В.Г. Чирский - Лекции по математическому анализу за 3 семестр (1111233), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(Термин «разрешенноея означает, что у' выражается через остальные величины, в отличие от уравнения общего вида Г(х, у, у') = О, из которого выразить у* может быть и не удастся). Сформулируем важнейшую теорему. тв~Ь (О у~с ~ююю ~а~к~~ юмор ~мюиК~ <.Пу ф„(,) - непрерывная функция в области 0 ~ К, причем — ((„<,) - также 7 ф д(, < у' =.('(,у) непрерывай в В. Тогда лля любой точки (х,,у„)ц В задача Кои<и: У(ха ) = Уо имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть 2 ее решения у, и у,, определенные на интервалах (а,;Ь,) н (а„Ь,), содержащих точку х„то они совпадают на пересечении (а; Ь) этих интервалов, О а, х< Ь Ь Теорему оставим без доказательства. Замечание.
Говорят, что решение у,(х) дифф интервале (а,; Ь,) есть продолжение решения у, (а,;Ь,)(: (а,;Ь,) и у, (х) =- у,(х) на (а„Ь,). Также говорят, что решение у(х)- макс<и<алы<ое или «епродояо<саемое относительно ь<, если у(х) не обладает продолжениями„целиком лежащими в <!<. На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное максимальное (непродолжаемое),решение задачи Коши. Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения у' = Д(х,у) представляет собой у' - тангенс угла наклона касательной к графику искомой функции в точке (х, у), а правая часть Д(х, у) задает его численное значение г (х,у) в этой точке.
Поэтому можно считать, что уравнение залает лоле направлений на области В, т.е. к каждой точке (х, у) е 0 прикреплен вектор, указывшощий направление касательной к искомой интергальной кривой. Поэтому сформулированная выше теорема означает, что при выполнении ее условий через каждую точку (х, у) е 0 проходит единственная непродолжаемая интегральная кривая, Перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явном виде получить их решения.
2. Уравнения с разделяющимися переменными Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида у' = Дх) я(у), где Г(х) - непрерывна на некотором (а;Ь), а ~(у) непрерывна на (с; гУ), причем д(у) ~ О на (с; Ы), — = ~(х)у(у) <=> — = Дх)~й. Интегрируя обе пу оу ах д(у) части, получаем ) — = ) Я(х)Ых . Обозначая 6(у) любую первообразную для ву а(у) 1 —, а Р(х) - любую первообразную для Д(х), перепишем это уравнение в виде г(у)' б(у) = г"(х)+ С. Это — искомая интегральная кривая. Рассмотрим некоторые примеры таких уравнений.
Пр~щр! у'= у, ФО.О ЮЛЮр у О.Е аг РФО, г4> г ! уравнение можно заменить таким: ) — = ) ий, откуда 1п1у~ = ох+ С. Если считать, 'у что у > О „то 1п у = х + С, откуда у = е' е" или у = Ь~, й = ес > О. Аналогично, при у < О получаем у = А,е", й, <О. пршщй ~'=2Ду~.у(~1=0-р и урюненн.прфу 0 ем: — — ~ — = ~~~х,,/у = - — С= х>С,и у=~ -С) . Иу ф Ну лх 2 /у 2 ~у Аналогично, при у с О у =- -~х — С), х < С, В точках ~С,О) единственность решения нарушается.
Отметим, что это не противоречит теореме единственности: Д~х, у) =- 2 ~1у~, — - не непрерывен в О. à — ф' Ф 3. Однородные уравнения Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида у' =2 у . для их решения требуется сделать замену у = ~х, после чего получится уравнение с разделяющимися переменными. «Вдрщ,*ф ~*+у)ах.О о~~~р *=О.пр~~~~ь~~р *~О. х+у У Преобразуем уравнение так: у' = (правая часть имеет вид 1+ — - это х х однородное уравнение).
Полагаем у = «х, При этом у' = «' х+ «и получаем уравнение «'х+«=1+«, «'х=1, «'= —, « =1в~х1+С. Значит, у=х1п1х~+Сх. х 1 а~х+Ь|у+с) 1 Урааиеиия аиДа у' =,г ' ' ~. Такие уравнения сводятся к однородным заменой переменных. В случае, если прямые а,х+Ь,у+с, = О и ах+Ьу+с =О пересекаются в точке (х, „у ), то замена Х = х — х„у = у — у, приведет уравнение к однородному.
Если же эти прямые пе пересекаются, то а,х + Ь,у = ««(ах + Ьу) и замена г = ах+ Ьу приведет к уравнению с разделяющимися переменными. 4. Лиией«ные уравнеиия первоао порядка вр~~~р,Р б р пр~м~р; у'=*+у. Решим сначала вспомогательное уравнение у' = у. Это — уже знакомое уравнение с разделяющимися переменными, имеющее решение у = Сс" .
Для нахождения решения исходного уравнения используем метод вариации иастояниой. Он состоит в следующем. Ищем решение нашего уравнения в виде: у = С(х)е", где С(х) - некоторая дифференцируемая функция. Тогда у' = С'(х) е" + С(х)с' и, подставляя в уравнение, получаем: С'(х) е' +С(х)е" = х+С(х)е' или С'(х)е" = х, С'(х)= хе '". Интегрируя, находим: С(х) = ) хе "~х = -хс ' + ) с '««х = — хс ' — е " + С, . Тогда у = ( — хс " — е '" + С, )е'" = — х — 1+ С е" .
Итак, мы нашли решение исходнщ о уравнения. Других решений у него нет, поскольку выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши (х+ у - непрерывная функция от х, у, а ее производная по у, равная 1, тоже), В обгцем случае уравнения у'+ р(х)у = у(х), где р(х)„д(х) - непрерывные на (а; Ь) функции мы поступаем вполне аналогично. Сначала решаем ««у вспомогательное однородное уравнение: у'+ р(х)у = О, у' = — р(х)у, — = — р(х)««х У (мы не рассматриваем решение у = О ), откуда, обозначая Р(х) любую первообразную для функции — р(х), находим, ограничиваясь случаем у > О, для определенности, 1пу = Р(х)+1п С, С > О, или у = Се'('.
Далее используем метод вариации постоянных: ищем решение неоднородного уравнения в виде у=С(х)е !'1. При этом у'=С'(х)е о!+С(х)е 01.Р'(х)ю С'(х)е ~'"! -С(х)р(х)е Ь1. подстановка в уравнение дает с(х)еж"! — с(х)р(х)е У~'"~+ с(х)р(х)е~~"! = ру(х) нли С'(х) = д(х)е ~!"1.
Интегрируем и„обозначая фх) первообразную для д(х)е Р01, ПОЛуЧаЕМ С(Х)ллфХ)+С,. ТОГда у ю(фХ)+С)ЕНл1. Эту фОрМуЛу ИНОГда ! р(л!т»т ! — ! рьт !ь ~юи~л атотеюл~ у=!!лт*р ш+с,1е, н ею юлин ннт рел не все множество первообразных, а одну произвольно выбранную первообразную. б. Уравнения, не разрешенные относительно производной Общее уравнение первого порядка г"(х, у, у') = 0 можно пытаться решать разными методами.
Во-первых, можно попытаться все-таки его решить и свести исходное уравнение к одному или нескольким уравнениям аида у' = 1(х,у). ЫлЛЛЛНЮиту'т -Л'=Л урю ение ~~ю~ р ~нр * ии ю (у' — у)(у'+ у) = 0 даст равносильную ему совокупность, „откуда Другой способ- вве ение па амет а. Н Линер,урллн нилу- у'-~лу' оюор шит:юеленлерлиетр ф р = у'. Тогда у = х+ р-1п р, откуда Иу = ах+ Фр — †. Но а»у = у'~Й = ррй н мы р ар р-1 приходим к уравнению ргй = Нх+Ир- — или (р-1)ах = ф».
При р ре! из р р ар этого уравнения получаем ~Й = —, х =! и р+ С. Тогда у = х+ р - !и р = 1п р+ С+ р !х =1пр+С +р — !п р = р+С' н мы получаем параметрические уравнения: ~ . Вэтом 1уюр+С случае параметр р удается исключит»с !и р = х — С, р = ел ' и у = ел ' + С - явное решение, В случае р =1 из у = х+р-1п р получаем у = х*1. Указанный прием применим к авиениям Ла анжа и Кле о. Уравнение Лагранжа имеет вид у = !1(у')х+»р(у'), где ф(р),у(р)- дифференцируемые функции. Полагая у' = р, получаем у = !1(р)х+ ур(р).
Дифференцируя, получаем: ау = хф'(р)с»р+ф(р)г1х+р'(р)р!р или рах = хф'(р)в1р+ ф(р)ей+ у»'(р)~ф, откуда (!1(р)- р)ах+ хф'(р)ф = -»р'(рфр . Пред1юлагая, что ф(р)~ р, получаем уравнение Их+х др = — Ыр„ ф'Ы у'Ы ф(р)-р ф(р)- р линейное относительно х: — + х = — . Решаем его указанным ' ар ф!р)-р ф!р)- р' выше методом и получаем выражение для х через р н произвольную постоянную С, х =х(р,С). Тогда у=ф(р)х!р,С)+р(р). Уравнение Кчеро — это частный случай уравнения Лагранжа: у = ху'+ р(у'). Вводя параметр у' = р, получаем у = хр+ у(р) (т.е. ф(р) = р, как раз оставшийся случай), Ыу = рих = хг!р+ рЫх+р "(р)йр или (р'(р)+ х)ф = О. Тогда, если Ыр = О, то р = С' н у = Сх+р!С) - это общее решение уравнения Клеро, Если же р '!р)+ х = О, то р = ш(х).
Тогда у = хм!х)+ у~(в(х)). 6. Теорема существования и единственности решения для уравнения п-ново порядка таех и, пу ь ~у~кию Я~,~„г„...,~„,) ~врды~нв юрер~ю йл ии В <- Е"' . Пусть — ',..., — непрерывны в Х). ! огда задача Коши, состоящая в Ф' Ф дно Й„, нахождении решения уравнения у!М = зг(х,у,у'„...,у'" !) с начальными условиями у(х,)= уц,у'(хо) = уо,...,у '" !,х„)= у" !где точки (х„,.у„у,,...,у" ) принадлежат области 0) имеет, притом единственное, непродолжаемое !максимальное) решение. Теорема сформулирована без доказательства. 7. Методы понижения порядка уравнения Существуют разные методы снижения порядка (и„тем самым, некоторого упрощения) уравнения. Мы изложим здесь самые простые.
Если уравнение имеет вид Р(х,у~ ~,...,у~"-)= О !т.е. не содержит у,у',...,у~ !, то введение новой переменной х = у уменьшит порядок уравнения, которое примет вид Г(х, х„..., хе ~ !) = О. Если удастся решить это уравнение, то у затем можно получить последовательным интегрированием х 1 раз. Если уравнение не содержит х, т.е. имеет вид Г(у, у',..., у! Л) = О, то его порядок можно понизить, взяв у за независимую переменную и считая производную у' функцией от у, Поясним это на примере.
Яр и б Усшну ура нанна а ну' = (у'с с 1 . пуст у' = у(у). тссна 4у') »(р(у)) р Ф,( ), ( ) = — — = р'(у) р(у), откуда 2урр' = р-+1; т»х б»х а(у»»х 2р»»р»»у — = —,у аб 0 (пусть у> О); 1п(р*+1)= 1пу+!пСсС> 0; р +1=Су; Т р+1 у р' = Су — 1; р = +»Су — 1. Таким образом, у' =+,~Су — 1, Далее находим: — — =г»х; ) =х+С„) =С(х+С,);+2-»'Су — 1=С(х+С,); +,»»Су — 1 х ~»С — 1 + и» Су — ! у(Су — 1) = (С(х + С, )) . 8.
Линейные дифференциальные уравнения. Простейшие свойства Рассмотрим дифференциальное уравнение у("'+ рс,(х)у(н '1+ ... + р,(х)у'* р,(х)у = (»(х) (1), Гдс рб(Х)а...арса ~ (Х)сну(Х) " фуихцнн, НЕПРЕРЫВНЫЕ На НЕКОтсрОМ Нитсраадс (а,'О), Это уравнение называется линейным, поскольку все величины у, у',. „у'" '1, у(н1 входят в него в первой степени, т,е. линейным образом. Если»»(х) = — О, то зто уравнение называется линейнь»бт однородньии у("! + рн, (х)у'" 1+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
