Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Поэтому1∫ (x2+ y 2 ) dx + ( x 2 − y 2 ) dy .( l2 )122I1 = ∫ ( x + x ) dx + 0 ⋅ dx = x 3 = .3 0 3022На ( l2 ) : y = 2 − x , x ∈[1, 2] ; dy = − dx . Поэтому682I2 = ∫1[2]222x + ( 2 − x ) − x + ( 2 − x ) dx = 2∫ ( 2 − x ) dx = − ( 2 − x )3 = .331222Следовательно, I =4.33. ВычислитьI=221( x + y ) dx − ( x − y ) dy,∫22xy+(l )где(l )–окружностьx 2 + y 2 = a 2 , пробегаемая против хода стрелки часов.Перейдем к параметрическому заданию кривой ( l ) . Положим x = a cos t , t ∈[0, 2π ], ⇒ dx = − a sin t dt , y = a sin t ,dy = a cos t dt.2π2π− a 2 (cos t + sin t )sin t − a 2 (cos t − sin t )cos tI= ∫dt = − ∫ dt = −2π .2a00y4. Вычислить I = ∫ arctg dy − dx , где OmA – отрезок параболы y = x 2 ,xOmAnOOnA – отрезок прямой y = x .I = I1 + I2 , где I1 =( OmA :2∫( OmA, I2 =∫( AnO.y = x , x ∈[0, 1] , dy = 2 x dx .

Поэтому u = arctg x , du = dx I1 = ∫ arctg x ⋅ 2 x dx − dx = 1 + x2  =2 x dx = dv , v = x 2 011112 21xπ − 1 = − ∫ dx + ∫ dx − 1 = 2 ⋅ π − 2 .=  x arctg x − ∫dx4401 + x 2 1 + x2000y( AnO : y = x , x изменяется от 1 до 0; dy = dx . По-1y=xAэтому00ππI2 = ∫ (arctg1 − 1) dx = ∫  − 1 dx = 1 − .y = x24 4m11xЗначит,O1πππРис. 3.11. К примеру 4I = 2  − 1 + 1 −  = − 1 . 4   4 4n69∫(y5.

Вычислить I =2− z 2 ) dx + ( z 2 − x 2 ) dy + ( x 2 − y 2 ) dz , где ( l ) – кон-(l )тур, ограничивающий часть сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , пробегаемый так, что внешняя сторона этой поверхности осzтается слева.( l2 )1( l3 )I = I1 + I2 + I3 , где I1 =∫; I2 =( l1 )1( l1 )1x∫( l2 ); I3 =∫.( l3 )( l1 ) : x 2 + y 2 = 1 (1-я четверть),y( l2 ) : y 2 + z 2 = 1 (1-я четверть),( l3 ) : z 2 + x 2 = 1 (1-я четверть).Контур ( l1 ) расположен в плоскости Oxy .

Следовательно, на ( l1 ) : z = 0 ; dz = 0 . ПоэтомуРис. 3.12. К примеру 50x =01y3 x3 2222I1 = ∫ y dx − x dy = ∫ (1 − x ) dx − ∫ (1 − y ) dy =  x − − y− 33x =1(l )101y =1=y =0114= −1 −  − 1 −  = − . 3  33Контур ( l2 ) расположен в плоскости Oyz . Следовательно, на ( l2 ) : x = 0 ,dx = 0 .I2 =0142zdy−ydz=(1−y)dy−(1−z)dz=−.∫∫∫322( l2 )210Контур ( l3 ) расположен в плоскости Oxz . Следовательно, на ( l3 ) : y = 0 ,dy = 0 .I3 =∫x( l3 )202143Таким образом, получаем I = − ⋅ 3 = −4 .7014dz − z dx = ∫ (1 − z ) dz − ∫ (1 − x 2 ) dx = − .320§3. Криволинейные интегралы второго родапо замкнутым плоским кривым.

Формула Грина1°. Станем рассматривать криволинейные интегралы второго рода вида∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy ,(1)(K )где ( K ) – замкнутый самонепересекающийся контур, расположенный в плоскости Oxy . Если наконтуре ( K ) выбрать какое-нибудь направлениеинтегрирования, то оказывается безразличным, какую точку на ( K ) взять за начало (а значит, и конец) пути интегрирования. В самом деле, пусть Aи B – любые две различные точки на ( K ) .

Имеем:∫ Pdx + Qdy =∫ Pdx + Qdy +∫ Pdx + Qdy =( B II A( AA( AI B= ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy .( B II A( AI B( BBzOyIIBxAI(K )Рис. 3.13. К определениюположительного обходаконтура ( K )Замечание. Особенность обсуждаемого случая заключается в том, что указание начальной и (совпадающей с ней) конечной точки на этот раз не определяет направления интегрирования на ( K ) . Конечно, можно было бы в каждомслучае указывать особо, какое именно направление имеется в виду. Но обычнопоступают иначе, а именно: из двух возможных направлений одно принимаетсяза положительное, другое – за отрицательное.Условимся за положительное направление обхода контура ( K ) приниматьтакое направление, когда наблюдатель (у которого направление от ног к головесовпадает с направлением оси Oz ), обходящий контур ( K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной ( K ) , слева отсебя.

Это соглашение относится к случаю правой системы координат.В дальнейшем интеграл (1), взятый по ( K ) в положительном направлении,будем обозначать символом:∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy .(K )712°. Формула Грина.I. Пусть ( D ) – область, ограниченнаяyy = ψ( x )B′замкнутым контуром ( K ) . Пусть ( K ) состоит из отрезков прямых: x = a , x = bA′( a < b ) и из кривых, заданных уравненияy = ϕ( x ) , x ∈[a, b];y = ψ (x),ми:x ∈[a, b]. Предполагается, что ϕ( x ) иBAψ( x ) непрерывны на [a, b] и такие, чтоy = ϕ( x )xϕ ( x ) < ψ ( x ) , x ∈[a, b]. Такую областьaOb( D ) будем называть областью типа I.Рис. 3.14.

К выводу формулы ГринаПусть в ( D ) задана непрерывная функция( D)P( x , y ) , имеющая в ( D ) непрерывную частную производнуюдвойной интегралI=∂P. Рассмотрим∂y∂P∫∫ ∂y dxdy .(D )Мы знаем, что этот двойной интеграл выражается через повторный интегралследующим образом:by =ψ( x )ay =ϕ ( x )I = ∫ dx∫∂Pdy ⇒∂yb[y=ψ( x )]I = ∫ P( x , y ) y = ϕ( x ) dx =abbbaaa= ∫ [ P( x , ψ ( x )) − P( x , ϕ ( x ))] dx = ∫ P( x , ψ ( x )) dx − ∫ P( x , ϕ ( x )) dx .Ноb∫ P( x, ψ( x )) dx = ∫ P( x, y ) dx = − ∫ P( x, y ) dx ,a( A′ B ′( B′A′bПоэтому∫ P( x, ϕ ( x )) dx = ∫ P( x, y ) dx .a( ABI = − ∫ P( x , y ) dx − ∫ P( x , y ) dx . Так как∫ P( x, y ) dx = 0( B ′ A′( AB( BB′∫ P( x, y ) dx = 0 , то можем написать( A′ AI=−∫ P dx − ∫ P dx − ∫ P dx − ∫ P dx = − ∫ P( x, y ) dx .( AB ( BB′ ( B′A′ ( A′A(K )Таким образом, получили72и∂P∫∫ ∂y dxdy = −(D )∫ P( x, y ) dx .(2)(K )Замечание.

Формула (2) установлена для области типа I, но она верна и тогда, когда область ( D ) прямыми, параллельными оси Oy , может быть разложена на конечное число областей типа I (рис. 3.15).В самом деле, для каждой области типа I, на которые разложена область( D ) , пишем формулу (2), а затем складываем соответствующие части полученных соотношений. Так как криволинейные интегралы по вспомогательнымпрямым линиям равны нулю, то получим формулу (2), в которой ( D ) – вся область, а ( K ) – контур всей этой области.yy(D3)d(D1)A′B′x =α( y )(D2 )x(D)Acx =β( y )BxРис. 3.16.

К выводу формулы ГринаРис. 3.15. К выводу формулы ГринаII. Пусть ( D ) – область, ограниченная замкнутым контуром ( K ) , и пустьтеперь ( K ) состоит из отрезков прямых y = c , y = d ( c < d и из кривых, заданных уравнениями: x = α( y ) , x = β ( y ) , где α( y ) и β ( y ) – функции, непрерывные на [c, d ] и такие, что α( y ) < β ( y ) , y ∈[c, d ] (рис. 3.16). Такую область( D ) будем называть областью типа II.Пусть в ( D ) задана непрерывная функция Q( x , y ) , имеющая в ( D ) непрерывную частную производную∂Q.

Рассмотрим двойной интеграл∂x∂Qdxdy .I = ∫∫∂x(D )Мы знаем, что этот интеграл выражается через повторный интеграл следующимобразом:dx =β ( y )cx =α ( y )dI = ∫ dy∫∂Qdx ⇒∂xd[x =β( y )]I = ∫ Q( x , y ) x =α ( y ) dy =cd= ∫ Q(β ( y ), y ) dy − ∫ Q(α( y ), y ) dy .cc73Ноd∫ Q(β ( y ), y ) dy = ∫ Q( x, y ) dy ;c( BB′dПоэтому∫ Q(α( y ), y ) dy = ∫ Q( x, y ) dy = − ∫ Q( x, y ) dy .c( AA′( A′AI = ∫ Q( x , y ) dy + ∫ Q( x , y ) dy . Так как∫ Q( x, y ) dy = 0( BB′( A′ A( ABи∫ Q( x, y ) dy = 0 , то можем написать( B′A′∫ Q( x, y ) dy + ∫ Q( x, y ) dy + ∫ Q( x, y ) dy + ∫ Q( x, y ) dy = ∫ Q( x, y ) dy .( AB( BB′( B′A′( A′A(K)I=Таким образом, получили:∂Q∫∫ ∂x dxdy =(D )∫ Q( x, y ) dy .(3)(K )Замечание.

Формула (3) верна и тогда, когда область ( D ) прямыми, параллельными оси Ox , разлагается на конечное число областей типа II. Это устанавливается совершенно аналогично тому, как это сделано в предыдущем замечании.Пусть область ( D ) такая, что она прямыми линиями, параллельными осиOy , разлагается на конечное число областей типа I, а прямыми, параллельнымиоси Ox – на конечное число областей типа II. Пусть в ( D ) заданы функцииP( x , y ) , Q( x , y ) , непрерывные там вместе с частными производными∂Pи∂y∂Q. Тогда верны одновременно формулы (2) и (3).

Вычитая из формулы (3)∂xсоответствующие части формулы (2), получим ∂Q∂P ∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy .(K )(4)(D )(4) – формула Грина. Она преобразует криволинейный интеграл второго рода по замкнутому самонепересекающемуся контуру в двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.Определение 1.1. Область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром, называется односвязной.742.

Область, ограниченная замкнутым самонепересекающимся контуром( K1 ) и ( n − 1) замкнутыми самонепересекающимися контурами ( K 2 ) , ( K3 ) ,K , ( K n ) , лежащими внутри ( K1 ) и вне друг друга, называется n -связной.Теорема. Формула Грина ∂Q∂P ∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy(K )(5)(D )верна и для многосвязной области, если под контуром ( K ) понимать объединение всех контуров ( K1 ) , ( K 2 ) , K , ( K n ) , ограничивающих область ( D ) , причем направление интегрирования такое, что наблюдатель, обходящий контур( K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной ( K ) , слева от себя (система координат предполагается правой).( K 3)(K 2 )(K )(K1)Односвязная областьТрехсвязная областьy( K 3)(K 2 )A2B2A1B3B1A3(K1)xРис.

3.17. К выводу формулы Грина для многосвязных областейРассмотрим для простоты трехсвязную область ( D ) . Возьмем на ( K1 )точки A1 и B1 ; на ( K 2 ) – точки A2 и B2 ; на ( K3 ) – точки A3 и B3 . Проведемлинии: A1A2 ; B2 A3 ; B3 B1 . Тогда область ( D ) разобьется на две односвязные области. Написав формулу Грина для каждой из этих двух односвязныхобластей и сложив результаты, мы получим формулу (5). (По каждой вспомогательной кривой: A1A2 , B2 A3 , B3 B1 интегрирование ведется дважды в двухпротивоположных направлениях.

Следовательно, криволинейные интегралы повспомогательным кривым взаимно уничтожаются.)((((((75§4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла второго родаот пути интегрированияПусть ( D ) – область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром ( K ) (значит, ( D ) – односвязная область). Пусть в ( D ) заданыдве непрерывные функции P( x , y ) и Q( x , y ) .Будем говорить, что функции P( x , y ) иyQ( x , y ) образуют в ( D ) пару типа « α », если( K)криволинейныйинтегралвторогорода(D)A∫ P dx + Q dy ,( AB( AB , целикомBвзятый по незамкнутому путилежащему в ( D ) , не зависит отформы пути (а зависит только от концов пути).Рис. 3.18. К определениюБудем говорить, что функции P( x , y ) иинтеграла, не зависящего отQ( x , y ) образуют в ( D ) пару типа « β », если дляформы путил ю б о г о замкнутого самонепересекающегося контура ( C ) , целиком лежащего в ( D ) , оказывается:yx( K)( D) I∫ P dx + Q dy = 0 .(C)CBЛемма 1. Если функции P( x , y ) и Q( x , y ) обIIx разуют в области ( D ) пару типа « α », то они образуют в ( D ) также и пару типа « β ».Рис.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)