В.Г. Чирский - Лекции по математическому анализу за 3 семестр (1111233), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Согласно крите(ЛИО схОдимосп) ряда с иеотр))цательиьгмн члснамн ) и тгого следует, что ряд,) „«(и) сходится. о! Для доказательства второй части теоремы вспомним критерий сход)ыостн интеграла от неотрицательной функции: Если «'(х) ~ О, )ло ) «'(х)сй сходил)ся гпогдо и п)ольхо тогда, когда 1 ситес)п)))ж)п посупояннся С )покоя, аппо оля люОсго В илпм)п мыс)по неривенсп)во) ~ «(х)сй к С. Теперь для произвольного числа В выберем число,Ч так„чтобы выполнялись неравенства: Ф К В < Л~ + 1 ( т)е. Ф вЂ” )та так называемая Делся час)пь числа В ).
Так как «(х) а; (1, имеют место неравенства: ~ «(х)сй ~ 1 «(х)Ж < ~ «'(х'уй. Используем теперь неравенство ~ «'(х)Ых К5, с заменой У на У+1, т.е.: Иапомннм. гга мы доказываем, что из сходимостн ряда ~ г (л) следует сходимасть ~ г"(х)с(х. Но по критерию сходимости ряда с ггеагргщательными членами. существует постоянная С такая, чта дггя любого Х имеет место неравенство Л' < С.
Тогда, согласно доказанному выще. для произвольиога числа В справедггнвы неравенства: В гг 1 ) ~'(х)Ж ~ ) г'(х)Ж ь Ь" ~ С, Применение сформулированного вьипе критерия сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции заверигает доккгательщ ва теоремы. Доказанная теорема имеет простую геоягсэрггческуго иитерггрегагщао, Ня этом рисунке график функции гг(х) заключбн межг(у двумя графиками ступенчатых функций. Плошадь каждой ступеньки "верхней" функции иа отрезке 1л; и+ 1) равна г'(л), а "нижней" функции — Да+1).
Поэтому неравенства .'гя — /'(1) ~ ),г(х) Й ~Ля . имеют простой геометрггческий сыгясл неравенств между соответствугощими илощадямн. Замечание. Если ряд ~. Г(л) расходится. неравенства Уя — г (1) з ~,г (х)Ж з Яя, могуг дать представление а скорости стремления к ео его частичных сумм. Н(аррнмс, для гармонического ряда имеем: 1 1 ',Й 1 1 — +...+ — ~ —. ~1+-+...+-----, г "" у э „ э '" ггг 1 1 идити — 1~1п Жми — —, откуда 1ПФ+ — ~ Ьг ~ 1и и+1.
Ю Теорема. Ряд У вЂ” сходиигсл лри р > 1 и расхссЬгпся лгггг осгггггльлыгс р. ля хи До1ааательство. Рассмотрим Дх) = -- . Эта фуикния удовлетворяет *Сй всем Условиам ДоКазанной выл~с теоРемы. Напк)мним та1оке. 'гго ~ --т сходится ", Х при р > 1 и расходится при остальных р. Теорема доказана. 4, Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов Перейдем к рассмотрению общего случая, когда члены ряда ~~', й„имеют произвольные знаки.
Для удобства введем в рассмотрение связаннь1е с исследуемым рядом новые ряды ~ а', и ~.й,, где н~:1 п.-л й„' = квах ~а„.01, й„= па[(а„,01 . Огметим очевидные равенства: й„= а„' + й„", ~й,„~ = к»„" — к„., й +!й„~ й,, —,:й„! и Определение. Сходяп(ийся ряд ~~' й„называется йойОлкккйкйа 'с ~3 сходящымйя, если сходится ряд ~ ~й,~. Ф 1 Замечание.
Требование сходимости в гном определении иа самом деле излнгпнее. Сходимость ряда ~ й„следует из сходимости ряда >, ~а„,~. Чтобы ~1 П"-$ убедиться в этом, выпишем критерий Коши сходимости ряда сначала для ряда ~„~й,„~: Уд > О ЛФ~Уп > У ~Ур еХ ~й„„~+...+~а „:; «к, а затем для ряда ~' й„.' и=! Юк > ОЗФ~кп > Ю Юр еХ ~й„„, +...+й„, ~ < г Так как м„., +...+й., « ~й„„.„'+...+~й,,', из услкзвия ~к1.,„,'+...+~й„„,'.< й следует условие 1й,„, +...+й„„~ < е. ( Если ряд абсолюпго сходится, то.
по определению. сходятся ряды,7„~й„~ '1=1 ! и,"„й„. Ввиду равенств й„л — ' — ', й„= — — — — из этого следует, что 1 сходятся и ряды >, й, и ~~ й.,' . Обратно, ескл~ ггн два ряда сходятся, то из ю! '2"-1 рйвенствй (а,~ = а,', — а„следует йбсолготий» сходпмость исходного рядй. Рйким образом, абсолютная сходимость ряда ~, а равносильна сходимости рядов ~ а,', и ~~~, а„. Но члены этих рядов имеют постоянные знаки и к иим и 1 йз применимы изученные в предыдущих параграфах признаки.
Важнейшим свойством абсолютно сходящихся рядов является их безуслоеная аходимость. Дадим определение э гого понкпмс Члены исходного ряда можно перес тавлятач т.е. менять нх номера ( при этом, разумеется, члены рядй не добавляются и не отбрасываются). В результйте ~~кой перестановки получается некоторый новый ряд. Какими будут свойства эгого ряда? Казалось бы, напрапщвается о~в~т, по аналогии с переместтгге тьным законом сложенн% сумма ряда не изменится. Однако этот закон оыл доказан для конечных сумм, й не для бесконечных рядов. Более того, для рядов он верен ие всегда((См. теорему римана в параграфе 5 ).
Свойство ряда не менять свою сумму при любой перестановке его членов и называется его бс(гслоьяой аеодкмостью . Итак„ Теорема (теорема Дирихле о безусловной сходимости). Если ряд сходится абсолютно, то он схоаится безижгяяо, Доказательство. (Примечание. Это - весьма изящное доказательство, дающее некоторое представление о красоте мйтема гических рассуждений1), Сначала рассмотрим ряд,~„а„, все члены которого неотрнцйтельны. ! Произведем некоторую перестановку членов ряда и получим ряд ~ Ь„.
Для л 1 всякого члена Ь„этого ряда существует номер 1„такой, что Ь„=а, . Поэтому чйспгчиая сумма Я = Ь, +...+Ь пожег быть представлена в виде а +...+а, . Среди чисел (;,..., А„имеется наибольшее. Обсспгй и~м е~ о Ы. Поскольку члены ряда ~ а„неотрицательны, имеет место неравенствсс ч- ~ Я„=Ь,+...+Ь„=а, +...+а, <а,+,.+ай. Итак, мы доказали, что для всякого У найдется номер М гйкой, что .7„~ Я Для суммы Я исходного ряда и для любого Ь( имеет место неравенство Я, ~ Я (Так как члены ряда неотрицательны, его частичные суммы возржтая стремятся к сумме ряда ) .
Два последних неравенства означают, что для любого .Ч справедливо неравенство Я;, ~ Я . Переходя в этом неравенстве к пределу при К вЂ” , получаем, что сумма Б" ряда. полученного в результлге перестановки членов исходного рядй, удовлетворяет неравенству Ь" ь 5* . Т.е при перестановке членов ряда его сумма не возрйс гает. Но иам ничто не ме|пает рассматривать ряд Ь„, кйк исходный ряд, й ряд ~ и. — кйк ряд, полученный из рида ~, Ь„перестановкой его членов. По ю ! доказанному выше, ряд, полученный из исходного ряда в результате ПЕРЕСтаНОВКИ ЕГО ЧЛЕНОВ, СХОД1ГГСЯ Н ЕП) СУММа НЕ Вгт)РВСТВЕТ. 'еПО ОЗНВЧаст, ЧтО Выполняется и противоположное не))авснство .*) >,У .
Оба ')ти неравенства дзот вмест~ равенство Я = Я, означающее, по прн перестановке членов ряда с неотрицательными членами его сумма не меняется. Перейдем к общему случьчо теоремы и рассмотрим абсолк)тно сходя)пнйся ряд ), а„и соответствующие ему ряды ) а,', и ~ ~й„' . "! .! Перестановка членов ряда,) а„приводит к соответствующим перестановкам !-" ! членов 1лгдов ~„й,', й )„а„. Но члены ьпих рядов имеют постоянные знаки1 !.-.! Зйачйт, по доказанному Вы)пе, их ~уммы не ивняк)тся пр)1 перес) айовке Ч~~н~в. Так как ~ а, =~~' а,'+ ~,а.' ! сумма исследуемого ряда ~~' а„также не Я3!!!!! г ! меняется. Теорема полностью доказана.
б. Услоеная схобимость. Теорема Лейбница В предыдущем параграфе мы увйделн, ч и) аб)со)ло г11ая сходимост» означает и безусловную сходнмость ряда. Однако если ряд сходится неабсолютно, перестановка членов ряда влияет иа его сумму. Теорема. (Римаи) Если ряд,~, а„сходятся ие!)бсолл)п)яо, жо для ля)бал~ зйдаийозо числй А 1 тйк з1се и для + ~) сУЩес)))ямет п)йка)1 1)ег)ес)лйиоека !)ле)!ов зтоло ряда, я резуе)ьпи))ле которой полу па))с)1 ряд, сгзялеа котороао буде)п равна числу А Г также и для + 1. Схема доказательства.
Приведем схему доказательства д)1я случая А >О. Зтот ~луч~й ~полн~ аналоп1чен Осталып 1М. Так как ряд йсабсол)отйо сходится, ряды а„' и ~~', а„расходятся. Рассмотрим последователыкгсти а,' !а....,а,"„... и а,',а,.....а„,..... Так как рял Ъ а,'. расходится, его частичные '~=! суммы сзрсмятся к + ю. Полому, начиная с некоторого номера:) !!, они стайовятся оольше, чем 'п1сло А .
Так во)', сна')а)1а мы возьмем:ч', члейов последовательности а,', а„',..., а.. ! ие меняя нх порядка и не пропуская ни одного йз них. Так как ряд ~, а„' тоже расходится, а его члены НЕПОЛОЖ1ПЕЛЬНЫ! ПОСЛЕДОВВТЕЛЬНОС)'Ь ЕГО ЧВСТИЧНЫХ СУММ СТРСМ1ПСЯ К вЂ” !)О. Поьпомъ существует найменьпло1 номер .'ч', такой . 1го Н1)11оавле)о)е к полученной на г)ервом п)аге частичной стммс '! .
П(ылсдов)п'~:лы1ых членов из последовательности а,, а, !..., а„,..., начиная с первого, даст сумму меньшую, чем А, Затем добавим мййймальиое Возможйос кОлйчество последовательйь)х членов последовательности а,', а,',..., а„' „..., пе меня я их порядка и не пропуская ни одного пз иих, на ппия с номера Ж, +1, так, чтобы общая сумма стала снова больше А, Потом снова будем добавлять члены последовательности а,, а,, а„,..., начиная с номера Ф +1и т.д. Частичные суммы полученного таким образом ряда колеблются около числа А . По построению, они отличаются от этого числа не больше, чем иа модуль некоторого члена а„ряда ~~~„а„,Но этот ряд сходится, поэтому, ~ю необходимому признаку сходимостн, 1пп а„= О, зна пег, и 1пп а = О.
Поэтому частичные суммы ряда, полученного в результате описанного процесса . стремятся к числу А . Остальные случаи можно рассмотреть аналогично. Опишем ряд пргсзнаков, предназначенных для исследования сходимости неабсолютно сходящихся рядов. Их также называют условно сходни(имися ря.дами (поскольку, по предыдущей теореме. их сумма зависит от порядка членов ряда, в отличие от безусловно сходящихся рядов), Теорема Лейбница.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
