Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Поэтомуs=∫∫EG − F 2 dudv .(11)(∆)§3. Примеры к главе 4Пример 1. Найти площадь s поверхности тела, ограниченного поверхностями: x 2 + z 2 = a 2 , y 2 + z 2 = a 2 .yzy=x(D)Oaaxxyy=xРис. 4.6. К примеру 1Рис. 4.7. К примеру 2На рис. 4.6 изображена часть интересующей нас поверхности, расположенная в первом октанте.

Эта часть поверхности состоит из двух одинаковыхпо площади кусков. Один из этих кусков определяется уравнениемz = a 2 − x 2 и проектируется на плоскость Oxy в треугольник0 ≤ x ≤ a,( D ) = Площадь ~s этого куска поверхности можно определить по0 ≤ y ≤ x.−xформуле: ~s = ∫∫ 1 + ( z x′ )2 + ( z ′y )2 dxdy .

Имеем: z x′ =, z ′y = 0 . Сле22a −x(D )довательно,1 + ( z x′ )2 + ( z ′y )2 = 1 +А тогдаx2a2=.a2 − x2 a2 − x2111ay=xdx~s = a∫2a −x0a∫ dy = a ∫2y =00x dx2a −x2= −a a 2 − x 2x =ax =0= a2 .1s составляет лишьчасть площади s , то находимТак как ~16s = 16a 2 (кв. ед.).Пример 2. Найти площадь s части поверхности x 2 + y 2 = 2az , заключенной внутри цилиндра ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 xy (рис.

4.7).x2 + y2Поверхность z =– параболоид вращения. Ось Oz является осью2aсимметриипараболоида вращения. Цилиндрическая поверхность( x + y ) = 2a xy – симметрична относительно плоскости y = x . Она пересекается с плоскостью Oxy по кривой, уравнение которой в полярных координа2этого2 22тах имеет вид: r 2 = a 2 sin 2ϕ . Одна четвертая часть куска поверхности, вырезаемая цилиндром из параболоида вращения, проектируется на плоскость Oxyв область ( D ) , ограниченную линиями: ϕ =ππи r = a sin 2ϕ , ϕ ∈ 0,  . 4 4Имеемya2 + x2 + y2x22z x′ = ; z ′y = ; ⇒ 1 + ( z x′ ) + ( z ′y ) =⇒aaa2a2 + x2 + y21 + ( z x′ ) + ( z ′y ) =.a2Следовательно,s=4a2∫∫a 2 + x 2 + y 2 dxdy .(D )Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам.

Будем иметь4S=ar = a sin 2ϕπ4∫dϕr =004= a23∫π4∫(04a 2 + r 2 r dr =3aπ4∫( a 2 + r 2 )3 20π 4r =0dϕ =4π(1 + sin 2ϕ )3 2 − 1 dϕ = a 2  ∫ (sin ϕ + cos ϕ )3 dϕ −  =3 4 0)π44 2 ππ3= a 2 2 ∫ sin  ϕ +  dϕ −  =3 440112r = a sin 2ϕπ44 2 π  π  π 2= a 2 2 ∫  cos ϕ +− 1 d cos ϕ +−=3 4 4 404 211  π a2= a  2 2 −+ −  = ( 20 − 3π ) . (кв. ед.).3  6 22 4 9Пример 3. Найти площадь s части сферы, ограниченной двумя параллелямии двумя меридианами.Пусть ρ, ϕ, θ – сферические координаты точек пространства.

Декартовы и сферические координаты точки пространства связаны соотношениямиzθ2 x = ρ cos ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ cos θ, z = ρ sin θ.ϕ1Координаты любой точки сферырадиуса R будут такими: x = R cos ϕ cos θ, y = R sin ϕ cos θ, z = R sin θ.θ1yϕ2xПоследние уравнения можноРис. 4.8. К примеру 3рассматривать как параметрические уравнения интересующегонас куска сферы, если ϕ ∈[ϕ1, ϕ 2 ] ; θ ∈[θ1, θ 2 ] . Имеем:0  xϕ′ yϕ′ zϕ′   − R sin ϕ cos θ R cos ϕ cos θ =  − R cos ϕ sin θ − R sin ϕ sin θ R cos θ . xθ′ yθ′ zθ′ E = ( xϕ′ )2 + ( yϕ′ )2 + ( zϕ′ )2 = R2 cos2 θ, G = ( xθ′ )2 + ( yθ′ )2 + ( zθ′ )2 = R2 ,EG − F 2 = R2 cos θ .F = xϕ′ xθ′ + yϕ′ yθ′ + zϕ′ zθ′ = 0 ⇒Следовательно,s=∫∫ R2cos θ dϕdθ = Rϕ1 ≤ϕ ≤ ϕ 2θ1 ≤θ≤θ 2= R2 ( ϕ 2 − ϕ1 )(sin θ22ϕ2θ2ϕ1θ1∫ dϕ ∫ cos θ dθ =− sin θ1 ) (кв.

ед.).113Пример 4. Найти площадь части поверхности тора x = ( b + a cos θ )cos ϕ, y = ( b + a cos θ )sin ϕ, ( 0 < a ≤ b ) ,z = a sin θограниченной двумя меридианами ϕ = ϕ1 , ϕ = ϕ 2 ( ϕ1 < ϕ 2 ) и двумя параллелями θ = θ1 , θ = θ 2 ( θ1 < θ2 ). Чему равна поверхность всего тора?yxCOabРис. 4.9.

К примеру 4Найдем коэффициенты Гаусса данной поверхности. Имеем:0  xϕ′ yϕ′ zϕ′   −( b + a cos θ )sin ϕ ( b + a cos θ )cos ϕ. =  − a sin θ cos ϕ− a sin θ sin ϕ a cos θ xθ′ yθ′ zθ′ E = ( xϕ′ )2 + ( yϕ′ )2 + ( zϕ′ )2 = ( b + a cos θ )2 , G = ( xθ′ )2 + ( yθ′ )2 + ( zθ′ )2 = a 2 ,EG − F 2 = a ( b + a cos θ ) .F = xϕ′ xθ′ + yϕ′ yθ′ + zϕ′ zθ′ = 0 ⇒s=∫∫ϕ2θ2ϕ1θ1EG − F 2 dϕdθ = a ∫ dϕ ∫ ( b + a cos θ ) dθ =ϕ1 ≤ϕ ≤ ϕ 2θ1 ≤θ≤θ 2θ =θ= a( ϕ 2 − ϕ1 ) ⋅ ( bθ + a sin θ ) θ =θ2 =1= a( ϕ 2 − ϕ1 ) ⋅ [b ( θ2 − θ1 ) + a (sin θ2 − sin θ1 )] (кв. ед.).Чтобы найти площадь поверхности всего тора, нужно в полученное выражениедля s подставить значения: ϕ1 = 0 , ϕ 2 = 2π , θ1 = 0 , θ 2 = 2π .

Получимsполн . = 2πa ⋅ 2πb = 4π 2ab (кв. ед.)114Глава 5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра§1. Определение равномерной сходимости несобственных интеграловa ≤ x < +∞,Пусть при каждомc≤y≤d.Пусть функция f ( x , y ) задана в области +∞закрепленном y из [c, d ] несобственный интегралсходится. То-a+∞гда∫ f ( x, y ) dx∫ f ( x, y ) dxбудет представлять собою функцию переменной (параметра)ay , определенную в промежутке [c, d ] (в дальнейшем будем обозначать этуфункцию через I ( y ) , y ∈[c, d ] ).+∞Утверждение, что несобственный интеграл∫ f ( x, y ) dxсходится при каж-aдом y из [c, d ] , означает следующее: при каждом закрепленном y из [c, d ]A+∞aa∫ f ( x, y ) dx →∫ f ( x, y ) dx .A→+∞Следовательно,+∞0,∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx →A→+∞a+∞Aaили0.∫ f ( x, y ) dx →A→+∞AА это означает, что для каждого y из [c, d ] по любому ε > 0 можно указать+∞число M > 0 такое, что как только A > M , так сейчас же∫ f ( x, y ) dx < ε .AВажно заметить, что число M > 0 выбирается по ε > 0 , и для каждого y из[c, d ] оно будет, вообще говоря, своим, то есть M зависит и от ε, и от y :M = M ( ε, y ) .Если же для любого ε > 0 можно указать число M > 0 , зависящее только отε (то есть о д н о и т о ж е д л я в с е х y и з [c, d ] ), такое, что как только+∞A > M , так сейчас же∫ f ( x, y ) dx < ε сразу для всехy из [c, d ] , то несобст-A115+∞венный интеграл∫ f ( x, y ) dxназывается равномерно сходящимся относи-aтельно параметра y на [c, d ] .Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода.

Например, пусть функция f ( x , y ) опреде-a ≤ x < b,( a, b, c, d – конечные числа)..c≤y≤dлена в области bПусть при каждом y из [c, d ] несобственный интеграл∫ f ( x, y ) dx сходитabся. Ясно, что тогда∫ f ( x, y ) dx будет представлять собой функцию переменнойa(параметра) y , определенную в промежутке [c, d ] .bУтверждение, что несобственный интеграл∫ f ( x, y ) dxсходится при каж-aдом y из [c, d ] , означает следующее. При каждом закрепленном y из [c, d ]βb∫ f ( x, y ) dx β→∫ f ( x, y ) dx→b−0aβb⇔a0∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx β→→ b− 0aabb⇔0∫ f ( x, y ) dx β→→b−0⇔⇔β0∫ f ( x, y ) dx →γ →+0b− γ(здесь положено β = b − γ ⇒ γ = b − β ). А это означает, что для каждого y из[c, d ] по любому ε > 0 можно указать число δ > 0 такое, что как толькоb0 < γ < δ , так сейчас же∫ f ( x, y ) dx < ε .b− γИ здесь важно отметить, что число δ > 0 выбирается по ε > 0 , и для каждого y из [c, d ] оно будет, вообще говоря, своим, то есть δ зависит и от ε, и от y :δ = δ ( ε, y ) .Если же для любого ε > 0 можно указать число δ > 0 , зависящее только отε (то есть одно и то же для всех y из [c, d ] ), такое, что как только 0 < γ < δ ,bтак сейчас же∫ f ( x, y ) dx < εb− γ116сразу для всех y из [c, d ] , то несобственныйbинтеграл∫ f ( x, y ) dxназывается равномерно сходящимся относительно па-aраметра y на [c, d ] .§2.

О непрерывности интеграла как функции параметраТеорема. Пустьa ≤ x < +∞,c ≤ y ≤ d ;1) функция f ( x , y ) непрерывна в области +∞2)∫ f ( x, y ) dx = I ( y ) сходится равномерно относительноy на [c, d ] .aТогда функция I ( y ) непрерывна на [c, d ] .Возьмем любое y0 из [c, d ] и закрепим его. Возьмем любое ε > 0 .+∞По условию∫ f ( x, y ) dxсходится равномерно относительно y на [c, d ] ,aпоэтому взятому ε > 0 отвечает число M > 0 , зависящее только от ε, такое, чтопри всяком A, удовлетворяющем условию A > M , сразу для всех y ∈[c, d ] будет+∞∫Aεf ( x , y ) dx < .3(1)Выберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию A > M .AПоложив ΨA ( y ) =∫ f ( x, y ) dx , неравенство (1) сразу для всехy ∈[c, d ] можноaзаписать в виде:+∞εI ( y ) − ΨA ( y ) < .3(2)A+∞aA[I ( y ) − ΨA ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x, y ) dx ].aНо ΨA ( y ) – собственный интеграл, зависящий от параметра y .

По теореме онепрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем,что ΨA ( y ) ∈ C([c, d ]) , а значит, по теореме Кантора, ΨA ( y ) будет равномернонепрерывной на [c, d ] .Следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 , зависящее только от ε, такое,117что для любых двух точек y ′ и y ′′ из [c, d ] , для которых y ′′ − y ′ < δ , будетεΨA ( y ′′ ) − ΨA ( y ′ ) < .3Для разности значений функции I ( y ) в точках y ′ и y ′′ имеем:I ( y ′′ ) − I ( y ′ ) = [ I ( y ′′ ) − ΨA ( y ′′ )] + [ ΨA ( y ′′ ) − ΨA ( y ′ )] + [ ΨA ( y ′ ) − I ( y ′ )] ⇒⇒ I ( y ′′ ) − I ( y ′ ) ≤ I ( y ′′ ) − ΨA ( y ′′ ) + ΨA ( y ′′ ) − ΨA ( y ′ ) +ε ε ε+ ΨA ( y ′ ) − I ( y ′ ) < + + = ε .3 3 3В частности, полагая y ′ = y0 , y ′′ = y , где y ∈[c, d ] – любое, но такое, чтоy − y0 < δ , будем иметь I ( y ) − I ( y0 ) < ε .

Последнее означает, что функцияI ( y ) непрерывна в точке y0 . Так как у нас точка y0 – любая из [c, d ] , тозаключаем, что I ( y ) ∈ C([c, d ]) .§3. Об интегрировании по параметру под знаком интегралаТеорема. Пустьa ≤ x < +∞,c ≤ y ≤ d ;1) функция f ( x , y ) непрерывна в области +∞2)∫ f ( x, y ) dx сходится равномерно относительноy на [c, d ] .aТогда справедливо равенствоd  +∞∫  ∫ca+∞  df ( x , y ) dx  dy = ∫  ∫ f ( x , y ) dy  dx ,a c(1)причем несобственный интеграл, стоящий в правой части (1), сходится.+∞Возьмем любое ε > 0 . По условию∫ f ( x, y ) dxсходится равномерно от-aносительно y на [c, d ] , поэтому взятому ε > 0 отвечает число M > 0 , зависящее только от ε, такое, что при всяком A, удовлетворяющем условию A > M ,сразу для всех y ∈[c, d ] будет справедливо неравенство:+∞ε∫ f ( x, y ) dx < d − c .AВыберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию A > M .118AПолагая, как и раньше, ΨA ( y ) =∫ f ( x, y ) dx , предыдущее неравенство сразуaдля всех y ∈[c, d ] можно записать в видеε.d −cΨA ( y ) ∈ C([c, d ]) ,I ( y ) − ΨA ( y ) <I ( y ) ∈ C([c, d ]) иΨA ( y ) ∈ R([c, d ]) .

Поскольку имеет место равенствоТаккакdddcccтоI ( y ) ∈ R([c, d ]) ,∫ I ( y ) dy − ∫ ΨA ( y ) dy = ∫ [ I ( y ) − ΨA ( y )] dy ,тоdddccc∫ I ( y ) dy − ∫ ΨA ( y ) dy ≤ ∫ I ( y ) − ΨA ( y ) dy <ε⋅ (d − c) = ε .d −cТаким образом, получили: при любом A, удовлетворяющем условию A > M ,dоказываетсяd∫ I ( y ) dy − ∫ ΨA ( y ) dyc< ε . Последнее означает, чтоcdd∫ I ( y ) dy = Alim∫ ΨA ( y ) dy→∞c(2)cA(именно так, ибо первый интеграл от A не зависит). Но ΨA ( y ) =∫ f ( x, y ) dx –aсобственный интеграл, зависящий от параметра y .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)