Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

К примеру 10x = r cos ϕ,Переходим к полярным координатам В полярной системекоординатлиния y = r sin ϕ.2( x 2 + y 2 ) = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) будетиметьуравнение:r = a 2 cos 2ϕ (это – лемниската), а линия x 2 + y 2 = a 2 – уравнение r = a (это– окружность). Найдем точки пересечения этих линий. Для этого нужно решитьсистему:r = a 2 cos 2ϕ ,⇒r=a2 cos 2ϕ = 1 ⇒ cos 2ϕ =π15π⇒ ϕ=± ; ϕ=± .266Принимая во внимание симметричность фигуры, станем вычислять площадь еечасти, расположенной в первой четверти. Взяв произвольное значение ϕ изπпромежутка 0,  , видим из рис.

3.40, что r при этом ϕ изменяется от значе6 ния r = a до значения r = a 2 cos 2ϕ . Будем иметь, следовательно,π6r = a 2 cos 2ϕ0r =a1F = ∫ dϕ4⇒ F=π6 2 r = a 2 cos 2ϕr∫ r dr = ∫ 20r =aπ61a2  3 π22dϕ = ∫ ( 2a cos 2ϕ − a ) dϕ = −22  2 6 03 3−π 2⋅ a (кв. ед.).3Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y 2 = 2 px ;y 2 = 2qx ; x 2 = 2ry ; x 2 = 2sy ( 0 < p < q ; 0 < r < s ).99v2syx 2 = 2 syx 2 = 2ry(∆)2y = 2qx(D )2ry 2 = 2 pxxuOO 2pРис. 3.41. К примеру 112qРис.

3.42. К примеру 11Делаем замену переменных y2 x = u, x = u1 3 ⋅ v 2 3 ,⇒  2x y = u2 3 ⋅ v1 3. =v yПри такой замене:1) ветвь параболы y 2 = 2 px перейдет в прямую линию u = 2 p ;2) ветвь параболы y 2 = 2qx перейдет в прямую линию u = 2q ;3) ветвь параболы x 2 = 2ry перейдет в прямую линию v = 2r ;4) ветвь параболы x 2 = 2 sy перейдет в прямую линию v = 2 s .1 −2 3 2 3u vJ ( u, v ) = 32 −1 3 1 3u v32 1 3 −1 3u v13=−⇒1 2 3 −2 33u v31J ( u, v ) = .3ПоэтомуF=∫∫ dxdy =(D )∫∫(∆)1J ( u, v ) dudv =32q∫2p2s4du ∫ dv = ( q − p )( s − r ) .32rПример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:2x 3222y 3y 3x 3( l1 ):   +   = 1; ( l2 ):   +   = 4 ; a a b bx yx y( l3 ): = ;( l4 ): 8 =( x > 0, y > 0) .a ba b100y8b( l4 )( l3 )arctg 2π4(D )( l1 )ab(∆)v( l2 )u1x88aРис. 3.44.

К примеру 12Рис. 3.43. К примеру 12 x = au cos3 v ,Делаем замену переменных При такой замене:3 y = bu sin v.1) линия ( l1 ) перейдет в линию u2 3 = 1 ⇒ u = 1 ;2) линия ( l2 ) перейдет в линию u2 3 = 4 ⇒ u = 8 ;π;44) линия ( l4 ) перейдет в линию tg3 v = 8 ⇒ v = arctg 2 .32x′ x′J ( u, v ) = u v = a cos3 v −3au cos2 v sin v = 3abu sin 2 v cos2 v .yu′ y v′b sin v 3bu sin v cos v3) линия ( l3 ) перейдет в линию tg3 v = 1 ⇒ v =Имеем, следовательно,F=∫∫ dxdy = ∫∫ 3abu sinv = arctg 222v cos v dudv = 3ab(∆)(D )3 ⋅ 63=ab2189=ab8v = arctg 2∫v=π 4v =π 42sin v cos v dvv=π 4v = arctg 2v = arctg 2∫ sin∫22v cos2 v dv =1891ab ⋅24∫ sinu=8∫ u du =u=122 v dv =v=π 41 − cos 4v189 π1v = arctg 2dv =ab  arctg 2 −  − sin 4 v v = π 4  =2164 4189 1ab (arctg 2 − arctg1) − sin ( 4 arctg 2 ) .164124Так как arctg 2 − arctg1 = arctg , sin ( 4 arctg 2 ) = − , то325189 1 6F=ab arctg +  (кв.

ед.).16 3 25=101Глава 4. Вычисление площадей кривых поверхностей§1. Некоторые сведения из геометрии1.°Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственнойкривой.Определение. Касательной в точке N к пространственной кривой ( l ) называется предельное положение секущей, проходящей через точку N и какуюнибудь точку M этой кривой, когда точка M по кривой стремится к совпадению с точкой N .Пусть кривая ( l ) задана параметрическими уравнениями x = ϕ ( t ), y = ψ ( t ), t ∈[ p, q] . z = ω ( t ),(1)Предполагаем, что функции ϕ( t ) , ψ( t ) , ω ( t )имеют в [ p, q] непрерывные производныеMϕ ′ ( t ) , ψ ′( t ) , ω ′ ( t ) .(l )Пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) соответствуетNt0 ,аточказначениюпараметраM ( x0 + ∆ x , y0 + ∆ y , z0 + ∆ z ) – значению паyраметра t0 + ∆ t , так что: x0 = ϕ ( t0 ) ,y0 = ψ( t0 ) , z0 = ω ( t0 ) ; x0 + ∆ x = ϕ ( t0 + ∆ t ) ,xy0 + ∆ y = ψ( t0 + ∆ t ) , z0 + ∆ z = ω ( t0 + ∆ t ) .Рис.

4.1. К определениюкасательной к пространственной Составляем уравнение секущей NM какуравнение прямой, проходящей через две точкривойки:z(T )x − x0y − y0z − z0==( x0 + ∆ x ) − x0 ( y0 + ∆ y ) − y0 ( z0 + ∆ z ) − z 0( x , y , z – текущие координаты), илиx − x0y − y0z − z0=.=ϕ ( t0 + ∆ t ) − ϕ ( t0 ) ψ ( t0 + ∆ t ) − ψ ( t0 ) ω ( t0 + ∆ t ) − ω ( t0 )Разделив знаменатели этих отношений на ∆ t и переходя к пределу при∆ t → 0 , получим уравнение касательной к ( l ) в точке N .x − x0 y − y0 z − z 0=.(2)=ϕ ′( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′ ( t 0 )rИз (2) видим, что вектор τ (ϕ ′( t0 ), ψ ′( t0 ), ω ′( t0 )) направлен по касательной ккривой ( l ) в точке N .102Замечание. Уравнения (2) теряют смысл, если ϕ ′( t0 ) = ψ ′( t0 ) = ω ′( t0 ) = 0 .В этом случае точка N называется особой. Если же хотя бы один из знаменателей в соотношении (2) не равен нулю, то точка N называется обыкновенной.

Вдальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные точки.Определение. Нормальной плоскостью к кривой ( l ) в точке N называетсяплоскость, проходящая через точку N п е р п е н д и к у л я р н о касательной к ( l )в точке ( N ) .Найдем уравнение нормальной плоскости. Для этого берем уравнение связки плоскостей с центром в точке N ( x0 , y0 , z0 ) :A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0 .(3)По определению, нормальная плоскость перпендикулярна касательной к ( l ) вточке N . ПоэтомуABC==( = k ) , k – обозначение общей веϕ ′ ( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′( t 0 )личины этих отношений.

А тогдаA = k ⋅ ϕ ′( t0 ), B = k ⋅ ψ ′( t0 ), C = k ⋅ ω ′( t0 ) .Подставив эти выражения для A , B и C в (3), получим уравнение нормальнойплоскости к ( l ) в точке N :ϕ ′ ( t 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + ψ ′ ( t 0 ) ⋅ ( y − y 0 ) + ω ′( t 0 ) ⋅ ( z − z 0 ) = 0 .(4)zzNN(l )yxРис. 4.2. К определению нормальнойплоскости к пространственной кривой(l )(l )(s)yxРис. 4.3. К определению касательнойплоскости и нормали к поверхности2°. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Определение.

Пусть дана поверхность ( s ) и пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) ∈( s ) .Рассмотрим всевозможные кривые, лежащие на ( s ) и проходящие через точкуN . Проведем к этим кривым в точке N касательные прямые. Если геометрическим место этих касательных прямых оказывается плоскость, то она называетсякасательной плоскостью к поверхности ( s ) в точке N , а перпендикуляр к этойплоскости в точке N называется нормалью к поверхности ( s ) в точке N .Пусть данная поверхность ( s ) имеет уравнениеF ( x, y, z ) = 0 .(5)103Предполагаем, что функция F ( x , y , z ) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Fx′, Fy′ , Fz′ в некоторой пространственной области.

Точкиповерхности ( s ) , в которых одновременно Fx′( x , y , z ) = 0 , Fy′ ( x , y , z ) = 0 ,Fz′( x , y , z ) = 0 , называются особыми точками. Остальные точки поверхности( s ) называются обыкновенными.Пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) – обыкновенная точка поверхности ( s ) . Рассмотрим одну из кривых ( l ) , лежащую на ( s ) и проходящую через точкуN ( x0 , y0 , z0 ) . Пусть параметрические уравнения этой кривой ( l ) такие: x = ϕ ( t ), y = ψ ( t ), t ∈[ p, q] , z = ω ( t ),где функции ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t ) определены и имеют непрерывные производныеϕ ′( t ), ψ ′( t ), ω ′( t ) в промежутке [ p, q] .Пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) соответствует значению параметра t0 .

Уравнениекасательной к ( l ) в точке N ( x0 , y0 , z0 ) будет таким:x − x0 y − y0 z − z 0.(6)==ϕ ′( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′ ( t 0 )Мы докажем, что у данной поверхности ( s ) в точке N существует касательнаяплоскость, если покажем, что касательная прямая к л ю б о й к р и в о й ( l ) , проходящей через точку N , перпендикулярна к некоторой определенной прямой.Так как вся кривая ( l ) лежит на поверхности ( s ) , то при всех t ∈[ p, q] будетF (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) = 0 .(7)Значит, (7) есть тождество относительно t .

Продифференцируем это тождествопо t . ПолучимFx′(ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ⋅ ϕ ′( t ) + Fy′ (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ⋅ ψ ′( t ) ++ Fz′(ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ⋅ ω ′( t ) = 0Положим в этом соотношении t = t0 . ПолучимFx′( x0 , y0 , z0 ) ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) ⋅ ψ ′( t0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 ) ⋅ ω ′( t0 ) = 0 . (8)Равенство (8) представляет собой условие перпендикулярности двух прямых, аименно, прямой (6) (т. е.

касательной к ( l ) в точке N ) и прямой, имеющейуравнениеx − x0y − y0z − z0=.(9)=Fx′( x0 , y0 , z0 ) Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) Fz′( x0 , y0 , z0 )Ясно, что прямая (9) не зависит от выбора кривой ( l ) . Она зависит только отповерхности ( s ) и от положения точки N на ( s ) . Значит, касательная прямая к104л ю б о й к р и в о й ( l ) , лежащей на ( s ) и проходящей через точку N ( x0 , y0 , z0 )перпендикулярна к одной и той же прямой (9). Следовательно, у поверхности( s ) в точке N существует касательная плоскость.Нетрудно понять, что прямая (9) является нормалью к поверхности ( s ) вточке N .Выведем теперь уравнение касательной плоскости к ( s ) в точке N . Для этого возьмем уравнение связки плоскостей с центром в точке N :A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0 .(10)Так как касательная плоскость к ( s ) в точке N перпендикулярна нормали (9),то~ABC==(= k ) ,Fx′( x0 , y0 , z0 ) Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) Fz′( x0 , y0 , z0 )~k – обозначение общей величины этих отношений.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)