В.Г. Чирский - Лекции по математическому анализу за 3 семестр (1111233), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

+ е„у„) +» е, у, + ... + е„у„1 = е, у, + ... + е„у„; Ф =е, »" ')+...+е„у»" ')+(е,у» ')+...+е„у»' ') =е,,'"')+...+е„у»; ') и,наконец, (е, у, + ... + е„у„)»") = (е,у»" ') + ... + е„у»" ') ) = е,у»") + ... + е„у»") + +~с,у~' +...+с,у„" ~)=с,у,"~+...+с„уй~+4(х).Поэтомуподстановка с,у, + ...+с„у„в левую часть уравнения (1) дает !с,уи) + з. +с„у~") +д(х))+ ° р. Й у)"'+-' „у!"")+- Рь(;у, +-+,л)+Р.ил+-+ .~.)= ,'(у)")+р„,(х)у1" )+...+ р,(х)у, + р,(х)у, )+...+с„1 ~,")+р„,(х)у!" )+...+ Р,Цу, +р,~ )у.)+е~*~=в)*), бр ш ур мр ер Поэтому у, определяемое равенством (13) и системой условий (14) является решением уравнения (1). По теореме 1 это решение — единственное.

Для того, чтобы отыскать с, „, с„следует воспользоваться системой (14), рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных Ф Ф с,,...„с„с определителем 0'(х) ~ О . Решая систему, находим с,,...,с„а затем, интегрированием, находим с„..., с„. 13.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянны)ии коэффициентами Для уравнений Е(у) = О (1), у которых Х(у) = у " + а„,уй ') + ... + а, у*+ а„у (2), где а„„,, а, - постоянные величины, существует способ, с помощью которого задачу нахождения фундаментальной системы решений можно свести к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения. Для этого будем искать решения уравнения ь(у) = О в виде у = е . При этом у' = Аеь, у" = Хзе „, уй ') = М." 'е', у!") = Х'е ' (3). Подставим полученные величины в уравнение (1): Х'е ' + а„,Х' е ' + „.

+ + аде + а,еь = О, или е'"!Х' + а„,Х' 1+ ... + а Х + а,) = О. Поскольку е~ ~ О при всех х, из этого уравнения следует, что Х' + а„,Х' ' + ... + а,,1+ а, = 0 (4). Таким образом, функция у = е удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда 1 удовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называется характеристическим ураелениел~ уравнения (1).

Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4). Слтчай 1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим их А„...,Х„и рассмотрим функции у, = е+',...,у„= е~"', являющиеся решениями уравнения (1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость. Это будет означать, что у„..., у» - фундаментальная система решений 11). Определитель Вронского этой системы функций равен, с учетом «2) !»,,т !„» 'Ф Р у,, у„~А,е'!'" ...

Л.„е'"" ! Н'(х)= ... = ... ~ или,послевынесенияиз столбцов «»-!) «»-!)»»-! А»»»«»-!1 з»~ у! ° .. у„е»! е .. ~„е »«! ... Л» множителей е~",...,е"" И'(х)=е"'" ... е "" . Определитель ". Л »-!»»-! »»-! ~» ! » представляет собой известный определитель Ваидермонда. Он равен П(Л, — Л,,). !Ы<~Я» Поэтому если все числа 1„Л, попарно различны, этот определитель не равен О. Следовательно, как доказано выше «теорема 7 предыдущего параграфа)„функции у, = е"",„., у. = е'"' линейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.

2»»»ч»ьВ»» ор ~,...,А -ризмю~е,»» р~»~» «е~ числа. Формально е ",...,е "" - это снова фундаментальная система решений уравнения, т.к. эти функции линейно независимы «их определитель Вронского, как н в случае 1, отличен от О). Однако мы рассматриваем уравнение с ействительными коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую важную лемму.

Лемма. Пусть Е(у) = О - линейное однородное дифференциальное уравнение 11) такое, что все постоянные а, „..., а,, - действительные числа. Пусть комплексная функция и(х) + Ь(х) удовлетворяет этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функции и(х), я(х). Доказательство. Равенство Е(и+ ге) = 0 означает: и «" 1 + 1 «»1+ а„, (и «" '1 + и!«» '1)+ ... + а, (и' + г! ') + а„(и + и!) = О, откуда «»1 + а», и«" '1 + ...

+ а и' + а и + цк«»1 + а, р«» 1+ ... + а ! '+ а01!) = О, или Е(и)+ Е(г) = О. Комплексная величина Ци)+ !ь(т) равна О тогда и только тогда, когда ее действительная часть Ь(и) и мнимая часть 1А(!!) рвань«0, откуда А(и) = О, Е(~) = О, т.е. и и и - решения уравнения «1), что и требовалость доказать.

Пусть теперь Л = а + ф - любой комплексный корень уравнения 14). Поскольку 14) имеет действительные коэффициенты, число Х = а —,Й также является его корнем. Значит, ет' - тоже решение уравнения «1). далее, е~' =е! '~й =е "~ =е е'~' =е (созуОх+1з«прх)=е"'соз)хе+ + 1е "з1п юг:По лемме, е созе!хне з1п,!ух также являются решениями уравнения «1). Легко видеть„е'" = е сов)% — 1е з1п,!ух, т.е.

е", е "х являются линейными комбинациями е соз У1х и е ' з1пф. Разумеется, е соз,йх и епж з1пфх также можно линейно выразить через елх и е ". Поэтому линейная независимость решений еоь и е""" с остальными решениями уравнения «1) равносильна линейной независимости е соз ~% и е з1п фх с остальными решениями. Подведем итоги. В случае, когда все 2„,..., 1л - различные, причем 1„...,2,- действительные, а 2,„„Х„,2х„,Х.„...,Л,юх,Х„,. - пара комплексно сопряженных чисел «у. + 2з = н ), причем Л.„„„= а, + 1,«у„„уг = !у...е з „то фундаментальная система Решений УРавнениЯ «1) имеет вид: ер"',...,е",е"х созе,х,е "Яп 1Уух,..., е '" соз,дхх,е"" з1п,д,х.

СнХ В 3. нор их р ер~еюмыого ур~ыенюлю«ю~е~ы~в, н р л и есть кратные. Напомним, что число Я называется корнем мууогочлена Р1х) крат ушсти х, если Р(х) = (х — А) Р (х), где Р «х) - многочлен, причем Р ('1) ~ 0 . Пусть корни 1„,„.,,1„имеют, соответственно. кратности /су ...„Ф, . Тогда можно доказать «но мы оставим это без доказательства), что функции .угх х,х рг-! Агх ,г„х я,х Ь-у ях составляют фундаментальную систему решений уравнения «1).

Внн р, ууривелеег при р, погпвержлвююил. го угв ржлен . урюнению у" -2у'+ у = О соответствует характеристическое уравнение 2' — 22 + 1 = 0 „ (2 — 1) = О. Оно имеет корень 2 = 1 с кратностью 2. Рассмотрим функции е' и хе'. ( е ) =е'", (е'*) =ел и подставляя ех в исходное уравнение, получаем г и ех -2е' + ел = О, т.е, верное равенство.

Далее, (хе') = е ' + хел (хе') = 2е' + хех и подстановка функции хех в уравнение дает верное равенство: 2ех + хех — 2е' — 2хех + хех = О. Итак, ех и хех - действительно решения уравнения у" — 2у'+ у = О. Эти функции линейно независимы, т.к.

из равенства с,ел + с,хех и 0 при х = О следует суе~ = О, с, = О, Значит, с,хех оя О, Тогда при х=1 с,е=О,с„=О, Вжжлнее.ю~л л й~ш~ыы~ ор ~,....х, ур нк~ю(еу~~ ю кратности хуе...,Й„, а комплексные корни 2„„Л„,, 1и„, '.„„в...„2„„„д„л имеют кратности 1„...е 1е можно доказать, что функции Л,.1 4 .с с-1 Д,.1 е"" сов,о|х,хе"" соя,д,х,...,х' е"' соя Дх, е"" з1п,81х, хе'л а1п Дх,..., х ' е " з1п Дх, е"'" соя,в,х,хе '" совр',.х,...,хь е"' сов,о,.х„ ""' з1п,о',х,хе'ь'зшб'„х,...,х' е"'" з1п,в,х, образуют фундаментальную систему решений уравнения (1), Осталось напомнить, что согласно теореме 9 предыдущего параграфа, произвольное решение уравнения (1) имеет вид: у = с, 1; +... + с, г'...

где в качестве г'„..., ~„можно в каждом из рассмотренных случаев выбрать построенные элементы фундаментальной системы решений. 14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения А(у) = ~у(х) (1) достаточно знать фундаментальную систему решений у„..., у„однородного уравнения А(у) = О (2) и найти хотя бы одно решение у, (х) неоднородного уравнения. Тогда любое решение у неоднородного уравнения имеет вид: у = у, +с,у, +...+с„у„, где с,,..., с, - произвольные постоянные. Б случае уравнения с постоянными коэффициентами мы в предыдущем параграфе указали способы нахождения его фундаментальной системы решений.

Используя метод вариации постоянных, можно теперь найти решение и неоднородного уравнения. Однако есть важные частные случаи, когда решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще. Пусть Е(у) = ~ Р,(х)е"~ (3), где Р, (х) - многочлены, у„- действительные числа. Согласно принципу суперпозиция (теорема 4), достаточно уметь решать уравнение внда ЬЬ)= Р(х)" (4). Тогда, решив каждое нз уравнений Е(у) = Р„(х)е"' и просуммировав полученные решения, мы получим решение исходного уравнения (3).

Решения уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является нлк нет число у корнем характеристического уравнения для однороднсп.о уравнения (2). В первом случае у не является корнем характеристического уравнения, Тогда решение уравнения (4) можно искать в виде Д(х)е'", где фх) - мкогочлен той же степени, что и многочлен Р(х). Во втором случае, сели у является корнем характеристического уравнения (2) кратности г, решение уравнения (4) следует искагь в аиде х'фх)е", где фх)- многочлен той же степени, что н Р(х).

Эти два случая можно объединить в один, если считать, что у, не являющееся корнем характеристического уравнения, имеет нулевую кратность. Тогда решение уравнения (4) следуетискать в виде х"Д(х)е", г > О, где ~ - кратность у в характеристическом уравнении. Если в правую часть г!(х) уравнения () ) входят слагаемые вида Р~ (х)ы соз )й + Р~ (х)8 51П,ЮХ (5), где Р,(х), Р,(х) - многочлены, то можно искать решение уравнений Х(у) = РЯх)е соз,В+ Р,(х)е зш,й- (б) в виде х"(Я(х)е "созф+Я(х)е вшах), где г -кратностькорня а-~ф в характеристическом многочлене однородного уравнения ( г = О, если а + р! - не корень характеристического уравнения)„а степень каждого нз многочленов Я (х), Дз(х) равна наивысшей нз степеней многочленов Р, (х), Р,(х). Когда слагаемых аида (5) несколько, то мы решаем соответс снующие им уравнения (б) н применяем затем принцип суперпозиции. Рассмотрим важный пример, Пример, Уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии а х возмущающей периодической силы: — —, + а х = рз1п гн!, а, р, гн - постоянные.

Й Корни характеристиЖого уравнения Л + а-' = О равны + ш . Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения — + а х = О состоит а'1х 1 аг из функций сова! из1па!. Если в ~+а, то решение исходного уравнения ищем в виде Нх х = исози !!вша». Подставляем его в уравнение; — = -сшзнза»+ раз сова», г!Е й" х 2 2 2 — =-й® сов໠—,0а~ зша», откуда -аа~ сов໠—,9щ знза»+ а'асоза»+ Й 2 2~ + а",85(па» = рз!пах, или ~а — ю )хсояа»+1а — Ф я0$1пйМ = р Б!па», откуда а = О, )у =,, Тем самым, общее решение уравнения имеет вид р а — аз пп 2п» произвольного множителя получаем ряд ~~ф 1 — 1) ',, = Х„(х) ( У,(х)- !) 2'" стандартное обозначение для бесселевой функции с параметром О). а»у~д.„р~лр~~пр~жрюс~мп фф р~в» ~ыпкур~ юр: — = »г,(а-х) »тх ф.1) Й вЂ” = х,(х — у) а3» Р) Й Эта система описывает две последовательные односторонние химические реакции А — „— + — „— +С при обозначениях: г - время, Й,пх2 -постоянные, а- ~» начальная концентрация вещества А при г = О, а — х, х — у,у - концентрации веществ„соответственно А„В,С в момент времени 2.

Характеристики

Список файлов лекций