В.Г. Чирский - Лекции по математическому анализу за 3 семестр (1111233), страница 5
Текст из файла (страница 5)
о т н но.Н оно~И*н оно нК ..*" ~юн н э =Х, ю~нн~ю абсолютно для любого значения х такого, что 1х~ < ~Х~. Доказательство, Поскольку ~~~ анХи - сходнтся, 1нпанХ" = О. Следовательно, и-о и ЗС Ъл ~аиХ" ~ < С. ~Действительнон взяв к =1, получим, что прн л> Ф ~аиХ" ~ <1. Тогда в качестве С можно взять наибольшее из конечного набора чисел и и ),цЬ,о.Ц,х'),...,(~.н'(д).т н (ни" ~=( нх') — нс! —" .т «) — ( и 'с-и Х прогрессия С~ — сходится. Значит, по первой теореме о сравнении, сходится „.0 Х РЯД ~ ~аи Хи ~, т.е, исходный РЯд абсолютно сходитсЯ, .=о Эта теорема позволяет выяснить структуру множества, на котором сходится степенной ряд.
Во-первых, очевидно„что любой степенной ряд сходится в точке х = О. Кроме о того, есть ряды„которые сходятся только в этой точке, например, ряд ~ л! хи . Если же ряд сходится в точках, отличных от х = О, то возможны два случая, В первом нз ннх множество чисел 1х~ таких, что ряд сходится в точке х, неограннчено сверху. Тогда ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой, т,к. Чх и И выберем з так„чтобы, во-первых, ~з~ > ~х~~ и, во-вторых, ряд ,'~ аияи сходился, Тогда„потеореме1,ряд ~ а„хн абсолютносходится.
и=О ВО ВтоРОМ Спунас МложЕСтао ЧИСЕЛ ~Х~ таКИХо Что РЯД ",'~'лихи СХОДИТСЯ, н=0 ограничено сверху. Обозначим через Р точную верхнюю грань этого множества. Число Я называетсярадиусом сходимости ряда. Из определения Я следует, что: 1. Если 1х~ < Я, то ряд ~~, пих' абсолютно сходится; 2. Если 1х~ > Я, то РЯд ,'Г лихи РасходитсЯ. оиО В случае, когда ряд сходится на всей числовой прямой К, полагают Й' = с . В точках х = +Я общего утверждения о сходимости сделать нельзя (т,е. бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают — сходящиеся лишь в одной нз них, бывают — расходящиеся в обенх точках.
Примеры будут приведены ниже). Найдем формулы, с помощью которых можно вы ислить Л - радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим ряд ~ !а.хн ~ . Применим к его 1 н.а1 ! ааааа! ! х ран „1 исследованию признак Даламбера. — =!х!! — ""' . Если существует !ан ' !!1зз!-зз-! = Уг, и если (х!А < 1, то ряд сходится. Если же !х(Ф > 1, то, начиная с некоторого места, >1 и общий член !анхо~ ряда р !!п„хн~ не стремится к ~а„Хн~ и р О, но тогда и общий член а,хн ряда ~~! а„хн не стремится к Ои ряд расходится. н р 1 Иными словамна ряд сходится при !х~ < — и расходится при !х! > †. Таким й 1, а„ образом, число А = — = !цп —" представляет собой радиус сходимости н та и+1 степенного ряда.
!Если' 1г = О, то !х~ 0 = 0 < 1 при всех х и ряд сходится на всей числовой прямой, что ооозначается равенством А = с ). Дадим другую формулу для радиуса скодимостн, Применим к рассматриваемому ряду р !а„хн~ признак Коши. ~х)~а„х"~ =(хф~аД. Пусть нар существует 1нпф~о„! = 1г. Тогда, как и выше, при !х~ lг <1 ряд сходится, анри 1 1 !х~ Й>1-расходится.Поэтому Я= — = !при /с=О,разумеется, Я= о).
йщ ',фаД Рассмотрим примеры. Прн ара. З вЂ”; Р=Рт — =то!х":Ц= .Рахано атхно хор~хм х" . 1л+ 1) „.р л! ' " и! всей числовой прямой. 1 Пру~щх у*'. р=рт — =х.ртх«ах тахох, от оно,отход. н-х а=р хн . и (-!)н Пррр.~ —. Р=нт — =Х.Н~ --~ох~ — ох~ т и "-"" 6+1 "1 теореме Лейбница. В точке х = 1 гармонический ряд '> — расходится. о яи-1 пнимен 4. ~(-1)" —. и=1.
В о аа *=+! оауим ~ уаювно 2у) -1 сходящийся ряд ~„— - (-1)' „) 2у) — 1 " х" . (п+1)з ф 1 анн ну. ~ —. В=им — =1.В а *=ау нм ринги —, и-уж 2 ' им1 ~~ р) который абсолютно сходится. 4. Непрерывность степенноао ряда уурр м,с ври~~.~'~ни ю м о ару внм, рр~в Во Им0 на (- Я; А), где Я - радиус сходимости ряда. Доказательство, Лемма. Пусть г< А.Тогда ~~) пих" сходитсянамножестве (х(<г абсолютнои ИмО равномерно. Доказательство.
Так как г < Я, ряд ~~) )а,(»' сходится. Так как ~а„х" ~ < |а, ~г" „ имО можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение Замечание. Лемма огню ь не тве ж ает равномерной сходимости степенного ряда на ( — А, А). Да это, вообще говоря, и неверно, Например, прогрессия ~~р хи ИмО ~явивши (-1;1)нер оуум.Овнааоао рва~он уаярвв о рвана мбом ~а; Ь1 ) а; БР)~ (- 1;1). Пусть теперь ха( — Я;Я), т.е. ~х < Я. Выберем г так, чтобы ~х~ <г <Я.
Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на (-г; г1 абсолютно и равномерно, Поскольку асе функции амх" - непрерывные, сумма ряда есть непрерывная на (-г; г1 функция. Значит, эта функция непрерывна и в выбранной, произвольной точке х интервала (- А; Й).
пиве в,(Внимав н~ея в оуо рава), пу уа,,( ) =Т, „*', и 6 ~В(х)аи~ 6„х" и в некоторой окрестности х =О г((х)ия ~,(х). Тогда а„еЬВ. Доказательство. При х = О получаем: аб + О = Ь, + О, аб = Ь, . Поэтому (т(х+атх +... = Ь х+Ь,х' + .... При х Ф О а! + атх+., = Ь, + Ьтх+.... В правой и левой частях стоят степенные ряды, а онио по-доказанному„есть непрерывные функции„поэтому равенство сохраняется при х = О, откуда а! =Ь, и т.д. (Отметим, л оо уш~ ~ ~о' .".лрлямлл~р л * О!. Сформулируем без доказательства еще одну важную теорему.
т~о. (Арало). Б~н Рлл ~а.*" оп ~ил Р ~~~~о,Т(). л~зю (ююб »=О неабсолютно) при х = Л, то 1пп г'1х)ол,р (О„Я» =411) 1т.е, сумма ряда л-ои-О непрерывна слева). б. Интварированив и дифференцирование степенных рядов л('„; .ио Т~оип.д б * (-Л:Л) 1~~а»' ~Э=~ »О »О р(+1 Доказательство. Пусть г удовлетворяет неравенствам ~х~ < г < )т . Тогда степенной ряд сходится равномерно на ~ — г; г~ и его можно почленно по! проинтегрировать. Кроме того, ~а„~"Й = а, —. Теорема доказана. ' )т+1 Теор~АДпллобого* (-Л;Л) (А ЛА"1 =2 Л*".
(,лл=р / Доказательство. Выберем г,,г, так, чтобы ~х~ < гб <г! < 11. По определению Л, ряд ~~) ~и„г!»~ сходится, Поэтому ЗС > О (см. доказательство теоремы 1); ~(т», !" ~ < С, » О и-! РаССМОтРИМ ВЕЛНЧИНУ )Р)а»Х" '1=и~а„~гб" ' — <и~О»');» ' = а~а„)Г» ' —" < Г! лС1,) " ИС~р.„т' ' < — О . По признаку Даламбера, ряд ~) — ' — О ) сходится, т.к. )' р'! л ! )! ~лГ! / О ', = — ' 1.О ~, ~п~ и ~~ радар ) а„*'"~ р - "~."Г ' е-1 "пС( 1 1х~ < г, членами сходящегося ряда,» — ~ — '! . Применяя теорему Вейерштрасса »ч на ~- г,; г,1, получаем, что этот ряд равномерно сходится. Следовательно, почленное дифференцирование обосновано на отрезке ~ — г0; г, ), а значит, и в точке х .
Ввиду произвольности точки х е (- Я, л), теорема доказана. Важное замечание. Из доказанных теорем вытекает, что при интегрировании и д фф р~и~иро~и~р д~ч ма~и мюра~ . н у не может. Если бы, например, он увеличился и стал равен Я„л, > А при интегрировании, мы пролифференцировали бы этот полученный при интегрировании ряд н получили бы с одной стороны, ряд, совпадающий с исходным, а с другой стороны, имеющий радиус сходнмости не меньший, чем А, > 11 1по доказанному).
Итак, радиус сходимости степенного ряда не меняется при почленном интегрировании и дифференцировании. Однако поведение в концевых точках + Л может меняться, Например, ряд М~ ~ —, сходится на ~ — 1;11, При этом ряд ~ —, получающийся из исходного ) и и дифференцированием, сходится только на 1-1;1), а прогрессия '» х" „ х получающаяся при дифференцировании ряда ~ — 1сходящегося на 1-1;1))„ сходится на (-1„1).
6. Ряды Тейлора рассмотрим теперь функцию «1х) = „1 а„х", представляемую степенным рядом в области его сходимости. Очевидно, а, =- «1О). Далее, последовательно применяем теорему о почленном дифференцировании ряда. «'(х) = а, + 2а, х+ За, х- + ... + па„х" ' + ..., откуда «" (О) = а, . « "1х)=2а, +3.2.а,х+...+п1п-1)х" '+...,откуда « "~О)=2а„а, = —. «"'~О) 2 «'"1х)=3 2 а, +4 3.2 а,х+...+п(п-1)1п-2)х" "+..., «'"(О)= ба, н т.д.
«'"1(х) = п1п-1)1п-2) ... 2 1+(п+1) и 1п — 1).„.2 х+..., «1"11О)= п1а„' В заключение приведем несколько полезных следствий из разложения 1п(1+ х). яду~щ~щ 1, лв~ко виле~, !п!1-~1= -* — ' †...-~-1г —.... по~~ 2 и 1+х х х х"' 1п — =1п(1+х) — 1и(1-х)=2х~1+ — + — +...+ " +... при И<1,Полагая 1-х 3 5 2хл+1 1 1+х 2п+1 (2л+ 2)(2л+1) и+1 х =, и е Х, получаем, что —— — и 2л+1 1-х 1 (2и+ ф и 2л+! и+1 2 ( 1 1 1 1 !и — = ! + — + — + .... Этим разложением можно 2п+! 3 (2л+1)' 5 (2п+1) воспользоваться при вычислении логарифмов и при доказательстве формулы Стирлинга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
