В.Г. Чирский - Лекции по математическому анализу за 3 семестр (1111233), страница 8
Текст из файла (страница 8)
+ р, (х)у'+ р,(х)у = О (2). Если же (»(х) ~ О, то (1) — линейное неоднородное уравнение, Удобно записывать уравнения 11) н 12) в операторной форме: Х,(у) = у(х) и ь(у) = О, соответственно, где величину з.(у) = у(н~+ рн, (х)у(" (1+ ... + р, (х)у'+ р,(х)у можно рассматривать как результат действия линейного дифференциального оператора», на функцию у = у(х) . Т т1~а.ям шб,с(на( л~ба у„уа~,...,у( ~ ню~н ~(у) сш ИХ) у(х )= у у (хб) = уб у( -Л(х ) у(са-0 имеет единственное решение у(х), определенное на (а; »у).
Доказательство, Применим общую теорему существования и единственности, Уравнение ь(у) = д(х) перепишем в виде у"н! = — рн,(х)у(и '! — ... — р,(х)у' - р,(х)у+ д(х). Соответствующая функция » (Х,»„,»„...,»„,) ИМЕЕТ ВИД»' = »~(Х) — Р,(Х)»б — Р,(Х)»( †... — Ри,(Х)»н,. ЕЕ Чаетиыс 10. Своиства решений линейного неоднородного диФФеренциального уравнения ТуеП~~З Пуе" у,1*1 Р уре и Пу.у~~л~иеене~лруе ~р~ени этого уравнения у(х) имеет вид у(х) = у(х,)+ К(х)е где 1"(х) - решение уравнения ~2),т.е.
Х(У)=О. Доказательство. Пусть Ь(у) = д(х), Х,(у,) = уХ(х). Тогда, по лемме 1е Е(у — у„) = Х,(у) — А(у ) = у(х)- гХ(х) = О. Таким образом, у — у, есть некоторое решение У однородного уравнения (2). Обратно, если А(у,) = РХ(х) и А()') = О, то А(уп+ У) = д(х) и, следовательно, у = у, + У удовлетворяет уравнению (1). Теорема 3 доказана. У~нищи,УПрнен у р~ыннн ре~ю~иУ.Пру~у,=у,1~11=1, являются решениями уравнений Х(у ) = д,(х) 1 = 1,..., и.
Тогда функция у = у, +...+у„, удовлетворяет уравнению ь(у) = д,(х)+„.+ у,и(х). Доказательство. По следствию леммы 1, А(у, + ... + у„у) = А(у,)+ ... + Е(у ) = = дХ, (х) + ... + д„(х) . Теорема 4 доказана, Замечание. Эта теорема служит для нахождения решения уравнения Е(у) = РХ(х) в случае, когда функцию д(х) удается представить в виде 11(х) = у, (х)+ ... + д„(х), где д, (х),1= 1,..., ул - такие функции, что нам известны решения уравнений А(у,)инд,(х),1=1,...,ул. 'И. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения (2).
Мы установим ниже, что оно имеет размерность л. О р~д~~ ПР»т Р„...,у„-ф»»»»»,»» ~н»~ » р~ гю»ьы»» (и-1)-го порядка включительно. Определителем Вронского И' = Ил(х) функций ~у~ „, У„ у» у„,.„у, называется величина И' =: 1»-~) (»-1у У~ " У» О»»Ы ~~~ П»ь ~ у,,...,у. о»р»»~»» ~»~»в»»с»»»). М» о~ линейно зависимыми, если сущесгвуют постоянные с,,..., с»,, не все равные О, такие, что для всех хи (а;Ь) с,у, +...+с„,у„, = 0 '«.) Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает„что из равенства «4) следует, что с, =с, =...=с =О. ФЙ т л~5».е»,»,»„- » ~ » р юю»»ы~»~ (н-1)-го порядкавключительно,то И'(х)мО, хн(а;Ь). Доказательство, По условию, существуют не все равные О числа с„..., с» такие, что на (а;Ь) выполняется тождество с,у, +...+с»у» = — 0 «5).
Взяв производную от обеих частей, получим: с, у, + ... + с„у ю О «б). Аналогично„ » Ф с,у, +...+с»у» еО, «7) с,у1» 1+...+с»У1" 1=-0 «) Рассмотрим произвольное х н (а; Ь). Равенства «5) — «8) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных с„..., с», Поскольку эта система имеет нетривиальное решение с,,, с» «это означает, что не все с„..., с„равны О), ее определитель И'(х) должен быть равен О, т.е. И'(х)мО, хе(а;Ь), Обратная теорема в общем случае неверна. Рассмотрим, например, функции (х',х>0 (О„х>0 12х,ха0 (О,х>0 у, = ', у, =,,длякоторых у, =~, у, =~ них «О,х<0 «х',х<О 10,х<О ' «2х,х«0 у, у,1 (х 0-0 2х,х>0 определитель Вронского '1 =У1У2 -Узу У~ У, (О 2х — х' О,х< О тождественно равен О.
Однако если с,у, +с,у, ен О, то при любом х > О получаем с,х = О, откуда с, =О, а при любом х < О получаем с,х' = О, откуда с, = О. Поэтому функции у, и у, линейно независимы. Тем не менее, верна следующая важная теорема. Тбабжбб. Е у,,...еу„~~~~ге р ~~ю ура и беУ и «~~уел точке х, е (а; (у) Ю'(хб ) ни О, то у, е..., у. линейно зависимы на (а; Ь) (н, следовательно, 1Р'(х) =- О, х н (а; 1у) ). Доказательство.
Рассмотрим систему линейных уравнений относительно су Уу (хб )+ -+ сг, Уг, (хф ) ип 0 неизвестных с„...е с„: (9 с,у1' '1(х,)+.,.+сну(п '1(х )=О Ее определитель равен 1Р'(хб). По условию, 7(У(хф)= О. Значит, система (9) имеет нетривиальное решение с„..„с„. Рассмотрим функцию у = с,у, +...+с„у„. По теореме 1, у является решением уравнения (2). Равенства (9) можно рассматривать у(х,)=0 у'(х )=0 как условия задачи Коши,, которая, по теореме 1, имеет у" "(х )=0 единственное решение. Вместе с тем, функция У = О также удовлетворяет уравнению (2) и условиям (10), Ввиду единственности, у = )' = О, Таким образом, сущее гвуют не все равные О постоянные с„..., сп такие, что с, у, + ...
+ сну„ж О. Поэтому у„..., уп - линейно зависимы на (а; 6) . Следовательно, по теореме 5, Н'(х)бу О на (а;Ь). Япнна~~~бюбм~ лип«бион а~ию~ы«раюен и ни йного однородного дифференциального уравнения и -ного порядка называется фундаментальной систелбойрешений этого уравнения. Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема. Т фарг. Р у„..„у.
Ур е и УУУ брюно фу«лапен «пуго систему решений этого уравнения тогда и только тогда„когда их определитель Вронского 1т'(х) отличен от О хотя бы в одной точке х, н (а; Ь). Доказательство. Равносильная переформулировка угверждения теоремы— решения у„...,уп линейно зависимы тогда и только тогда, когда ИУ(х)па О на (а;6). Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и б, Те оее б.
Дл юб о лиюбно о олн~р~лгвг лиффераюююнлого ураююн е (2) существует фундаментальная система его решений. Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмем произвольную точку х„е (а;Ь) и поставим рр различных задач «(у)=0 «(у)нн Ф)=0 у(х, ) = 1 у(х, ) = О у(х, ) = О Коши: у'(х )=0 у'(х )=1 у(х„)=О 1п-1(х ) О у1п-(1(„) О у(н 1(х,)=0 уо 1(х,)=1 По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим у, - решение 1-й задачи, у., - решение 2-й задачи, ..., у„- решение п-иой задачи. Мы получили у,,...вун -решения 1 О -" 0 01 "О уравнения 12). Найдем 1р'(х,) для этих функций: иу(х,) = 0 О ..
0 О О " 1 Следовательно, по теореме 7, функции у,,...т у„образуют искомую фундаментальную систему решений уравнения 12). Т онвнвр.Па~~ у,....уа -Фу н ~~ы~~аы~~анвр павии урввнвиив(тр Тогда для любого решения у этого уравнения существуют постоянные с„..., с„ (а(кнет 1то у ('(у! +"'+ спун ' Доказательство. Возьмем произвольную точку х, е (а; «р) и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных с,,..., с„: с, у, (х, )+ ... + сну. (х, ) = у(х, ) С,у, (Х,)+...+Сну. (. „)ар у'(Х,) 1с,у1п 1(х„)+...
+ спу1п 0(х,)он У1н '1(х,) Определитель этой системы 6'(х,) не равен О, т,к. у„..., уп - фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует 1и притом единственное) решение с„.„, сн. Рассмотрим теперь функцию с,у + ... + соуп . По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств 111) значения этой функции и ее производных до порядка (л — 1) включительно в точке х, совпадают со значениями у и н н почат а н н ирою~он в очка в,. По ~ора~а 1 в~н~ввнн~ти ррлпения задачи Коши у = с,у, + ... + с„ун, х а (а„«р).
Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна л, а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства. 12. Метод вариации постояниых Вернемся к неоднородному уравнению (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений у, „,у„уравнения «2). Тогда, по теореме 9, любое решение У этого уравнения имеет вид: У = е,у, + ... +е„у„ (12). Предположим также, что нам удалось найти некоторое решение у, уравнения (1).
По теореме 3„любое решение у этого уравнения имеет вид: у = у, + 1' = у, + е,у, + ... + е„у„, согласно (12). Итак, для нахождения всех решений уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение у,. Для этого можно использовать метод варши»ии поегиоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде е, (х)у, (х)+ ... + е„(х)у„(х), (13) где у, „..., у„- фундаментальная система решений уравнения «2). Отметим, что (13) напоминает (12), но имеет существенное отличие от этого равенства состоящее в том, что в (12) все е„- постоянные, а в (13) это — неизвестные функции от х. Потребуем, чтобы кроме равенства (13) выполнялись такие равенства: Ф е, у, +...+е„у„мО Ф е)у~ +...+е )' — = О Ф »л-2) „ » -~) Ф е, у»" ')+...+е„у»" ') =- д(х) Ф Р | Из(13) и(14) следует,что (е,у, +...+е„у„) =е,у, +е, у, +...+е,у„+е„у„ к г ! У е, у, + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
