Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 16
Текст из файла (страница 16)
А тогда~~~A = k ⋅ Fx′( x0 , y0 , z0 ), B = k ⋅ Fy′ ( x0 , y0 , z0 ), C = k ⋅ Fz′( x0 , y0 , z0 ) .Подставив эти выражения для A , B и C в (10), получим уравнение касательной плоскости к поверхности ( s ) в точке N :Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0 . (11)Частный случай. Пусть поверхность ( s ) задана явным уравнением:z = f ( x, y ) ,(12)где f ( x , y ) – непрерывная вместе со своими частными производнымиp ( x , y ) = f x′( x , y ) и q( x , y ) = f y′ ( x , y ) . Отметим, что у такой поверхности всеточки обыкновенные. В самом деле, запишем уравнение (12) в виде:f ( x , y ) − z = 0 .
Это есть уравнение вида (5), где F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z . Поэтому Fx′( x , y , z ) = f x′( x , y ) , Fy′ ( x , y , z ) = f y′ ( x , y ) , Fz′ = −1 ( ≠ 0 ) . Уравнениекасательной плоскости в точке N ( x0 , y0 , z0 ) к поверхности, заданной уравнением (12), будет таким:z − z0 = f x′( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y′ ( x0 , y0 )( y − y0 ) .(13)Уравнение нормали в точке N ( x0 , y0 , z0 ) к поверхности, заданной уравнением(12):x − x0y − y0z − z0==.f x′( x0 , y0 ) f y′ ( x0 , y0 )−1(14)Если α, β, γ – углы, которые нормаль к поверхности ( s ) образует с осями координат, то105cos α =f x′2± 1 + ( f x′ ) + ( f y′ )cos γ =2, cos β =f y′2± 1 + ( f x′ ) + ( f y′ )−12± 1 + ( f x′ ) + ( f y′ )22,.(15)Выбор знака перед радикалом означает выбор определенного направления нанормали.
Если нам нужно, например, то направление, которое составляет сосью Oz острый угол, то должно быть cos γ > 0 и, следовательно, в формулах(15) перед радикалом нужно взять знак минус.Замечание. Пусть кривая ( l ) задана пересечением двух поверхностей, т. е.F ( x , y , z ) = 0,Касательную прямую к этой кривой в точкесистемой Φ ( x , y , z ) = 0.N ( x0 , y0 , z0 ) можно получить как пересечение касательных плоскостей, проведенных к данным поверхностям в точке N .
Следовательно, уравнение этой касательной прямой будет таким: Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0,(16)Φ′x ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Φ′y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Φ′z ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0.§2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление1°.
Рассмотрим поверхность ( s ) , з а д а н н у ю я в н ы м у р а в н е н и е мz = f ( x, y ) ,(1)где f ( x , y ) определена, непрерывна иMkzимеет непрерывные частные производные( s)f x′( x , y ) , f y′ ( x , y ) в области ( D ) , распо-ложенной в плоскости Oxy и ограниченной простым контуром.Разобьем ( D ) произвольной сетьюy простых кривых на части ( D1 ) , ( D2 ) , K ,( Dn ) с площадями F1, F2 , K , Fn . Рассмотрим цилиндрические поверхности,образующие которых параллельны осиx(Dk )Oz , а направляющими служат простые(D )кривые, разбивающие на части ( D ) .
ЭтиРис. 4.4. К вычислению площадикривой поверхностицилиндрические поверхности переносятдробящую сеть с ( D ) на ( s ) . Поэтому поверхность ( s ) разобьется на части ( s1 ) , ( s2 ) , K , ( sn ) . На каждой части ( sk )106берем произвольную точку M k ( xk , y k , z k ) и проводим в этих точках плоскости, касательные к поверхности ( s ) . Продолжим упомянутые выше цилиндрические поверхности до пересечения с построенными касательными плоскостями. Тогда на этих плоскостях вырежутся плоские области ( ~s1 ) , ( ~s2 ) , K , ( ~sn ) .Пусть площади их будут: T1, T2 , K , Tn соответственно. Обозначим через λранг дробления области ( D ) .
Покажем, что существует конечный пределns = lim ∑ Tk , не зависящий ни от выбора дробящей сети, ни от выбора точекλ→0k =1M k на ( sk ) . Этот предел и принимается за площадь s поверхности ( s ) .Заметим, что области ( Dk ) являются проекциями ( ~sk ) на плоскость Oxy .Значит, площади их связаны так: Fk = Tk ⋅ cos ψ k , где ψ k – угол между плоскостью Oxy и плоскостью, касательной к поверхности ( s ) в точке M k .
Но уголмежду плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Поэтомуψ k = γ k , где γ k – угол между осью Oz и нормалью к поверхности ( s ) в точкеM k . А тогдаcos ψ k = cos γ k =1()1 + ( f x′( xk , yk )) + f y′ ( xk , yk )22(заметим, что нам нужен положительный косинус). И, следовательно,Tk =(n⇒)2Fk2= 1 + ( f x′( xk , y k )) + f y′ ( x k , y k ) ⋅ Fk ⇒cos ψ kn()2∑ Tk = ∑ 1 + ( f x′( xk , yk )) + f y′ ( xk , yk ) ⋅ Fk .k =12k =1(2)Видим, что сумма (2) есть интегральная сумма Римана для двойного интегралапо области ( D ) от непрерывной в ( D ) функции()21 + ( f x′( x , y )) + f y′ ( x , y ) .2Значит, у суммы (2) существует при λ → 0 конечный предел, не зависящий ниот выбора дробящей сети области ( D ) , ни от выбора точек M k на ( sk ) , а это итребовалось доказать.
Попутно установлено, чтоs=∫∫()21 + ( f x′( x , y )) + f y′ ( x , y ) dxdy .2(3)(D )Замечание. Формулу (3) для площади s кривой поверхности можно записать в виде:s=dxdy∫∫ cos γ ,(4)(D )107где γ – острый угол между нормалью к поверхности ( s ) и осью Oz . Если нанормали к ( s ) направление не выбрано нужным образом, то вместо (4) следуетписатьs=dxdy∫∫ cos γ .(5)(D )2°. Случай, когда поверхность задана параметрическими уравнениями.Рассмотрим теперь поверхность ( s ) , заданную параметрическими уравнениями x = x ( u, v ), y = y ( u, v ), z = z ( u, v ),(6)где x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) есть функции, заданные в области ( ∆ ) плоскостиOuv , непрерывные там и имеющие непрерывные частные производные xu′ , xv′ ,yu′ , y v′ , zu′ , z v′ .
Составим матрицу xu′ yu′ zu′ x v′ y v′ z v′ и рассмотрим следующие определители, составленные из элементов этой матрицы:A=yu′ zu′z′ x′x′ y′, B= u u, C= u u .y v′ z v′z v′ x v′x v′ y v′Предположим, что один из этих трех определителей, например, C , всюду в ( ∆ )отличен от нуля. ( C ≠ 0 всюду в ( ∆ ) ).Возьмем первые два уравнения из системы (6). При условии, что C ≠ 0 вx = x ( u, v ),( ∆ ) , система однозначно разрешима относительно u и v , т. е. y = y ( u, v )u = u ( x , y ), причем функции u ( x , y ) , v ( x , y ) будут определены, непрерывныv = v ( x , y ),и иметь непрерывные частные производные ux′ ( x , y ) , u′y ( x , y ) , v x′ ( x , y ) ,v ′y ( x , y ) в некоторой области ( D ) плоскости Oxy (см.
теорию функций, заданных неявно). Подставив выражения для u и v через x и y в соотношениеz = z ( u, v ) из (6), получимz = z ( u ( x , y ), v ( x , y )) , т. е. z = f ( x , y ) .Отметим, что функция f ( x , y ) определена, непрерывна и имеет непрерывныечастные производные f x′( x , y ) , f y′ ( x , y ) в области ( D ) . Видим, таким образом, что поверхность ( s ) , заданная параметрическими уравнениями (6), пред108ставляет собой поверхность как раз такого типа, который был рассмотрен вышев 1°.Было показано, что у такой поверхности есть площадь s , причемs=dxdy∫∫ cos γ(см. (5)). В двойном интеграле, выражающем площадь поверхно-(D )сти ( s ) , сделаем замену переменных, взяв в качестве новых переменных параметрыs=∫∫(∆) x = x ( u, v ), ( u, v ) ∈( ∆ ) . y = y ( u, v ),J ( u, v )x′ x′dudv .
У нас J ( u, v ) = u v = C . Поэтомуyu′ y v′cos γuиv,т. е.s=положив∫∫(∆)ПолучимCdudv .cos γ(7)zγ nr ( s )В двойном интеграле (7) следует выразитьcos γ через переменные u и v . Для этого(l2 )на поверхности ( s ) выберем и закрепимN(l1)произвольную точку N ( x0 , y0 , z0 ) , соответствующую точке ( u0 , v0 ) ∈( ∆ ) .
Провеrдем в этой точке нормаль n к поверхностиy( s ) . Пусть α, β, γ – углы, которые норrмаль n образует с осями Ox , Oy и Oz со- xответственно. Проведем на поверхности ( s )Рис. 4.5. К вычислению площадичерез точку N кривую ( l1 ) :кривой поверхности, заданной x = x ( u, v0 ),( l1 ) = y = y ( u, v0 ), z = z ( u, v0 )параметрическими уравнениямиr(это – линия, ибо параметр один). Вектор τ1( xu′ ( u0 , v0 ), yu′ ( u0 , v0 ), zu′ ( u0 , v0 ))направлен по касательной к ( l1 ) в точке N . Так как линия ( l1 ) лежит на поr rверхности ( s ) и проходит через точку N , то τ1 ⊥ n . Поэтомуxu′ ( u0 , v0 )cos α + yu′ ( u0 , v0 )cos β + zu′ ( u0 , v0 )cos γ = 0 ⇒⇒ xu′ ( u0 , v0 )cos α + yu′ ( u0 , v0 )cos β = − zu′ ( u0 , v0 )cos γ .(8)Затем на поверхности ( s ) через точку N ( x0 , y0 , z0 ) проводим кривую109 x = x ( u0 , v ),( l2 ) = y = y ( u0 , v ), z = z ( u0 , v ).rВектор τ 2 ( xv′ ( u0 , v0 ), yv′ ( u0 , v0 ), z v′ ( u0 , v0 )) направлен по касательной к ( l2 ) вточке N .
Так как ( l2 ) лежит на поверхности ( s ) и проходит через точку N , тоrrτ 2 ⊥ n . Поэтомуxv′ ( u0 , v0 )cos α + y v′ ( u0 , v0 )cos β + z v′ ( u0 , v0 )cos γ = 0 ⇒⇒ x v′ ( u0 , v0 )cos α + y v′ ( u0 , v0 )cos β = − z v′ ( u0 , v0 )cos γ .(9)Из системы xu′ ( u0 , v0 )cos α + yu′ ( u0 , v0 )cos β = − zu′ ( u0 , v0 )cos γ , xv′ ( u0 , v0 )cos α + yv′ ( u0 , v0 )cos β = − z v′ ( u0 , v0 )cos γнайдем cosα и cosβ :− zu′ ( u0 , v0 )cos γ yu′ ( u0 , v0 )z′ y′− cos γ ⋅ u u− z v′ ( u0 , v0 )cos γ y v′ ( u0 , v0 )z v′ y v′Acos α === cos γ ;CCxu′ ( u0 , v0 ) yu′ ( u0 , v0 )x v′ ( u0 , v0 ) y v′ ( u0 , v0 )xu′ ( u0 , v0 ) − zu′ ( u0 , v0 )cos γx′ z′− cos γ ⋅ u ux ′ ( u , v ) − z v′ ( u0 , v0 )cos γx v′ z v′ B=cos β = v 0 0= cos γ .CCxu′ ( u0 , v0 ) yu′ ( u0 , v0 )x v′ ( u0 , v0 ) y v′ ( u0 , v0 )Ccos γ = cos γ .Известно,Можемнаписатьтакже,чтоCcos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
А тогдаCA2 + B 2 + C 22.⋅cosγ=1⇒cosγ=2222CA +B +CПодставляя это выражение для cos γ в (7), находим:s=∫∫A2 + B2 + C 2 dudv .что(10)(∆)Замечание 1. Из формулы (10) для площади s поверхности видим, что наокончательном результате не отразилось, что отличен от нуля именно определитель C , а не A или B . Точно такое же выражение для s мы получили бы,предполагая, что в ( ∆ ) отличен от нуля либо определитель A , либо определитель B . Поэтому формула (10) верна и тогда, когда область ( ∆ ) разлагается наконечное число частей, в каждой из которых отличен от нуля хотя бы один изтрех определителей: A, B, C .110Замечание 2. Положим( xu′ )2 + ( yu′ )2 + ( zu′ )2 = E ,( x v′ )2 + ( y v′ )2 + ( z v′ )2 = G ,xu′ xv′ + yu′ y v′ + zu′ z v′ = F( E , G , F – это так называемые коэффициенты Гаусса). Легко проверить, чтоA2 + B2 + C 2 = EG − F 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
