Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Так какf ( x , y ) ∈ C( D ) , то f ( x , y ) ∈ R( D ) . Тогда по теореме о среднем значении∫∫ f ( x, y ) dF = µ ⋅ F , где m ≤ µ ≤ M . Значения m иM функция f ( x , y ) при-(D )нимает в ( D ) . Если же m < µ < M , то по теореме о промежуточном значениидля функции f ( x , y ) ∈ C( D ) заключаем: в области ( D ) обязательно найдетсяхотя бы одна точка ( ξ, η) такая, что будет f ( ξ, η) = µ , а значит, и в этом случае∫∫ f ( x, y ) dF = f ( ξ, η) ⋅ F .(D )10°. Если функция f ( x , y ) ∈ R( D ) , то и функция f ( x , y ) ∈ R( D ) , причем∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫(D )f ( x , y ) dF .(D )По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) ⇒f ( x , y ) – ограниченная в ( D ) , т.
е. существует число L > 0 такое, что f ( x , y ) ≤ L в ( D ) . Последнее означает, что34функцияf ( x, y )– ограниченная в ( D ) . Следовательно, существуют~~ = inf { f ( x , y ) } , Mm = inf { f ( x , y )} , M = sup{ f ( x , y )} , m= sup{ f ( x , y ) } , а(D )(D )(D )(D )~ ~ ~( Ω – колебание функциизначит, существуют Ω = M − m и Ω = M − m~~f ( x , y ) в ( D ) , а Ω – колебание f ( x , y ) в ( D ) ). Легко понять, что Ω ≤ Ω .Возьмем произвольное разбиение области ( D ) сетью простых кривых на~ – колебаниечасти ( Dk ) , k = 1, n . Пусть ω k – колебание f ( x , y ) в ( Dk ) , а ωk~~f ( x , y ) в ( Dk ) .
Имеем 0 ≤ ω k ≤ ω k , k = 1, n ⇒ 0 ≤ ω k Fk ≤ ω k Fk , k = 1, n .Следовательно,nn~ F ≤ ω F .0 ≤ ∑ω∑ k kk kk =1Так как f ( x , y ) ∈ R( D ) , то limλ→0(2)k =1n∑ ω k Fk = 0 . Тогда из (2) заключаем, чтоk =1n~ F = 0 . Последнее означает, что f ( x , y ) ∈ R( D ) . Имеем, далее,lim ∑ ωk kλ→0k =1nnk =1k =1∑ f ( xk , yk ) Fk ≤ ∑ f ( xk , yk ) Fk ,т. е. σ( f ) ≤ σ(| f |) . Переходя в последнем неравенстве к пределу при λ → 0 ,получим∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫(D )f ( x , y ) dF .(D )35§5.
Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной областиПустьограниченнаяфункцияf ( x, y )заданавпрямоугольникеa ≤ x ≤ b,(P ) = c ≤ y ≤ d .1) Пусть при каждом закрепленном y из [c, d ] функция f ( x , y ) интегрируема на [a , b] , т. е. при каждом закрепленном y из [c, d ] существуетbb∫ f ( x, y ) dx . Следовательно, ∫ f ( x, y ) dxaментаy,представляет собой функцию аргу-aзаданнуюнапромежутке[c, d ] .Станемобозначатьb∫ f ( x, y ) dx = ϕ ( y ) ,y ∈[c, d ] .Допустимтеперь,чтоэтафункцияadbdbϕ( y ) ∈ R([c, d ]) .
Тогда ∫ ϕ ( y ) dy = ∫ ∫ f ( x , y ) dx dy = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx назыccacaвается повторным интегралом от функции f ( x , y ) в ( P ) .2) Допустим еще, что при каждом закрепленном x из [a, b] существуетdd∫ f ( x, y ) dy . Ясно, что каждомуx из [a, b] будет отвечать свое, вполне опре-cdделенное значение интегралаd∫ f ( x, y ) dy . Следовательно, ∫ f ( x, y ) dycпред-cставляет собой функцию аргумента x , определенную на промежутке [a, b] .dСтанем обозначать∫ f ( x, y ) dy = ψ( x ) ,x ∈[a, b]. Допустим, что эта функцияcbdψ ( x ) ∈ R([a, b]) .
Тогда ∫ ψ ( x ) dx = ∫ ∫ f ( x , y ) dy dx = ∫ dx ∫ f ( x , y ) dy назыaacacвается еще одним повторным интегралом от функции f ( x , y ) в ( P ) .b36bdТеорема 1. Если у ограниченной функции f ( x , y ) , заданной в прямоугольнике(P ),существуютодновременноIдв. =∫∫ f ( x, y ) dxdyи(P)dbcaIповт. = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx , то они равны, т. е.
Iдв. = Iповт ..y( Pik )dy k +1ykcxxi xi+1abРис. 2.4. К вычислению двойного интегралав случае прямоугольной областиРазобьем ( P ) отрезками прямых x = xi ( i = 0, 1, 2, K , n , x0 = a , x n = b ),y = y k ( k = 0, 1, 2, K , m , y0 = c , y m = d ), на частичные прямоугольники xi ≤ x ≤ xi +1,( Pik ) = Пусть y k ≤ y ≤ yk +1.M ik = sup{ f ( x , y )} .
Значит, если точка ( x , y ) ∈( Pik ) , то( Pik ) ,гдеmik = inf { f ( x , y )} ,( Pik )( Pik )mik ≤ f ( x , y ) ≤ M ik .(1)Возьмем любое y из [ y k , y k +1 ] и закрепим его. Сделав это, проинтегрируемнеравенство (1) по x от xi до xi +1 . Получимmik ( xi +1 − xi ) ≤xi +1∫ f ( x, y ) dx ≤ Mik ( xi+1 − xi ) .(2)xixi +1Интеграл∫ f ( x, y ) dx существует, так как существует по условию Iповт ., а этоxiзначит, что при любом закрепленном y из [c, d ] f ( x , y ) ∈ R([a, b]) ; тем болееf ( x , y ) ∈ R([ xi , xi +1 ]) . Просуммируем неравенства (2) по значку i от 0 до n −137(во всех этих неравенствах считаем y одним и тем же, взятым из [ y k , y k +1 ] ).Будем иметьbn −1n −1∑ mik ( xi+1 − xi ) ≤ ∫ f ( x, y ) dx ≤ ∑ Mik ( xi+1 − xi ) .i=0(3)i=0aПроинтегрируем неравенство (3) по y от y k до y k +1 .
Получимn−1yk +1i =0yk∑ mik( xi+1 − xi )( yk +1 − yk ) ≤ ∫bn−1ai =0dy ∫ f ( x, y ) dx ≤ ∑ Mik ( xi+1 − xi )( yk +1 − yk ) . (4)Просуммируем неравенства (4) по значку k от 0 до m −1 . Будем иметьm−1n −1dbk =0 i=0cay k +1 − y k ) ≤ ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx ≤∑ ∑ mik (1xi444+1 − xi )(24443= Fik1444442444443m−1n −1=s≤ ∑ ∑ M ik ( xi +1 − xi )( yk +1 − yk ) ⇔ s ≤ Iповт .
≤ S .144424443k =0 i=0= Fik1444442444443Таккакs ≤ Iдв. ≤ S ,=S−( S − s ) ≤ Iповт . − Iдв. ≤ ( S − s ) ,тот. е.Iповт . − Iдв. ≤ S − s . По условию, Iдв. существует ⇒ lim ( S − s ) = 0 . Следовательно, Iповт . − Iдв. = 0 ⇒ Iдв. = Iповт ..λ→0Замечание. Совершенно аналогично устанавливается:Если у ограниченной функции f ( x , y ) , заданной в прямоугольнике ( P ) ,существуют одновременно Iдв.
=∫∫(P)~Iдв. = Iповт ..ϕ( y ) ∈ C([c, d ]) .dacf ( x , y ) определена и непрерывна вТеорема 2. Пусть функцияa ≤ x ≤ b,(P ) = c ≤ y ≤ d .b~f ( x , y ) dxdy и Iповт . = ∫ dx ∫ f ( x , y ) dy , тоbПустьϕ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx ,y ∈[c, d ] . Тогда функцияaЭта теорема была доказана ранее. См. главу 1, §3. О непрерывности интеграла как функции параметра.Замечание. Совершенно аналогично устанавливается справедливость утверждения:38dПусть f ( x , y ) ∈ C( P ) и пусть ψ( x ) =∫ f ( x, y ) dy ,x ∈[a, b]. Тогда функ-cция ψ( x ) ∈ C([a, b]) .Следствие.
Если функция f ( x , y ) определена и непрерывна в ( P ) , то суdbbdcaac~ществуют Iповт . = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx и Iповт . = ∫ dx ∫ f ( x , y ) dy .bДействительно,вэтомϕ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx ∈ C([c, d ]) ,случаеаadψ( x ) = ∫ f ( x , y ) dy ∈ C([a, b]) .Следовательно,ϕ( y ) ∈ R([c, d ]) ;cdbca~ψ( x ) ∈ R([a, b]) , т. е. ∫ ϕ ( y ) dy = Iповт . и ∫ ψ( x ) dx = Iповт . существуют.Ранее (см. §3, теорема 2) было доказано, что если f ( x , y ) ∈ C( P ) , тоf ( x , y ) ∈ R( P ) , т. е. существует Iдв.
=∫∫ f ( x, y ) dxdy .(P)Таким образом, приходим к выводу: если f ( x , y ) ∈ C( P ) , то существуют~одновременно Iдв. , Iповт ., Iповт .. А тогда по теореме 1 настоящего параграфа,получаем, что Iдв. = Iповт ., т. е.db∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .~и Iдв. = Iповт ., т. е.(P )cabd∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy .(P )Пример 1. Вычислить I =a(5)(6)c3 ≤ x ≤ 4,dxdy,где()P=∫∫ ( x + y )21 ≤ y ≤ 2.(P )24dxdydx= ∫ dy ∫По формуле (5) имеем ∫∫. Находим сначала22(x + y)(x + y)(P )13внутренний интеграл:394x =4dx111∫ ( x + y )2 = − x + y x = 3 = y + 3 − y + 4 .3А тогда2y =2dxdy5425 1 − 1 dy = ln y + 3== ln − ln = ln .∫∫ ( x + y )2 ∫ y + 3 y + 4y + 4 y =16524(P )1Пример 2.
Вычислить I =0 ≤ x ≤ 1,y dxdy,где()P=∫∫ (1 + x 2 + y 2 )3 20 ≤ y ≤ 1.(P)Здесь для вычисления I удобнее воспользоваться формулой (6), т. е. взятьвнешнее интегрирование по x , а внутреннее – по y . Будем иметь:11y dy. Находим внутренний интеграл:22 32+x+y(1)0I = ∫ dx ∫01y dy1=−∫ (1 + x 2 + y 2 )3 21 + x2 + y20А тогдаy =11=2x +1y =0−12x +2.x =11 1x + x2 +11 1+ 22+ 2I =∫−.= ln+ ln 2 = ln dx = ln2221313++xx122x+x+++0x =0Замечание. Если вычислять I по формуле (5), то квадратуры окажутся более сложными.
В самом деле, будем иметь: I =1100dx∫ y dy ∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 . Нахо-дим внутренний интеграл:x =11dx1∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 = 1 + y 2 ⋅0x1 + x2 + y2=x =011⋅.221+ y2+ yА тогда12 + y2 −1y =1113 −1 12 −1== ln− ln= ln222222++31212 + y + 1 y =00 (1 + y ) 2 + yy dyI=∫1= ln240(()(3 + 1)(3 −1) = 1 ln (2 − 1) 22 +1)(3 −122)2 +12= ln2+ 2.1+ 3§6. Вычисление двойного интеграла в случае криволинейной областиПусть ограниченная функцияf ( x , y ) задана в области ( D ) , ограyниченной линиями: y = c , y = d d( c < d ) и x = α( y ) ; x = β( y ) , гдеα( y ) , β( y ) – функции, непрерывныена промежутке [c, d ] и такие, чтоα( y ) ≤ β ( y ) , y ∈[c, d ] .cОпределение.
Пусть при каждомx = α( y )закрепленном y из [c, d ] существуетβ( y)∫β( y)f ( x , y ) dx . Тогдаα( y )∫(D )x =β( y )xРис. 2.5. К определению повторногоинтеграла от функции f ( x , y )f ( x , y ) dxα( y )в области ( D )представляет собой функцию аргумента y , определенную на промеβ( y )= ϕ( y) ,∫ f ( x, y ) dx обозн.жутке [c, d ] , т. е.y ∈[c, d ] . Если эта функция ϕ( y )α( y )оказываетсяdинтегрируемой[c, d ] ,промежуткетоβ( y )d∫ ϕ ( y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dxcнаназывается повторным интегралом от функцииα( y )cf ( x , y ) в области ( D ) .Теорема 1.
Если у ограниченной функции f ( x , y ) , заданной в области ( D ) ,существуютодновременнообаинтеграла:Iдв. =∫∫ f ( x, y ) dxdyи(D )dβ( y )cα( y )Iповт. = ∫ dy∫ f ( x, y ) dx , то они равны, т. е. Iдв. = Iповт. .По условию α( y ) и β( y ) – функции, непрерывные на [c, d ] . Значит, они– ограниченные на [c, d ] . Следовательно, найдутся числа a и b такие, что будет:a < α( y ) ≤ β ( y ) < b ,y ∈[c, d ] .Построимпрямоугольникa ≤ x ≤ b,(P ) = Ясно, что ( D ) ⊂ ( P ) .
Введем в рассмотрение вспомогатель≤≤.cydную функцию g( x , y ) , определив ее в прямоугольнике ( P ) следующим образом:41ydx =α( y ) f ( x , y ) в ( D ),g( x, y ) = 0 в ( P ) \ ( D ).Покажем, что у функции g( x , y ) в ( P ) сущест-x =β( y )(D )вуютycобаинтеграла*Iдв.=∫∫ g( x, y ) dFи(P)xab*Iповт.Рис. 2.6. К доказательствутеоремы 1dbca= ∫ dy ∫ g ( x , y ) dx .g( x , y ) ∈ R( D ) , ибо в(D )g( x, y ) ≡ f ( x, y ) .Крометого,g( x , y ) ∈ R(( P ) \ ( D )) , ибо g( x , y ) = 0 всюду в ( P ) \ ( D ) , за исключением,быть может, множества точек, лежащих на двух простых кривых: x = α( y ) иx = β( y ) , y = [c, d ] (мы знаем, что существование и величина двойного инте1) Действительно,грала не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функций вдольконечного числа простых кривых). Значит,g( x , y ) ∈ R( P ) , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
