър еХ ~ат1+...+а„„~ «е.

Из критерия Коши сразу следует очень важный Необходимый признак скодимости ряда. Ысли рлд сходится, то 1пп а„= О. Деагзательство. Используем критерий Коши и положим в нем р = 1, Мы получим что Ме>ОЗФ1е )'Ул >Ф1е) ~а„,,~ «" Зто означает, что йш а„= О, Утверждение доказано. и ню Вернемся к исследовангяо геометрической прогрессии. Из необходимого признака сразу следует, что при ф~1 ряд 1+ с + а'+...+а"'+...расходнтся. Тем самым, мы установили, что этот ряд сходится тогда и только тогда, когда ~~у~<1, Необходимый признак сходнмости не является достаточным. Рассмотрим важный пример гармонически.зо ряда: Ю Х- П 1 Условие Йп а„= Йп — = О, очевидно, выполняется. Однако этот ряд л ~ ~-~ 1 ь расходится.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся критерием Коши сходимости ряда. Докажем, что этот критерий для рассмагриваемого ряда не выполняется. Для этого установим, что За > О'ФЧ 3 и > М Зр еХ ~ — — +., + — -- — ~ к . ;а+1 а+ р! 1 В качестве с возьмем число — . Для лобого числа Ф можно взять также любое и >Ф . Положим р= и, Тогда 1 1,1 — +...+ " > — +...+ и+1 2п 2п 2п 2 (Последнее равенство получено потому! Что сумма содержит и одинаковьгх 1 слагаемых„каждое из которых равно --. ).

Тем самым. утверждение доказано. 2п Следовательно, гармонический ряд расходится, Перечислим и докажем простейшие свойства сходацюия рядов, Теорема. Пусть скодятся ряды ~'„а„,,~,Ь,, а с- постоянная ееличина. Я! В! Тогда сходяп!сяряды ~ (а„+ Ь„), ~ (а, -Ь„), „Г са„„причем Л* ч ! 1=! ~ (а„+Ь„)=~',а„+~~',Ь„, ~ (а„— Ь,)= ~' а. -~',Ь„, ~~',са„=с ~~~ а„. л"-" ! ч ! ч=! П=! ! Доказательство. Обозначим частичные суммы рядов ~', а„и ~~~, Ьч, ! ч-! соответственно Яи = а, +...+а и 5„" = Ь, +...+6, Тогда частичные суммы рядов ~', (а„+ Ь„),,~„(а„- Ь„),,~, са„соответственно, равны Я„+ Ю,„Ья — У,",, сЯ„.

ч ! и ! Осталось применить известную теорему об арифмешческих свойствах предела последовательностей: если последовательности Юк, Я,", имеют пределы, то имеюп! пределы и последовательности 5к + Я,, Я вЂ” Я . сЯн, причем еьтолняются раве!!стеа : йп ('Я„+ Я„)= 1пп Я е Бш Я~, 11ш (Я, — К;, ) =- 1!!и Я Иш Яя, Бш Ы„=с йтп Я,. Вспоминая определение сходящегося ряда и его суммы видим, что теорема доказана. Теорема. Пусть )',ач - скодяяхийся ряд!. Сул'ппму!уем его члены, не меняя м! ик порядка: а, + ач+... и(!7 +...+аь ) + (а, „+ ..+аь )+".+(а„„, +...+а„)+," и рассмотрим ряд ~ Ь,, где ч ! Ь, =а, +„.+а,, Ь, =аьи+„.+а,,,...,Ь„„= а,,+...+а Тогда этот ряд сходится и его с!!!!!ма равна с!!мме искодного ряда, Доказательство. Последовательность частя!чпых сумм ряда ~~~, Ь„имеет вид Б„=Ь,+...+Ь = (а,+...+а,,) (!!„„+...~аь)~."~(~,, „,+ "+а, )=~...

где .7. = а, +...+а,, - частичная сумма исходного ряда. Таким Образом, последовательность частичных сумм для ряда „~ Ь„представляет собой подпоследовательность последовательности частичных сумм дзи ряда „~ а, Так га как этот ряд сходится, последОвательность егО частичных сумм сходится, значит сходится лзобая ее подпоследовательность, причбм к тому же самому числу. ( Напомним теорему: если иослсдователвиоств имеет предел, то любая ВВ иодиос.тедователвность имеет тйт же самый предел ). Таким Образом, ряд ~~~ Ь„сходится и его сумма равна сумме ряда ~ а„. Теорема доказана, в 1 Будьте внимательньй Следукицее утверждение ивллетси неверным в общем случае: в Р Еспи, в исподьзоввиных выше обоэивчеиикх, сходится ряд ~ Ь,,то сходится и ряд ~ а,, причем суммы этих рядов равиы.

Приведем контрпример, опровергазощпй это утверждение. рассмотрим ряд, имеьэщнй вид (1-1)+(1-1)+...+(1-1)+..., Оп равен О+О+... ВО+..., т.е, сходится и его сумма равна О. т.к. все частичиые суммы равны О. Однако, если убрать скобки, то получится расходящийся (по необходимому признаку сходнмости) ряд 1-1+1-1.+1-1+..., 2. Числоеые ряды с неотрицаительными членами.

Теоремы сраенения. Признаки Даламбера, Коши. Гаусса Если известно, что членьз ряда ~~' а„пд пи идя с некоторсч о номера, неотрицательны( или неположительны), то исследовать сходимость ряда проще, чем в общем случае. Это связано с наличием простого критерия сходнмости для такого класса рядов. Для простоты будем далее рассматривать ряды, все члены которых удОвлетво)ипог неравенству а, 2 0. Замечание. Если это неравенство выполняется начиная с некоторого номера я,„то будем рассматривать нс ряд~~ а . а его остаток ((я который, согласно сказанному в прелы~ Отцом параграфе, сходится тогда и только тогда, когла Схолнтсл Саи РЯД. ВСЕ чдеиы ЭТОЗО РЯДа Лч Уже ПЕОТРНПВТСЛЬНЫ. Поэтому предположение о неотрицательносттз всех членов ряда не ограничивает общности наших исследований. Теорема (Критерий сходимости рида с неотрицательными членами), Ряд ~~' а„, Все амяся яотоРоео яеогярииатялвлвс скосится тгхдха и толвяо тоедй, яседа ссчаестеует яостлояияая с) лгакая.

что для лгобото У частичная СУммй 5, = й +...+й Удодлетеориет ЯВРйееистВУ Ьс ~ Г Замечание. На всякий случай сформулпрусм критерий сходимостн ряда, все члены которого неположительны; Ряд ~~~ а, Вся члвяы ьоторото негголопгглггпеггьггбг схООится гггоегаа и ггггглькО лнг:."Огь Р;О7оа сугггесгггвуегп поспгоаннаЯ г.г гпанаЯ, чгпо дггл люооео Ж часггпгпгаЯ сргглга Ьп = а, +...+ач удовлепгворяепг неравенству г е В. Разумеется, достаточно доказать первый критерий.

Действительно, если все члены ряда ~~ а„неположительны, то рассмотрим ряд ~„(-а„) '— ' - ~, а„, п=1 е ! который сяодггтся (игги расходится) одновременно с рядом ~~', а, Все члены этого ряда,~ (-а„) — неотрицательные *вгсла. Поггг ггыу(согласно сформулированному первому критерию) он сходится тогда и тгглько.согда, когда существуетпостоянная С такая, что для лгобого А' часпгчггая сумма 5П = ~-а. )+...+( — ап) = — 6п удовггстворяет неравенству — Яп ~ С. Но это равносильно тому, что Яп 2-0 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций