В.Г. Чирский - Лекции по математическому анализу за 3 семестр (1111233), страница 6
Текст из файла (страница 6)
с х2~Ф~р у с1нр Приведем зту формулу без доказательства. и! = /2лп — е "', О < О <1. В. Ряды Фурье. Понятие об ортогональных системах г1ауннций Начнем с определения ортогональнык функций. Функции р(х) и р(х) называются ортогональными на [а; Ь~„если ) ф(х)р(х)гй = О, Термин "ортогональность" требует некоторых пояснений. Функции на отрезке 1а; Ь~ образуют !бесконечномерное) векторное пространство !сумма функций и произведение функции на число — это снова функция).
Рассмотрим для интегрируемых функций величину ) !а(х)~х(х)с!х С1) и назовем нормой ф, ~~ф~~ = Дф, ф)), Разумеется, это билинейная симметричная функция: 1, (Ф, р) = ~Ф(х)у (х)Ь = ~р(х)!1(х)Ь = (р, Ф); и Ф 2. (ф, +ф,„р) = )(ф(х)+ ф.,(х))у~(х)пх = ~ф(х)д~(х)сй+ )ф,(х~к(х)~й = = (Ф~,м)+ (Ф. .и) ' ь ь 3. (Лф, уб) = ) Аф(х)уб(х)ах = 1) ф(х)уб(х)ах = Л(ф, р).
4. Кроме того, если рассматривать только непрерывные функции, из равенства (ф, ф) = О следует, что ф(х) = О на 1а; Ь). Действительно, если бы существовала точка х и 1а:.Ь) такая, что ф(х,) = с ~ О, то, ввиду непрерывности ф(х)на1а;Ь~ существовало бы а такое, что при х ~ 1х, — а„х, + Б1 для функции ф (х) было бы справедливо неравенство д с ф (х)> —, Но тогда 2 ь Ъ-д' х„+б ь 2 )ф'(х)б(х= )ф'(х)ах+ )ф'(х)ах+ )ф'(х)б1х>0+26~ +О=й' >О, ь Ю х„-б ,сц+д 2 Поэтому для непрерывных функций ф, уб величина (1) представляет собой скалярное произведение. Если рассмотреть более широкий класс, чем непрерывные функции, то свойство 4 уже не имеет места, Например, для отличной от тождественного нуля функции (1,х =0 ф(х) = ~ на 1а;Ь) = (-1;1) выполняется равенство )ф'(х)ах = О.
1 О,. О Однако, если ф(х) - кусочная непрерывная функция, .то можно доказать, что нз равенства 1ф1 = )ф (х)а1х = О следует, что ф(х) равна О всюду„кроме конечного числа точек, где она имеет устранимый разрьш. Таким образом, величина (1) по своим свойствам близка к скалярному произведению, Система функций (ф„(х)) - ортогональная на 1а; Ь), если (ф„, ф,„) = ) ф„(х)ф„, (х)ах = 0 при и ~ бл . Система функций называется (О, при л ~ ьл ортонормированной на 1а;61, если (ф„,ф ) = ~ (1, лри и = ьл Если рассмотреть символ Кронекера 6„, „, определяемый так: (О,прил~т 6„„, = ', то условие ортонормированностн можно записать так: ~1, при л = л~ (ф.,ф„) = А,. Если ортогональная система функций (ф„(х)) на 1а; Ь) не содержит функций с нулевой нормой, то система " - ортонормированная.
Дф. (х)1) т дг~ . Р~ ~ р м~ы ~~ ' фунюзм *ОР~ 0~~ ~ж Доказательство. Требуется доказать, что при и ~ т, и, т = О.1,... созпги созтж гз1ппж ялта. =О ичто при всех 1 1 ', 1 гсоз пгсг яп тгп; п,т: и=01,...; т=12,... Ых= О 1 Проверим первое из этих равенств. Остальнь|е получаются совершенно аналогично. ) Й: = )-~соз~ — (т+ п~~+ соз~ — (т — п) Ых = — зш — (т+п) + яп ™(т — и) =О (т.к. яппи = О при Й и Х. Замечание. Легко вычислить, что на (-1;1) ~~1~~ =21„11яп~~ =1,~соз — ~ =1, и=1„2,...,Например, ! яп — = р1п'~ — ~Ых = — )~ 1 — соз — уа = — 21 — — яп— 1) Предположим теперь, что Д(х) определена на ( — 1;1) н периодически продолжена на всю числовую ось. Сопоставим ей ряд Фурье по тригонометрической системе: у (х) сс — + р ~а„соз — + Ь„яп — ~, где !г игп 1г..
пгп. а„= — Ях)соз —, и = 0,1,2,...; Ь, = — ) у'(х)зп1 — г1х, п = 1,2,.... 1Важнейший частный случай: 1 = и, тогда тригонометрическая система имеет вид 1„соз х, яп х,, соз их, з1п пх. Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам Ф ~Г а„= — ) у (х)соз их~а, Ь„= — ) г'(х)зш ~шй н ряд Фурье, соответствующий Д(х), и гг „. а0 есть — 0+ 1(а созпх+Ь, з1пих)), Вернемся к вопросу о сходимости ряда Фурье. тщеему,пусть гь) - рнии. ы фракию~ ~крюдм 2!),,~( )гь)— кусочно непрерывны на (-1„1) 1т.е. ограничены на этом промежутке и имеют не более чем конечное число точек разрыва, причем только первого рода). Тогда ее а, " 1' пгсг .
пж'1 ряд Фурье: 5(х)= — '+,~ (а„соз — +Ь„яп — ~ сходится при любом х, причем 2 „„,~" 1 ! (х+ О)+ !г(х — 0) 5(х)=,!(х),если х -точка„где /(х) непрерывна. Я(х)= в точке 2 разрыва (символы,~(х+ О), ! (х- О) означают 11!и .г(~)и 1пп !(!), соответственно). г 1 о .т-о Эта теорема приводится без доказательства ввиду его технической сложности (хотя это и одна из самых простых теорем о сходимостн). Рассмотрим особенности разложений в ряд Фурье, присуп!ие четным и нечетным функциям.
! ! Лемма. Если Д(х) - четная интегрируемая функция, то )2(х)ой = 2) у(х)!й, а -! о если ф(х) - нечетная интегрируемая функция, то ~Е1(х)сй =- О. -! а ! о Доказательство. ) г(х)а!х = )Д(х)ой+ ) !г(х)о1х= ) !'"(х)гй+ )~(-!)оох = (замена о о ! ! ! х = -~ ) =- ) г (х)Йо+ ),!'( — !)Й = (ввиду четности) = ) 1'(х)Йо+ ) у'(!)Й = 2 ) 2'(х)ой.
о о о о о о Аналогично, ~ф(х)о(х =,~ф(х)дх — )1о(-!)Й = ~й(х)Йх — ~ф(г)Й =-0 (ввнду -! о, ! . а . о нечетности). та!О!!!,о~п~юм рилэ!р жау п~,Ь!сл~р омг ю косинусы кратных дуг (т,е, все коэффициенты 6„= 0 ). Разложение в ряд Фурье нечетной функции ф(х) содержит только синусы кратных дуг (т.е. все а„= О). Доказательство. Следует только заметить, то если Д(х) - четная, то Чи г (х)соз их - четная, а / (х)з1п лх - нечетная функция и если оо(х) нечетная, то Чл ф(х)з1пих - четная, а ф(х)созлх - нечетная функция.
Применение леммы доказывает теорему. Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье, Пример. Разложим в ряд Фурье у = х на интервале (-!г;!г). Эта фуйкция— нечетная, поэтому в разложении все а„= О, и =1,2,.... Интегрируя по часгям, находим Ь„= — )хз1п!охНх= — — -сових, +- )созпЫх = — ! — --!гсози!г+- й (-1)"" + —,з1п их1 = — (здесь использовано то, что соз и!г = (-1) ).
2 лл) Итак, получаем ряд ~ — (-1) зш лх а который н) П сходится к функции х на (- уг; я) ~ и к О в точках х=-л, х=уг«. Обратим внимание на еще один часто встречающийся тип задач. пнамдн,рмвомлт Усуи лнм У)~) н астор ал тл;~) но косинусам кратном дуг. В качестве «(х) рассмотрим х. Эту задачу не следует путать с разложением в ряд Фурье функции х на интервале (О;уг). При таком разложении тригонометрическая системаимелабы вид 1,соз2пх,з1п2пх, и=1,2,...„и разложение содержало бы как функции соз 2пх, так и функции з1п 2лх . Не следует также видеть в этой задаче противоречие с разобранным выше примером, Там ведь функция была задана на ( — я; ут), и была нечетной на эгом интервале.
В рассматриваемом случае мы должны сначала доопределить «(х) на интервале (-к;О) (в нашем случае это будет -х1 так, чтобы получилась четная функция Лх« Раало санс Г')*)оолр ннс«искр .р р только при х> О, получаем решение исходнойзадачи, При «(х)=х «(х)=~х~. разложим ~х~ на (-~г;я). Это — четная функция. а„= — ~х4х = —, /7 ~ 2 а„, = — ) хсозпхгй = — — хяп пх~ — — )з1п лхй..~ = — О+ —,сових »г, О, н=21г 2 4 " соз(21+1)х =- —,1созп»г — 1)= 4 . ~х~ = — — — ~~» . Поэтому при лп-' —,,п=2й+1'~ ' 2 я,, ф, „1)з „(2 +1) х > О получаем искомое разложение х по косинусам кратных дуг.
~т 4 ~ соз(21+1)х 2 »г = (2х+1)' Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение вида Р'~х, у, у',„., у "' ) = О, где Рф„г„, г,кч ) - функция, определенная в некоторой области 22 пространсгва Й"', х - независимая переменная„у - функция от х, у',,у'"» - ее производные. Порядком уравнения называется наивысший из порядков производных у, входящих в уравнение. Функция Дх) называетсярвшвнив»н уравнения на промежутке 1а;Ь), если для всех х из (а;Ь) выполняется равенство: Р'~х,Ях)„Г(х)„...,.~~"~(х))=О, ХХлтгграяьяпя кривая — это график решения, а~~~~ьР~~~ОР~» ~ ~ =О.Б~~Р: га) ~~~ г р*д 1- ю;ж).
Отметим, что зта постоянная — произвольная н решение — не единственное, а имеется бесконечное множество решений. яр р<.< ш~~«ю <'"<~, * ("'« ~л <(*) ~~мв~ (а; Ь) функция. Пусть К(х) - первообразная для (а(х). Тогда уравнение имеет бесконечное множество решений на (а; Ь) н все они имеют вид у = ~ (х) = г'(х)+ С, где С - произвольная постоянная. Есть прямой способ выбрать какое-то одно из этих решений, потребовав, например, чтобы для некоторой точки х„а(а;Ь) выполнялось условие у(х,)=у,.
Тогда, подставив х, в решение, получаем условие у, = Р'(х,)+ С, определяющее С = у, — г (х, ) н, тем самым, единственное решение у = Д(х) с указанным условием, Рассмотрим значительно более общую ситуацию, чем была в примерах. Пусть исследуемое уравнение имеет внл: у' = Д(х,у). Это — уравнение первого порядка, разрешенное относительно у' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
