Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Эти числамогут быть положительными, отрицательными и равными нулю.3. Каждое вычисленное значение функции f ( x k , y k , z k )→умножаем на проекцию соответствующего звена ломаной на ∆lkось Ox . Получим f ( x k , y k , z k ) ⋅ ∆ x k , k = 0, 1, 2, K , n − 1.4. Складываем все такие произведения. Получаем суммуAk +1n −1σ = ∑ f ( x k , y k , z k ) ⋅ ∆ x k ( σ – интегральная сумма).k =0((5. Измельчаем дробление AB на части Ak Ak +1 так,чтобы λ → 0 , и ищем lim σ . Если существует конечныйλ →0I = lim σ и этот предел не зависит ни от способа разбиенияλ→0AkРис. 3.6. Копределениюкриволинейногоинтегралавторого рода( AB на части ( Ak Ak +1 , ни от выбора точки ( xk , yk , zk ) на ( Ak Ak +1 , то этотпредел называется криволинейным интегралом второго рода от функцииf ( x , y , z ) по кривой( AB (по x ) и обозначается ∫ f ( x, y, z ) dx .( ABЗамечания.1.
Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при перемене направления линии, по которой производится интегрирование, т. е.∫ f ( x, y, z ) dx = − ∫ f ( x, y, z ) dx .( AB( BA→ломаной ∆ lkЭто ясно, ибо проекции звеньевна ось Ox существенно зависятот направления Ak Ak +1 и меняют знак с изменением этого направления наобратное.(→2. Если звенья ∆ lk направленной ломаной проектировать на ось Oy , то получим криволинейный интеграл второго рода от функции f ( x , y , z ) по AB(по y ):(n −1∑ f ( xk , yk , zk ) ∆ yk .∫ f ( x, y, z ) dy = λlim→0( AB→∆ lkk =03.
Если звеньянаправленной ломаной проектировать на ось Oz , то получим криволинейный интеграл второго рода от функции f ( x , y , z ) по AB(по z ):(63n −1∑ f ( xk , yk , zk ) ∆ zk .∫ f ( x, y, z ) dz = λlim→0k =0( AB4. Если на кривой ( AB определены три функции P( x , y , z ) , Q( x , y , z ) ,R( x , y , z ) и если существуют интегралы ∫ P( x , y , z ) dx , ∫ Q( x , y , z ) dy ,( AB( AB∫ R( x, y, z ) dz , то их сумму называют криволинейным интегралом второго ро-( ABда («общего вида») и полагают∫ P( x, y, z ) dx + Q( x, y, z ) dy + R( x, y, z ) dz ==( AB∫ P( x, y, z ) dx + ∫ Q( x, y, z ) dy + ∫ R( x, y, z ) dz .( AB( AB( ABЗдесь также изменение направления интегрирования меняет знак интеграла.2°.
Существование и вычисление криволинейного интеграла второгорода.Теорема. x = ϕ ( t ),1. Пусть кривая ( AB задана параметрическими уравнениями y = ψ ( t ), z = ω ( t ),где ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t ) – функции, заданные и непрерывные на промежутке[a, b] . Кроме того, у функции ϕ( t ) на [a, b] существует непрерывная производная ϕ ′( t ) . Пусть (ϕ ( a ), ψ ( a ), ω ( a )) = A , (ϕ ( b), ψ ( b), ω ( b)) = B , причемA ≠ B , т. е.
кривая ( AB – незамкнутая. Пусть точки (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) следуют друг за другом на ( AB именно в том порядке, в каком соответствующиезначения t следуют друг за другом на [a, b] .2. Пусть функция f ( x , y , z ) , заданная на ( AB , непрерывна там.Тогда I =∫ f ( x, y, z ) dxсуществует и выражается обыкновенным опреде-( ABленным интегралом по формулеb∫ f ( x, y, z ) dx = ∫ f (ϕ ( t ), ψ( t ), ω ( t )) ⋅ ϕ′( t ) dt .( AB64a(1)Замечания.b1. Интеграл I* =∫ f (ϕ ( t ), ψ (t ), ω (t )) ⋅ ϕ′( t ) dtсуществует, ибо подынте-aгральная функция в нем непрерывна на [a, b] .2. Нижний предел в I* должен отвечать началу пути интегрирования в I , аверхний предел – концу пути интегрирования.Составим интегральную сумму σ для I .
Для этого надо разбить ABточками Ak ( x k , y k , z k ) на частичные дуги Ak Ak +1 , k = 0, 1, 2, K , n − 1( A0 = A , An = B ). Такое разбиение можно осуществить, если разбить промежуток [a, b] произвольным образом точками t0 = a < t1 < t2 < K < t n = b и положить Ak (ϕ ( t k ), ψ ( t k ), ω ( t k )) , k = 0, 1, 2, K , n . Затем на каждой дуге Ak Ak +1надо взять произвольную точку ( x k , y k , z k ) . Это можно сделать так: на каждомчастичном промежутке [t k , t k +1 ] взять произвольную точку θ k и положитьxk = ϕ (θ k ) , y k = ψ ( θ k ) , z k = ω (θ k ) .
Тогда получим(((σ=n −1n −1k =0k =0∑ f ( xk , yk , zk )( xk +1 − xk ) = ∑ f (ϕ (θ k ), ψ(θk ), ω (θ k ))(ϕ ( tk +1 ) − ϕ (tk )) .По формуле Лагранжа ϕ ( t k +1 ) − ϕ ( t k ) = ϕ ′( τ k )( t k +1 − t k ) , где τ k ∈[t k , t k +1 ] .Поэтому σ =n −1∑ f (ϕ (θk ), ψ(θ k ), ω (θ k )) ⋅ ϕ′( τ k )∆ tk . Видим, что эта сумма по-k =0хожа на интегральную сумму Римана для определенного интеграла I* , но таковой не является, ибо, вообще говоря, θ k ≠ τ k .Составим сумму σ* =n −1∑ f (ϕ ( τ k ), ψ( τ k ), ω ( τ k )) ⋅ ϕ′( τ k )∆ tk .Это уже на-k =0стоящая интегральная сумма Римана для I* . Было отмечено выше, что интегралI* существует, и потому σ* → I* при λ* → 0 ( λ* = max {∆ tk } ).
Отметим,k = 0, n −1что λ → 0 , если λ * → 0 .Рассмотрим очевидное равенствоσ = σ* + ( σ − σ* ) .(2)Из (2) видим, что теорема будет доказана, если показать, чтоlim ( σ − σ* ) = 0 .λ* →0( λ→0 )65Имеемσ − σ* =n −1∑ [ f (ϕ (θ k ), ψ(θ k ), ω (θk )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), ω ( τ k ))] ⋅ ϕ ′( τ k )∆ tk .k =0По условию ϕ ′( t ) ∈ C([a, b]) ⇒ ϕ ′( t ) – ограниченная в [a, b] , т. е. существуетчисло M > 0 такое, что ϕ ′( t ) ≤ M для всех t ∈[a, b].
Поэтомуn −1σ − σ* ≤ M ⋅ ∑ f (ϕ ( θ k ), ψ (θ k ), ω (θ k )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), ω ( τ k )) ⋅ ∆ t k .k =0Функция f (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ∈ C([a, b]) как суперпозиция непрерывных функ-ций ⇒ f (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) – равномерно непрерывная в [a, b] . Значит, всякомуε > 0 (сколь угодно малому) отвечает δ > 0 такое, что для любых двух точек t ′и t ′′ из [a, b] , для которых t ′′ − t ′ < δ , будетf (ϕ ( t ′′ ), ψ ( t ′′ ), ω ( t ′′ )) − f (ϕ ( t ′ ), ψ ( t ′ ), ω ( t ′ )) < ε .Возьмем дробление промежутка [a, b] на части [t k , t k +1 ] любым, но таким, чтоλ* < δ . У нас θ kиτ k ∈[t k , t k +1 ] .
Следовательно,бы былоθ k − τ k ≤ t k +1 − t k ≤ λ* < δ , для любого k = 0, 1, 2, K , n − 1. А тогда для любого k = 0, 1, 2, K , n − 1 будем иметьf (ϕ ( θ k ), ψ (θ k ), ω (θ k )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), ω ( τ k )) < ε .Следовательно, σ − σ* < Mn −1∑ ε ⋅ ∆ tk⇒k =0σ − σ* < ε ⋅ M ⋅ ( b − a ) .(3)Отметим, что число ε ⋅ M ( b − a ) сколь угодно мало вместе с ε . Так как длядостижения неравенства (3) потребовалось лишь, чтобы было λ * < δ , то заключаем, что lim ( σ − σ* ) = 0 , а значит, lim ( σ − σ* ) = 0 .λ→0λ* →0y(BAOaxbРис.
3.7. К частному случаю IЧастные случаи.I. 1) Пусть кривая AB плоская, заданнаяявным уравнением y = ϕ( x ) , где функцияϕ( x ) , определенная и непрерывная на промежутке [a, b] , причем a – абсцисса точкиA , а b – абсцисса точки B .2) Пусть функция f ( x , y ) определена инепрерывна на кривой AB .Тогда(∫ f ( x, y ) dx существует, и( AB66byf ( x , y ) dx = ∫ f ( x , ϕ ( x )) dx .∫( AB( ABBaII.
Пусть– прямолинейный отрезок, расположенный в плоскости Oxy и перпендикулярный к оси∫ f ( x, y ) dx существует для любой функции( ABопределеннойна( AB , причемOx . Тогдаf ( x, y ) ,∫ f ( x, y ) dx = 0 .( ABAxOРис. 3.8. К частномуслучаю II3°. Механический смысл криволинейного интеzграла второго рода.rBМеханический смысл криволинейного интеF(xk , yk , zk )грала второго рода вытекает из решения следующей задачи.Ak +1Задача. Материальная точка перемещаетсяAпо кривой AB из точки A в точку B под дейyAkствиемrпеременной по величине и направлениюrсилы F ( x , y , z ) .
Требуется найти работу F накриволинейном пути AB .xРазбиваем путь AB на столь малые частиРис. 3.9. К решению задачиAk Ak +1 , чтобы каждую такую часть можно((((rбыло считать приближенно прямолинейной, а силу F ( x , y , z ) , в пределах этойчасти, считатьr приближенно постоянной по величине и направлению. Тогда работа силы F ( x , y , z ) на элементарном участке Ak Ak +1 приближенно будет(r→равна: F ( xk , y k , z k ) ⋅ ∆ lk . НоrrrrF ( xk , y k , z k ) = Fx ( x k , y k , z k ) ⋅ i + Fy ( x k , yk , z k ) ⋅ j + Fz ( x k , yk , z k ) ⋅ k ,rrr→∆ lk = ∆ x k ⋅ i + ∆ y k ⋅ j + ∆ z k ⋅ k .Поэтомуr→F ( xk , y k , z k ) ⋅ ∆ lk = Fx ( xk , y k , z k )∆ xk + Fy ( x k , y k , z k )∆ yk + Fz ( x k , y k , z k )∆ z k .rСледовательно, работа силы F на всем пути ( AB приближенно будет равна:n −1∑ ( Fx ( xk , yk , zk )∆ xk + Fy ( xk , yk , zk )∆ yk + Fz ( xk , yk , zk )∆ zk ) .(4)k =0Пределсуммы (4) при λ → 0 будет давать точное значение работы силыrF ( x , y , z ) на пути AB .
А этим пределом является(67∫ Fx ( x, y, z ) dx + Fy ( x, y, z ) dy + Fz ( x, y, z ) dz .( ABТаким образом, всякий криволинейный интеграл второго рода:∫ P( x, y, z ) dx + Q( x, y, z ) dy + R( x, y, z ) dz( ABможно истолковать как работу, которую производит сила с проекциямиP, Q, R на оси Ox , Oy , Oz соответственно, по перемещению материальнойточки по пути AB из точки A в точку B .Примеры на вычисление криволинейных интегралов второго рода.1. Вычислить I =( x + y ) dx + 2 z dy + xy dz , где AB – линия, заданная((∫( ABx = t,уравнениями y = t 2 , причем точка A соответствует значению параметраz = 3 − t,t = 1, а точка B – значению параметра t = 2 .222I = ∫ ( t + t ) dt + ∫ 2(3 − t ) ⋅ 2t dt + ∫ t 3 ⋅ ( − dt ) =2112.
Вычислить I =∫ (x212235.42+ y ) dx + ( x − y ) dy , где ( l ) – кривая, заданная(l )y1x12Рис. 3.10. К примеру 2y = 2 − x , x ∈[1, 2] .I = I1 + I2 , гдеI1 =∫ (x2уравнением: y = 1 − 1 − x , x ∈[0, 2] . Интегрирование вдоль ( l ) ведется в направлении, соответствующем возрастанию параметра.Имеем:y = 1 − (1 − x ) ⇒ y = x , x ∈[0, 1] ;y = 1 + (1 − x ) ⇒ y = 2 − x , x ∈[1, 2] ;( l ) = ( l1 ) U ( l2 ) , где ( l1 ) : y = x , x ∈[0, 1] , ( l2 ) :+ y 2 ) dx + ( x 2 − y 2 ) dy , I2 =( l1 )На ( l1 ) : y = x , dy = dx , x ∈[0, 1] .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
