В.Г. Чирский - Лекции по математическому анализу за 3 семестр (1111233), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть для ряда ~~' (-1)""'с„вытхянены условия: 1. Для любого номера и вынолняеигся неравенство О ь с„„ь с„. 2. Бшс„=О. Уогда этот ряд сходится и его сумма,7'удовлетворяет неравенству Я ьс,. Доказательство, Рассмотрим частнчнуто сумму Б,в . Она имеет вид: Я„я =- с,-с, +с, -с,+...+с,, -с, Заметим, что Ь'„,„=- с., — с. + с, — с, +...+с,„„— сви„=Ю, +с,„, .— с.,„, о„и.
Но Я,и =' с, — ('с. — с,) —...-(с,, — с,, ) — с,„. По условию теоремы, все слагаемые в скобках, и число с,, неотрицательны. Поэтому 5, ~ с,. Итак, частичные суммы ряда .7', с четными номерами образуют возрастаюпбзо и ограниченную сверху последовательносгь. По теореме Вейершцисса( ей формулировка напомнена в параграфе 2), существует Ыш Я„,.
Обозначим его 1пп Б, ."По теореме о предельном переходе в неравенствах получаем: Ь' ~ с, . Для подпоследовательности частичных сумм с нечьэгными номерами гпвеем: Я„„, = Я, „+ св~„. Так как, по доказанному, 1пп Ь;и -- 5, 11 ш с„= О, по теореме о пределе суммы последовательностей получаем: 1пп Я „,, =- Я . Кроме пи о, вновь по теореме о предельном переходе в неравенстве, .7 ~ с, .
Теорема доказана. Следствие. Пусть выполнены условия, теоремы. 7огда для любого пслраведливо неравенство ф„~~с „„, Доказательство. Рассматриваемый остаток ряда имеет внд Л„=( — 1)"*' св и+... и гакже представляет собой знакочерелуюппгйся ряд. Если число ннечетное, то Л„= с„„-с„„+с„„,—... и. по предыдущей теореме, имеют место неравенства О ~Л„~ с„„. Если же число я че'пюе, то — 1(„= с„,! — с„,2 + с„„з -... и, но иредыдущей тсорснс, иниот место неравенства (1~ Я ~с Танин образом неравенство!Е ~~„, доказано нрн всех л " (-1.)" 1 1 Пример.
Ряд ~~~, — является сходящимся, так как — — — < — при всех лт1 л 1 и, и 1нн — =О. !>Фи Сформулируем без доказательства ещЬ' две нолезнь1е теоремы. Теорема, (Признак Абеля), Если ряд ~ Ь, сходится, а числа а„ ! ! образуют мопотоилую и оараличетсую послеооеалыльлость, то ряд ~~~, а„Ь„также сходится, ю! Теорема. (Признак Дирнзле), Если частичные суммы ряда ~' Ь„ограничены, а числа а„образуют моиотолную и стремяируюся и яулю последовательность. то ряд ~ а„Ь„таюслсе сходится.
Функциональные последоаательности и ряды Х, Поточечная и равномерная сходимость Пус)ь задана последовательность функций ~, (х), определенных на множестве Хр — Я. я рер~ „р.) ) ю~* ы р 1 р /)х) ра Х. р. А' йт ~р (х) =,г (х), т е. ))дх е Х у'г > 0 ЗМ 'и)) > М ~ ~, (х) - Дх)Р < к, пр .р пр ~ р(~)=,', д'=1рр) трррррр рр.р~ -.«: рь*" -р.пр Р-д Р х =1 хд м1 и 11п) хд =1.
Таким образом, последовательность эг.(х) поточечно 10, О<х<1 сходится к функции,~(х)= ~ (1, х = 1 Если рассматривать функциональный ряд ~~ ар (х), составленный нз 1 определенных на множестве Х функций, то под его ))ожопечной сходаносшыо понимается поточечная сходимость последовательности его частичных сумм. Выше мы видим, что'поточечный предел последовательности непрерывных функций может оказаться разрывной функцией. Чтобы избежать подобных неприятностей, рассмотрим более сильное понятие равноме)зной сходнмости. 0 прр~~,п р р ~ю р т ~.) )р пр ~ру юд ю«р)») рр и-~ пп на множестве Х „если У'к > 0 3)))(к) 'и')) > М 'Ухе Х ~~,(х) —,)'(х) < ь . Это обозначается так:,). (х) Дх) на Х при л — ~ ро. Равномерная сходимость функционального ряда — зго равномерная сходимость последовательности его частичных сумм Ях(х) к сумме ряда Я(х) на Х.
Это равносильно тому, что Я(х)-Бх(х)~~0 на Х при Ф -> и, т.е. тому, что Р,(х)~~0 на Х. р ТрщП (р р~1~р р Пр р рр В~иьррМ рр мОстн яж ррр В~ ьы1 ,)„(х)1..)'„(х)~,р'(х) на множестве Х <=: '))'а > О 3)У'(к)>0 с)п > Л' )урн 1У1 Ъ'хе Х 1Х„,(х)-,гр(х~ < г. Без доказательства. Из этой теоремы сразу следует к ите ий Коши авноме ной схо имости ар(х) равномерно сходится на Х с=ь ))'а > О ЗЖ > О » и ~)) > Л) 'Ур и Х УУх н Х ~ар„(х)+ ... + ап„(х) < ь . ~»~ду. (н бю»»»»» м» р» (.
(( * » ~»~и Коши р=1. Тогда получаем: Чя > О Зг(г Хгл > ((( (гхе Х [(а»а(х) < х, т.е. 11пг а„(х)= О. Необходимый признак равномерной сходимости ряда вновь показывает, что прогрессия ! х" не сходится равномерно иа (-1;1). (1окажем. чтох" 0 на (-1[1)~ля >гого достаточно:юкаинь, гго лля, например» 1 к= - и для лиюого ('" сунгествуег и > Ф г[ сушесгвуег х,[х, < 1 такое, что х >;-. Очевидно. чн> лля любого У и лки5гио л > (» достаточно взять число 1 1 х из интервала "[ч < х < 1. Сформулируем и докажем достаточнг (й признак сходимости (мажорантньгй признак Вейерштрасса).
Теорема. Пусть Чх е Х выполняется неравенство [а»(х1< а„, л = 12,.... Пусть, кроме того, ряд ~Ч Ь„сходится. Тогдаряд " а» сходится на множестве Х »! абсолютно и равномерно. Доказательство. Достаточно проверить справедливость критерия Коши, т.е, доказать, что Чг > 0 ЗЮ > О 'ул > У '((р е [ч 'ях е Х [а» „(х)+ ... + а „.„(х ~ < к . Но последнее неравенство следует из того, что [а„„(х)+...+а.„(х~<~а„„(х)+..'.+~а,„,(х)йл»„+, л»„,адля ряда ~'0 » ( выполняетсякрнтернйКоши,т.е.
»г'г>0 3(((>О 'г(л>И 'фе[Ч Ь», +...+0, <г. П име ы использования тес емы. я» а(.»»~ — ", »ю»* р»( г» ( ° [-»([. '( „.( л' Действительно, при [х~ >1 выполнена оценка ~ —,' < —;, а ряд ~ ~—, сходится. <е сових я»»я»»2, г — »ю» 6 (» »м 1созлх1 1 з 1 прямой, т.к. для всех х 1 — < —, а Ъ вЂ” - сходится, "Г2»' ~" 2. Функциональные свойства раеноагерно сходящихся последовательностей и рядов Теооемаа, Пусть г"„(х)~г»г(х) на Х. Пусть г(л ((» е С(Х).
Тогда у' е С(Х). Доказательство. Требуется доказать, что Чх, и Х функция «(х) непрерывна в точке х„т.е. 'Фя>О 3а >О чх;~х-х,~<б ~«(х)-«(х,)<н,Зафиксируем произвольное я > О . Ввиду равномерной сходимости 3%: 'Фл > Ф 'Фх и Х ~«'„(х) — «(х) < †. В частности, ~,'„(х, )- «(х, ) < †. По условию, при любом и функция «'„(х) - непрерывная. Значит, 3а >О 'ях:~х — х,~ <6 ф,(х)-«„(х,)~ <г. При выбранных ли Б имеем: фх)- «(х ) =~«(х)-«;,(х)+«„(х)-«;,(х )~%(х,„)-«(х ) < фх) — «',(х)~+ + ~«„(х)- «'„(х, ~+ ~Л„(х,)-«(хД < — + — + — = я, что и требовалось доказать, Ядуд~ув~ Су р~н* р опап~и рл~, ~ю ю р ~ ю непрерывными функциями, есть непрерывная функция.
Доказательство. Применим предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда. пиас ° м Р д ) пу * о л Е Л*) р ~~и сходится к своей сумме 8(х) на отрезке [а; Ь] и все а„(х) н С[а; Ь]. Тогда ях и [а; Ь] ];> а„(гка = ~' ] а„(г)й . ~~я 1 "и 1 Доказательство.
Обозначим при произвольном У Я . (х) = ,"~ а„(х) „ гя (х) = Я(х) — Яя (х). Тогда 5, (х) - непрерывная функция и, т.к. по предыдущей теореме Я(х) - непрерывная функция, гя (х) - также непрерьпзная функция. Тогда ]Я а„Цй = ]Я(г)й = [(Ь",(г)+г,(~))гЬ = ~Ь'„(ф~+ ]'~,(~)й = ~~а„(г)~г+ а ~™ И а Ф И а я к + ] гя М = ~~' ] а, (Ф» + ) ~'я (г)гЬ Для доказгггельства теоремы достаточно О лм р О доказать, что ]гя(()й — > О при Ф-+ с, т.к., по определению йпз ~~~' ]'а (ф = й ~Е 1д я Е =~„[а„ИЬ.По ~к>О 3~, ~уУ>У, 'Йн[а;Ь] ~гх(~) < —.Поэтомупри ! „ 1' х Л' > Ф, ~гя (г)гЬ < ]]гя Цй < — (х - а) < н и требуемое утверждение доказано. Ь вЂ” а О О Замечание.
Для функциональных последовательностей эта теорема фоРмУлиРУетсЯ следУющнм обРазом: ПУсть «и(х) «(х) на 1а; Ь|. ПУсть Г„(х). С~а)ЬЗ. Тогда»«" ~а)Ь1 1) ~.«ий«« = ~.«'(Г) Ь. и » т оио, (о о~нно а~ф(ирои«ирои и р~и ). Пусть: 1. »«и а, (х) е С'((а; Ь)), а„' (х) и С$а; Ь)); 2. Ряд ~) аи (х) сходится на (а; Ь1 (и пусть его сумма обозначена Я(х)); «о) 3. Ряд ~~» а,', (х) равномерно сходится на (а; Ь1.
»о! Т с«а~о'.(*)=Я(~)и и,и с ио~юа и, ~~,',()= ~ о(*)). »-р ос о! и 1 Доказательство. Обозначим ф(х) - сумму ряда ~„аи (х). Тогда ф(х)- ио! непрерывная на (а; Ь~ функция. Поэтому )рх е (а„Ь) существует ее интеграл от адох н он, по предыдущей теореме, равен )ф())й =~» )а,',(«)г«г=~~~ (аи(х)-а„(а)) и «--) и ) с = ~~ а„(Х) — ~Ч а„(а)=Ь(Х) — 5(а). ЗиаЧИт, Г(Х)=ф(Х) ИЛИ ~ ~~ аи(Х) =„» а,',(Х). «1 «! 'асс 1 и р Замечание. Соответствующая теорема для последовательностей может быть сформулирована так: Пусть «'(х),«и(х) н С((а; Ь)).
Пусть «„(х) » «(х),х е (а; Ь|, н-+со и пусть ««(х) ф(х), хе~а;Ь1н-+со. Тогда ф(х)= «'(х), или »-<(*) ='(~~ ро(*)) 3, Сте)теи)чые ряды Важный частный случай функциональных рядов представляют собой Стс)ТЕ)ТНЫЕРЯДЫ, т.с. РЯДЫ ВИДа,> а«Х«ИЛИ„В бОЛЕЕ ОбЩЕМ СЛУЧас„~~» а«(г — Х,) . и и «р ПОСКОЛЬКУ ПРИ ЗаМЕНЕ Х вЂ” Р =Х РЯД ~~» а,(т — и,)«ПЕРЕХОДИт ВРЯД ~Р а„Х" о достаточно рассмотреть эти последние ряды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
