Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3.19. К доказательствуПусть P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « α » влеммы 1( D ) . Возьмем в ( D ) любой замкнутый самонепересекающийся контур ( C ) . Выберем и закрепимна ( C ) любые две точки A и B . Эти точки разобьют ( C ) на две дуги: A I B иA II B . Имеем:A((∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy + ∫ P dx + Q dy =( A II BC=(BI A∫ P dx + Q dy − ∫ P dx + Q dy .( A II B( AI BУ нас P и Q – пара типа « α » в ( D ) . Поэтому∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .( A II B76( AI B(1)yА тогда из (1) следует, что( K)∫ P dx + Q dy = 0 . ТакCкак ( C ) – любой замкнутый самонепересекаюBIщийся контур, лежащий в ( D ) , то последнее ознаAчает, что P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » вIIx( D) .Лемма 2.
Если функции P( x , y ) и Q( x , y ) обРис. 3.20а. К доказательствулеммы 2разуют в области ( D ) пару типа « β », то они образуют в ( D ) также и пару типа « α ».Пусть P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) . Возьмем в ( D ) любыедве точки A и B и соединим их двумя различными линиями: A I B и A II B ,целиком лежащими в ( D ) . Лемма 2 будет доказана, если показать, что(D)((∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .( AI B(2)( A II BУстановим соотношение (2) в следующих двух простых случаях.1) Линии A I B и A II B не имеют других общих точек, кроме точек A иB (см. рис. 3.20а). В этом случае наши линии образуют замкнутый самонепересекающийся контур.
Так как функции P и Q – пара типа « β » в ( D ) , то((∫ P dx + Q dy = 0y⇒( A II B I A⇒∫ P dx + Q dy + ∫ P dx + Q dy = 0⇒∫ P dx + Q dy − ∫ P dx + Q dy = 0⇒( A II B⇒( A II B⇒(D)A(BI A( AI BIIIBIIIxРис. 3.20б. К доказательствулеммы 2∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .( A II B(K)( AI BВидим, что соотношение (2) в этом случае установлено.2) Линии A I B и A II B кроме точек A и B имеют еще и другие общиеточки, но существует линия A III B , которая пересекается с ними только вточках A и B (см. рис. 3.20б). Тогда, по доказанному в случае 1), имеем:(((∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy,( AI Bа значит, и( A III B∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy ,( A II B( A III B∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .( AI B( A II BВидим, что соотношение (2) установлено и в этом случае.773) В более сложных случаях утверждение леммы 2Bпринимаем без доказательства.
Рис. 3.20в – пример какIраз того случая, который не подходит ни к 1), ни к 2).AСледствие. Свойство пар функций иметь в областиII( D ) тип « α » равносильно свойству иметь тип « β ».Теорема. Пусть в о д н о с в я з н о й о б л а с т и ( D ) задаРис. 3.20в. К лемме 2ны функции P( x , y ) и Q( x , y ) . Пусть P( x , y ) , Q( x , y )∂P ∂Qи.∂x∂yТогда для того, чтобы функции P( x , y ) и Q( x , y ) были парой типа « β » (а значит, и парой типа « α ») в ( D ) , необходимо и достаточно, чтобы всюду в ( D )∂P ∂Q.=было:∂y ∂xНеобходимость.
Дано: P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) . Требу∂P ∂Qется доказать, чтовсюду в ( D ) .=∂y ∂xРассуждаем от противного. Допустим, что соy(K)∂P ∂Qвыполняется не всюду вотношение=∂y ∂x(D)M0( D ) . Но тогда в ( D ) имеется точка M 0 ( x0 , y0 )(γδ) ∂Q − ∂P ≠ 0 . Пусть для опредеx такая, что ∂x ∂y ( • ) Mнепрерывны в ( D ) и имеют там непрерывные частные производныеРис. 3.21. К доказательствутеоремы0∂Q ∂P ∂Q − ∂P − > 0 . Так как ∂x ∂y ∂x ∂y ( • ) Mленности 0– функция непрерывная в ( D ) , то по теореме о стабильности знака существует∂Q ∂P−> 0 в uδ ( M 0 ) ( uδ ( M 0 ) –∂x ∂yзамкнутый круг радиуса δ с центром в точке M 0 ; ( γ δ ) – контур этого круга). ∂Q − ∂P ∈ C u ( M ) , то эта разность достигает в u ( M ) своегоТак как (δ 0)δ0 ∂x ∂y наименьшего m значения. Ясно, что m > 0 .uδ ( M 0 ) такая, что uδ ( M 0 ) ⊂ ( D ) и чтоПо формуле Грина имеем∫ P dx + Q dy =(γ δ)78∫∫( uδ ( M 0 )) ∂Q − ∂P dxdy ≥ m ⋅ ∂x ∂y ∫∫ dxdy = m ⋅ πδ( uδ ( M 0 ))2> 0,а это невозможно, ибо P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) .
Таким образом, предположение, что соотношение∂P ∂Q=выполняется не всюду в ( D ) ,∂y ∂xприводит к противоречию.∂P ∂Q=всюду в ( D ) . Требуется доказать, что∂y ∂xфункции P( x , y ) и Q( x , y ) образуют в ( D ) пару типа « β ».Возьмем л ю б о й замкнутый самонепересекающийся контур ( C ) , целикомлежащий в ( D ) . Пусть ( ∆ ) – область, ограниченная контуром ( C ) . По формулеДостаточность. Дано:Грина имеем ∂Q∂P ∫ P dx + Q dy = ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = 0( ∆ ) 14243=0 в ( ∆ )C∫ P dx + Q dy = 0⇒⇒⇒ функции P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) .Cy(K)y(∆)(C )(K1)(C )(K2)(D)xxРис. 3.22.
К доказательству теоремыРис. 3.23. К замечаниюЗамечание. Важно подчеркнуть, что доказанное утверждение верно при условии, что область ( D ) – о д н о с в я з н а я .Действительно, если бы область ( D ) была, например, двухсвязной с внешним контуром ( K1 ) и внутренним контуром ( K 2 ) (см. рис. 3.23), то для контура ( C ) , охватывающего контур ( K 2 ) , мы имели бы:∫ P dx + Q dy +( C ), обл. слева∫ P dx + Q dy =( K 2 ), обл.
слева ∂Q − ∂P dxdy = 0,∫∫ ∂x ∂y (∆)∂Q ∂P−= 0 всюду в ( D ) , а значит, и в ( ∆ ) ( ( ∆ ) – область, ограниченная∂x ∂yконтурами ( C ) и ( K 2 ) ). Значит,ибо∫ P dx + Q dy + ∫ P dx + Q dy = 0(C)( K2 )⇒∫ P dx + Q dy − ∫ P dx + Q dy = 0(C)⇒( K2 )79⇒∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy(C)( ≠ 0 , вообще говоря).( K2 )Значит, P( x , y ) и Q( x , y ) не есть пара типа « β » в ( D ) .yx, Q( x , y ) = − 2.
Эти функции опре2x +yx + y2делены и непрерывны на плоскости Oxy всюду, за исключением точки O( 0, 0) .Пример. Пусть P( x , y ) =2x2 − y2∂Qx2 − y2∂Q ∂P∂PИмеем== 2;= 2⇒всюду на плоско2222∂x ∂y∂y ( x + y ) ∂x ( x + y )сти Oxy , кроме точки O( 0, 0) . Значит, для любого замкнутого самонепересекающегося контура ( C ) , не охватывающего начала координат, будет:y dx − x dyPdx+Qdy=∫∫ x2 + y2 = 0 ,(C)(C)так как P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в области ( D ) , ограниченной контуром ( K ) (см. рис. 3.24).yy( K)(D)xO(C )x(C )(K2)R(K1)Рис.
3.24. К примеруРис. 3.25. К примеруПусть ( C ) – окружность радиуса R с центром в точке O( 0, 0) . ВычислимI=y dx − x dy∫ x 2 + y 2 . Параметрическими уравнениями ( C ) будут:(C) x = R cos t ,t ∈[0, 2π ] .y=Rsint,А тогда2π2π− R2 sin 2 t − R2 cos2 tI= ∫dt = − ∫ dt = −2π ( ≠ 0) .2R00P( x , y ) и Q( x , y ) в области ( D1 ) , ограниченной контуром ( K1 ) , не есть паратипа « β », ибо нарушена непрерывность в точке O( 0, 0) , расположенной внутри контура ( K1 ) . Если же выключить точку O( 0, 0) , окружив ее контуром80( K 2 ) (см. рис.
3.25), то условие непрерывности в области ( D2 ) , ограниченнойконтурами ( K1 ) и ( K 2 ) , будет иметь место, но нарушится односвязность.Дополнение.Пусть∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy( ABвыполненывсеусловиятеоремы,по любому незамкнутому путиазначит,( AB , целиком ле-жащему в ( D ) , не зависит от формы пути, а зависит только от концов пути.Пусть функция u ( x , y ) определена в ( D ) и такая, чтоP( x , y ) dx + Q( x , y ) dy = du ( x , y )(т. е. выражение P dx + Q dy является полным дифференциалом функцииu ( x , y ) ).
Тогда∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = u ( x B , y B ) − u ( x A , y A )( AB(здесь x A , y A – координаты точки A , а x B , y B – координаты точки B ).По условию P( x , y ) dx + Q( x , y ) dy = du ( x , y ) . Это значит, чтоP( x , y ) =∂u ( x , y )∂u ( x , y ); Q( x , y ) =.∂y∂xСледовательно,I=∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy =( AB∫( AB∂u ( x , y )∂u ( x , y )dx +dy .∂x∂yДля вычисления интеграла I введем параметрические уравнения x = ϕ ( t ),( AB . Пустьони такие: t ∈[ p, q] , причем значению t = p отвечает точка A , а y = ψ ( t ),значению t = q отвечает точка B . Будем иметь тогдаq∂u ( ϕ ( t ), ψ ( t ))∂u (ϕ ( t ), ψ ( t ))I = ∫⋅ ϕ ′( t ) +⋅ ψ ′( t ) dt .xy∂∂pЗаметив это, рассмотрим функцию f ( t ) = u (ϕ ( t ), ψ ( t )) .
По правилу дифференцирования сложной функции, имеем∂u (ϕ ( t ), ψ ( t ))∂u ( ϕ ( t ), ψ ( t ))⋅ ϕ ′( t ) +⋅ ψ ′( t ) .∂x∂yСледовательно, предыдущее выражение для I принимает видf ′( t ) =qI = ∫ f ′( t ) dt = f ( q ) − f ( p ) .p81Но f ( q ) = u (ϕ ( q ), ψ ( q )) = u ( x B , y B ) ; f ( p ) = u (ϕ ( p ), ψ ( p )) = u ( x A , y A ) (у насϕ( p ) = x A , ψ ( p ) = y A , ϕ( q ) = x B , ψ( q ) = y B ). ПоэтомуI = u ( xB , yB ) − u ( x A , y A ) .Таким образом, для вычисления интеграла∫ P dx + Q dy( ABнужно найтифункцию u ( x , y ) , первообразную для дифференциала P dx + Q dy и составитьразность значений этой первообразной в конце и в начале пути интегрирования.Ясно, что это – аналог формулы Ньютона – Лейбница.Примеры к §4.1.
Вычислить I =∫ ( x − y )( dx − dy ) , где ( AB – любая кривая, соединяю( ABщая точки A(1, − 1) и B(1, 1) .В этом случае P( x , y ) = x − y ; Q( x , y ) = y − x ⇒∂P ∂Q== −1 на всей∂y ∂xплоскости. Следовательно, в любой односвязной области, расположенной вплоскости Oxy , подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u ( x , y ) . Так как()1( x − y )( dx − dy ) = ( x − y ) ⋅ d ( x − y ) = d ( x − y )2 ,21то такой функцией u ( x , y ) будет: u ( x , y ) = ( x − y )2 . Поэтому2( x − y )2I=22. Вычислить I =∫ (x( AB4(1, 1)(1, −1)22= 0−= −2 .2+ 4 xy 3 ) dx + ( 6 x 2 y 2 − 5 y 4 ) dy , где( AB– любаякривая, соединяющая точки A( −2, − 1) и B(3, 0) .∂P ∂Q== 12 xy 2∂y ∂xна всей плоскости Oxy .
Следовательно, I не за-Здесь P( x , y ) = x 4 + 4 xy 3 ; Q( x , y ) = 6 x 2 y 2 − 5 y 4y⇒висит от формы пути интегрирования, соединяю-B x щего точки A и B . А раз так, то возьмем, напри3мер, в качестве пути ( AB ломаную AC U CBCA−1(см. рис. 3.26). ТогдаРис. 3.26. К примеру 2I= ∫ = ∫ + ∫( = I1 + I2 ) .−2Имеем:82( AB ( AC ( CB( AC = −2y≤=x−≤1 3⇒ dy = 0 .Поэтому33 x5I1 = ∫ = ∫ ( x − 4 x ) dx + 0 = − 2 x 2 = 45 . 5 −2( AC −2Имеем:4( CB = −1x≤ =y3≤ 0⇒ dx = 0 .ПоэтомуI2 =∫( CB0= ∫ (54 y 2 − 5 y 4 ) dy = (18 y 3 − y 5 )−10−1= 17 .Следовательно, I = 45 + 17 = 62 .y2yy yy3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
