В.Г. Чирский - Лекции по математическому анализу за 3 семестр (1111233), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В качестве бг из формулировки можно взять число -С. Доиьзательство теоремы. Из неравенства ал, ~ 0 следусг, что .'г"„,, =.1Л +.Рв„~ Я„, т.с. ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ Чаетн ВП ГК СУММ РЯДа ЯВЛЯЕТСЯ ггеубывагогггей. Вспомним теорему Веггерищгасса: если посггедовапгельггосгпь Яп являетсп неубьгваРОщегг, тО Она ггмееггг ггггеОе.7 Р11оеда и Ргго~гьпО гпоеда, кж".да она оараничена сверху, т.е. Сгггггесгпвует посггпгянная С такая, чгпо для ллгболо 6Р частичная сумма 6" удовлетворяет неравенству Б„< С. Примсгшм эту теорему к ггоследоватеггг нос ш частичных сумм ряда = а, +...+а,. Кргпернй доказан. Из этого критерия следукп.
очень полеигые 'георемы сравнения. Теорема( Первая теорема сравнении). Руиспгь для всгьх п вьгполняются неравенства О < а„< 6„, и пусть ряд г'6, сходится. 1'седа скопится и ряд Р«' и„. Докиательство. Обозначим Ь'и = а, +...+Ол, .'>,, = 6,+...Р6Л. Очевидно, что 6', <Я;,. Применим к ряду ~~' 6,, доказгипгый вылив кргггерглг. Он м 1 6'твеРждает, что суЩествует постоаинаяс такая. что для любог'о 6Р частичная сумма 6'; удовлетворяет неравенству Я; ~ С .
Ио тоща из неравенств Ь„~ Л„, 5" < С следует. что для любого 6Р часгнчная сумма Яп удовлетворяет иеравенсгву Я, ~ С. Согласно критсрцю. по ггзначасг, поряд ~ а, сходится, Завгечагггге, Еггге раз отмсгим. что заклиг~гсггггс тсо)гены ггстаггсгся справедливым, если неравенства 0 ~ а„~ 6„выполняктгся при и 1 п.. Теорема ГВторая теорема сравнения).,ггусгггь а, ~ 0,6„, >О длгг всех пи а, )гпг — '- = к > О. 1'оед Р лггбо оба гглда,~„а„, ,'Г 6,, схглгнтсгг, .пгбо Они Оба -6„ гвЩ расходятся. сТ.е. не макет быть так, что один из них атодитсн, а друаой расходится). Доказательство. Утверасдение о том, что йп — - = lс равносильно тому, п-~в 6 что ~Уг > 0 Чл, Юн > нв ~-"- — «~< с .
Возьмем с = — > О. Тогда ! в а„/с Лп„~/а > и — — < — "- -А< —. 2 6. 2 Последние неравенства равносильны таким: /с а„ЗЛ 2 6„2 Поскольку Ь, > О, из тпсх неравенств следует, что при и > нв выполняются неравенства: 31сЬ.
ЗА. Если ряд ~~', Ь„сходится, то сходится и ряд ~' - —. Ь„. Согласно ю 3 $--) замечанию к первой теореме сравиеиим, 1<з этого следус'3; 'и'о сходсп'ся ряд ~,а„. ю! Образно, если сходится ряд ~ а,, то по вывзсупомяиутому замечанию, .в1 /с сходится и ряд „~ — Ь„. Тогда, по теореме из в1 о свойствах схоллсиихся 2 \ / рядов, при с = — получаем, чго сходится и рвд ' Ь„, =16„.
Итак, мы доказали, что из схолимости рвла э а„следует сходимость и! ряда ~ 6,, и наоборот. из сходимости ряда ~, Ь„следует сходимость ряда ~, а„. Но зто, вместе с тем, означает, что из расходимости одного из этик рядов л 1 следует расходимость другого. Теорема полностью доказана. Теорема (Признак сходимости Коши). Пусть 0 < и < 1. Кали нгт л ~ п„вьснолняются неравенства 0 ~ а„.'.~й, асс, Рпоряд ~~', а„сходится. Есяи 3 же ярк л а ав вьсиолнясотся неравенсснва 0 < а„, фи„~1, нсо знсот ряд расхосаснгся. Доказательство.
Если при н ~ н„выповлеиотся неравенства 0 ~ а„~~а„~ сс, то верны и неравенства 0 Х а„~ сс"'. Так как 0 < с~ <1 Ч вяа.. Ма .сека в вес ~фирииа Яа.се и Бе~в. и, квссск ссйв» й~ф,иувв~Я ~ +"'"" ~ "ж прогрессия,1 Ч" сходигся. По первой теореме сравнения ряд «~ а„также сходится. Если же прн л ~ ль имеем О~а„,фа„~1, тон а„~1. Тогда равенство 11пз а, = Оневозможио по теореме о предельном переходе в неравенствах. Поэтому не выполнен необходимый признак сравнения и ряд «~ а„расходится. е.~ Теорема до~аз~на. Замечание.
Часго признак Коши формулируют в предсяьяой форме: РХчсжь яра л ~ пь выяояяяегнся яедпееяс1яао ., > О и д щесжвуеа 11пз Па„= Ч, Хжда если Ч < 1, ~по ряд ~~' с, стодится, если Ч >1, жо с. Я РисхООыиыя. При Ч'< 1 РЦзйзиик яал~!Уим6ВУ~м. Доказательство. Пусть Ч <1. 11ыберси пкло г так„чтобы выполнялись неравенства О < а < 1- Ч, Тогда Ч + с < 1. При я > а, имеет место неравенство: г— ;фа. — Ч~<к, откуда фа„<Ч+г '1.
Попрсдыду1псйтеореме ряд ~ а„ ~! сходупся. Если же Ч > 1, то выберем гг удовлетворяюпгпм условиям: О < ь" < Ч вЂ” 1. 1огда Ч с > 1. При л > ль имеет моего неравенство !Оп, — Ч< ь „откъда ";и„> Ч вЂ” с >1. По предыдущей теореме ряд ~ а„расходится, Теорема доказана. Теорема, (Признак сходимости Даламбера). 11усгаь при л > яь ьыполяяанася яераяенсьии О < а„,, < Ча,, „где О < Ч < 1.
Tа здс ,Ряд~~' п„сяО~)ия1см. Если лря л > яь еылояляяяася яероесяс~»~с с„„~ с„> О, ~ио я~..1 зиот ряд растодатся. Доюгзательстно. В первом случае прн я > вь выполняются неравенства: О« „„Чаь,о<а .,<Ча,.„-.,о« ., Ч«,:О« . Ча„,, 11оследовательно( двигаясь справа налево) используем этн неравенства: 0<и„<ЧЯ,<Ч й ~' ...<Ч ' с „<Ч с, Из полу кваюго следует, что прп л > л„ о„ Сравнение со сходящейся прогрессией ~, Ч" доказывает первую часть теоремы. Если же при я > л, имеет место неравенсз во с„,, ~ с,, то для люоого и > л, + 1 выполняезся неравенство ц„~ а „и не выполняется необходимый признак сходимости ряда.
Теорема доказана. Замечание. В предельной форте э гот иризнак вьп ладит так: Ясли ири п > п„выполняется неравенство а,, > 0 и существрет а»1 11пз — — = с. то при д <1 ряд ~~' а„сходится, ири с > 1 - расходится, при, а = 1 4 признак неприменим.
Доюзательезво. При с «1 выберем число в гак, чтобы выполнялись неравенства 0 < в < 1- а. Тогда а + и < 1. Прн и > пь ! ~ 1 или — "". <д + в „откуда а, < (а+ г)а„. По предыдущей теореме ряд ~ а„ сходится. Если же и >1, то выберем в удовлетворяющим условиям: 0< е < а — 1. Тогда а — в >1, При и > п, имеет место неравенство: — -гт~< в, а„' нлн — -"' — '. > д — в, откуда а„„> (а — ь )а„> а „. По предыдущей теореме ряд расходится. Замечание.
Признаки Даламбера и Коши просты в применении н Ы удобны, но слабоваты. Например, для расходяпгегося гармонического ряда ~~,— и 1 обе велнчинь1 1пп И вЂ” н 11пз — — равны 1 н признак неприменим. Аналогично, .--1и е .э и+1 для ряда ~; — - — обе вели нищ „.1 и(п+1) 1 . и(и+1) 1нн ° ~ — — и 11пз — — — — — также равны 1. Но этот ряд сходится. Чтобы 'уи1и+1) '- (п+1)(и+2+ в этом убедигься„рассмотрим частичную сумму н Х- —— , пси+1) н используем тождество 1 1 1 п1п + 1) и и + 1 Тогда 1 "' 1 1 ! ., п1 и+1) „., и и+1 У+1 и )но Ь', =1.
Значительно более сильным признаком сходнмости является признак Гаусса, Сформулируем зту теорему. Теорема. П~сть при и > и, вьиюлняется неравенство а„, > 0 и ц„и — -" — =2 + — +О --— « о««! и и 7'оеда если Л > 1, то ряд > а„схой~тся, если 2 < 1, то расходится, с при «1 А =1ряд сходится при и >1» росходип1ся при р ~1, Теорему приводим без доказательства.
Покажем, какой результат даст эта теорема при применении к Ф 1зассмотренным выше рядам. Для ~~' "- имеем: п о«и+1 1 — '-=-- — — =1+- н,1 =1,и=1 — ряд расходится. о«. и и « Для ~ — — — — находим „, п(и+1) а„(и+1)(п+ 2) 2 — — = 1+ — н л = 1, р = 2 - ряд сходите», а„,, п(п+1) и 1 3. Интеаральный признак сходив»ости. ( ходиаеость рида Ъ --; '„' и'" 1 Теория рядОВ ВО многом подобна теОрнн несобственньгх интегралов. Аналогия такова: частичной сумме 5 ряда ~~', и«сопоставляем интеграл е р(В) = ~/(х)«й.
Тозда,~' а„= йш Б„, ),~ (х) -1т = 1нп с(В). Таким образом, н « и-.м ' «е-,« «1 бесконечнын ряд н несобственный интеграл Определяются с номошью предельного перехода. Родственность этих пон»тнй Особенно отчйглнво видна в следующей теореме. Теорема (Интегральный признак Маклорена -Коши сходимости ряда).
Пусть г'(х) — неоьири1(отельная, нееолрасгпагои(ая функция, определенная при х ~1. Толдаряд ~~', /(и) и несобстеенныа игоие рая « — о ~,«(х) г(х либо обо сходятся. либо оба р«йхогиинся. Доказательстно. Так как ФУнкЦНЯ / (х) невозраст«азо«««ая, то Она Является интегрируемой на Отрезке 11; В~ для любого В ( вспомним, гго монотонная на отрезке функция интегрнруема иа этом отрезке ). Кроме того. Иа любом отрезке 1п; и +1~ вьгиолн»1отся неравенства: ,Г'(и + 1) ~Дх) ь | (и). Как отмечалось выше.
эти неравенства можно почленно п(зоннтег(знровать на 1п; и + 11: Далее. ~ «(п+1) й = «(п+1), ~ «(п)гй = «(и) „поскольку «(и), «(и+1) не О зависят От х, а Длина отрезка ингегрироваиия 1гавиа 1. ПО'.)тому справеДливы неравенства: «(п+1) ~ ) «(х)сй ~ «(и). Просуммируем ш: по п начиная от п = 1 до и = М вЂ” 1. Получим неравенства «'(2)+... +«'(В«) ~ ~ «'(х)~й+...+ ~ «( .)сй К «'(1)+ + «'(у — 1) 1 н" 1 По свОЙству аддитивности, сумма интегралов. вкодягпая в )тн неравенства, равна ~ «(х)~й. Используя для обозначения частичной суммы ряда символ а„, ! получаем неравенства: 5„— «(1)<) «'(х)сй <Ьи, верные для любого натурального В Из этих неравенств сразу следует, что ) „ь «'(1) + ) «(х)~й .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
