Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство общего и профессионального образованияРоссийской ФедерацииСАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТА.П. АксёновМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫУчебное пособиеСанкт-Петербург2000УДК 517.38, 517.3821Аксёнов А.П.

Математический анализ. (Интегралы, зависящие от параметра.Двойные интегралы. Криволинейные интегралы.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во«НЕСТОР», 2000, 145 с.Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математикаи информатика».Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующейпрограммой по темам: «Интегралы, зависящие от параметра, собственные и несобственные», «Двойной интеграл», «Криволинейные интегралы первого и второго рода»,«Вычисление площадей кривых поверхностей, заданных как явными, так и параметрическими уравнениями», «Эйлеровы интегралы (Бета-функция и Гамма-функция)».Разобрано большое количество примеров и задач (общим числом 47).Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практическиезанятия.Ил. 79.

Библ. 4 назв.Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета.Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра§1. Определение интегралов, зависящих от параметровa ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d .Пусть функция f ( x , y ) определена в прямоугольнике ( P ) = bПусть при каждом закрепленном y из [c, d ] существует∫ f ( x, y ) dx . Ясно, чтоaкаждому значению y из [c, d ] будет отвечать свое, вполне определенное знаbчение этого интеграла. Следовательно,∫ f ( x, y ) dxпредставляет собой функ-aцию переменной (параметра) y , определенную в промежутке [c, d ] .Введем обозначениеbI ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx , y ∈[c, d ] .(1)aНаша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функцииf ( x , y ) , получить информацию о свойствах функции I ( y ) .

Эти свойства, какбудет показано ниже, имеют многообразные применения, в особенности привычислении интегралов.Допустим еще, что при каждом закрепленном x из промежутка [a , b] сущеdствует∫ f ( x, y ) dy . Тогда этот интеграл будет представлять собой функциюcпеременной (параметра) x , определенную в промежутке [a , b] . Обозначим ее~через I ( x ) , так чтоd~I ( x ) = ∫ f ( x , y ) dy , x ∈[a, b] .~(1)c§2. О допустимости предельного перехода по параметрупод знаком интегралаТеорема. Пусть функция f ( x , y ) ∈ C( P ) и пусть y0 – любое из [c, d ] . Тогдаblimy → y0∫abbf ( x , y ) dx = ∫  lim f ( x , y ) dx = ∫ f ( x , y0 ) dx . y → y0a(1)a3bОтметим, что∫ f ( x, y ) dxсуществует для каждого значения y из [c, d ] ,aтак как f ( x , y ) ∈ C([a, b]) при любом закрепленном y ∈[c, d ] . В частности,bсуществует∫ f ( x, y0 ) dx .aВозьмем ε > 0 – любое.

Выберем и закрепим любое y0 ∈[c, d ] .По условию f ( x , y ) ∈ C( P ) , поэтому f ( x , y ) равномерно непрерывна в( P ) (см. теорему Кантора) и, следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 , зависящее только от ε, такое, что для любых двух точек ( x ′, y ′ ) , ( x ′′, y ′′ ) из ( P ) ,| x ′′ − x ′ | < δ ,| y ′′ − y ′| < δ ,оказываетсядлякоторыхεf ( x ′′, y ′′ ) − f ( x ′, y ′ ) <.b−aПоложим y ′ = y0 , y ′′ = y , где y – любое, но такое, что | y − y0 | < δ ,y ∈[c, d ] , x ′ = x ′′ = x , где x – любое из [a, b] (| x ′′ − x ′ | = 0 < δ ).

Тогдаεf ( x , y ) − f ( x , y0 ) <для любого x ∈[a, b], если | y − y0 | < δ , y ∈[c, d ] .b−aИмеем:bbb∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ [ f ( x, y ) − f ( x, y0 )] dxab∫⇒aa⇒abbaaf ( x , y ) dx − ∫ f ( x , y0 ) dx ≤ ∫ f ( x , y ) − f ( x , y0 ) dx <ε(b − a ) = ε .b−aИтак, любому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что как только | y − y0 | < δ ,by ∈[c, d ] , так сейчас жеb∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dxabчто< ε . Последнее означает,ab∫ f ( x, y0 ) dx = ylim∫ f ( x, y ) dx .→y0aaСовершенно аналогично доказывается утверждение: если f ( x , y ) ∈ C( P ) иесли x0 – любое из [a, b] , тоdlimx → x04∫cddccf ( x , y ) dy = ∫  lim f ( x , y ) dy = ∫ f ( x0 , y ) dy . x → x0§3. О непрерывности интеграла как функции параметраbТеорема.

Пусть f ( x , y ) ∈ C( P ) и I ( y ) =y0 ∈[c, d ] и закрепим. В §2 было доказано, чтоВозьмем любоеlimy ∈[c, d ] . ТогдаaI ( y ) = C([c, d ]) .y → y0∫ f ( x, y ) dx ,bbaa∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx , то естьlim I ( y ) = I ( y0 ) .y → y0Последнее же означает, что функция I ( y ) непрерывна в точке y0 . Так как y0 –любое из [c, d ] , то заключаем, что I ( y ) ∈ C([c, d ]) .Замечание 1. Условие f ( x , y ) ∈ C( P ) является достаточным для непрерывности I ( y ) на [c, d ] , но оно не необходимо.Чтобы убедиться в этом, рассмотрим0 ≤ x ≤ 1,.y−5≤≤5.Пример. Пусть f ( x , y ) = sgn ( x − y ) в ( P ) = y5Iy=x1x5−5yI = I ( y)−5Рис. 1.2Рис.

1.1Видим, что f ( x , y ) терпит разрыв в точках, принадлежащих прямой x = y(рис. 1.1).1∫Пусть I ( y ) = sgn ( x − y ) dx . Имеем:01∫1) если −5 ≤ y < 0 , то I ( y ) = 1 ⋅ dx = 1 .05y∫1∫2) если 0 ≤ y ≤ 1 , то I ( y ) = ( −1) ⋅ dx + 1 ⋅ dx = 1 − 2 y .01y∫3) если 1 < y ≤ 5 , то I ( y ) = ( −1) ⋅ dx = −1 .0Таким образом, 1,I ( y ) =  1 − 2 y, −1,y ∈[−5, 0 ),y ∈[0, 1],y ∈(1, 5]⇒I ( y ) ∈ C([−5, 5]) (см.рис. 1.2).Замечание 2.

Совершенно аналогично доказывается теорема: Пустьd~~f ( x , y ) ∈ C( P ) и пусть I ( x ) = ∫ f ( x , y ) dy , x ∈[a, b]. Тогда I ( x ) ∈ C([a , b]) .cСледствие. Еслиf ( x , y ) ∈ C( P ) , то одновременно~I ( x ) ∈ C([a , b]) и, следовательно, существуют одновременноddb∫ I ( y ) dy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx dy ,cc aI ( y ) ∈ C([c, d ]) ,bd~∫ I ( x ) dx = ∫  ∫ f ( x, y ) dy dx .aa cdbbd f ( x , y ) dx  dy ,  f ( x , y ) dy  dx называются повторными интегра∫  ∫∫  ∫c aa cлами от функции f ( x , y ) в ( P ) .b§4. О дифференцировании по параметру под знаком интегралаТеорема.

Пусть функция f ( x , y ) непрерывна в ( P ) и имеет там непрерывbную частную производную f y′ ( x , y ) . Пусть I ( y ) =∫ f ( x, y ) dx ,y ∈[c, d ] . То-aгда:1) функция I ( y ) имеет в промежутке [c, d ] производную I ′( y ) ;b2) I ′( y ) =∫ab′ bf y′ ( x , y ) dx , то есть  ∫ f ( x , y ) dx  = ∫ f y′ ( x , y ) dx , y ∈[c, d ] ;ay a3) I ′( y ) ∈ C([c, d ]) .6–Возьмем любую точку y0 ∈[c, d ] и закрепим. Дадим y0 приращение ∆yлюбое, но такое, что ∆y ≠ 0 и точка y0 + ∆ y ∈[c, d ] . ТогдаbbaabI ( y0 ) = ∫ f ( x , y0 ) dx , I ( y0 + ∆ y ) = ∫ f ( x , y0 + ∆ y ) dx ,I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 )f ( x , y0 + ∆ y ) − f ( x , y0 )dx .=∫∆y∆y(1)aПо теореме Лагранжа f ( x , y0 + ∆ y ) − f ( x , y0 ) = f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) ∆ y ( 0 < θ < 1).Следовательно,bI ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 )= ∫ f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) dx .∆y(2)aПо условию, f y′ ( x , y ) ∈ C( P ) .

Перейдем в (2) к пределу при ∆y → 0 . Принявво внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:bbI ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 )lim= ∫ lim f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) dx = ∫ f y′ ( x , y0 ) dx∆y∆ y→0∆ y →0aab⇒ I ′( y0 ) существует, причем I ′( y0 ) =∫ f y′ ( x, y0 ) dx . Так какy0 – любое изa[c, d ] , то заключаем, что I ′( y ) существует для любого y из [c, d ] , причемbbaaI ′( y ) = ∫ f y′ ( x , y ) dx , y ∈[c, d ] . У нас f y′ ( x , y ) ∈ C( P ) , а I ′( y ) = ∫ f y′ ( x , y ) dx .А тогда по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра заключаем, что I ′( y ) ∈ C([c, d ]) .§5.

Об интегрировании по параметру под знаком интегралаbТеорема. Пусть функцияbd f ( x , y ) dy  dx , т. е.I(y)dy=∫∫  ∫ca cdy ∈[c, d ] . Тогдаf ( x , y ) ∈ C( P ) . ПустьI ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx ,adbbd dx .f(x,y)dxdyf(x,y)dy=∫  ∫∫∫c aacДокажем более общее равенство7b t dx , для любого t ∈[c, d ] .I(y)dy=f(x,y)dy(1)∫∫  ∫ca cЗаймемся сначала левой частью равенства (1). Так как f ( x , y ) ∈ C( P ) , тоtI ( y ) ∈ C([c, d ]) (см.

теорему §3). Следовательно,t∫ I ( y ) dy– интеграл с пере-cменным верхним пределом от непрерывной функции. А тогда по теореме Барроу′bt I ( y ) dy  = I ( t ) = f ( x , t ) dx , t ∈[c, d ] .∫∫tca(2)Займемся теперь правой частью равенства (1). Положимt∫ f ( x, y ) dy = ϕ ( x, t ) .(3)cЗдесь в интеграле слева x выступает в роли параметра. Ясно, что функцияa ≤ x ≤ b,ϕ ( x , t ) определена в прямоугольнике ( P ) = c ≤ t ≤ d .Покажем, что ϕ( x , t ) ∈ C( P ) . Для этого выберем и закрепим любую точку( x , t ) ∈( P ) .

Затем возьмем ∆ x и ∆ t – любые, но такие, что точка( x + ∆ x , t + ∆ t ) ∈( P ) . Будем иметьt +∆ tϕ ( x + ∆ x, t + ∆ t ) − ϕ ( x, t ) =∫ f ( x + ∆ x, y ) dy − ∫ f ( x, y ) dy =ct= ∫ [ f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y )] dy +ctt +∆ tc∫ f ( x + ∆ x, y ) dy .(4)tПусть ρ = ( ∆ x )2 + ( ∆ t )2 . Отметим, что ( ρ → 0 )⇔(одновременно∆ x , ∆ t → 0 ). Возьмем ε > 0 – любое. В силу непрерывности функции f ( x , y )в ( P ) , f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) → 0 ⇒ взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое,ρ→ 0( ∆ x →0 )что f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) <tε, если ρ < δ .

Тогдаd −cεf(x+∆x,y)−f(x,y)dy<(t − c ) ≤ ε ,[]∫d −cc8tесли ρ < δ . Последнее означает, что limρ→ 0∫ [ f ( x + ∆ x, y ) − f ( x, y )] dy = 0 . Такcкак f ( x , y ) ∈ C( P ) , то f ( x , y ) – ограниченная в ( P ) , т. е. существует числоt +∆ tM > 0 такое, что f ( x , y ) ≤ M в ( P ) . А тогда∫ f ( x + ∆ x, y ) dy ≤ M ⋅ ∆ t⇒tt +∆ t0 .

Теперь из (4) следует∫ f ( x + ∆ x, y ) dy →ρ→ 0t( ∆ t →0 )ϕ ( x + ∆ x, t + ∆ t ) − ϕ ( x, t ) → 0 .ρ→ 0Последнее означает, что функция ϕ ( x , t ) непрерывна в точке ( x , t ) . У нас точка( x , t ) – любая из ( P ) . Поэтому ϕ( x , t ) ∈ C( P ) . Из (3) находим:ϕ ′t ( x , t ) = f ( x , t ) .(5)По условию, f ( x , y ) ∈ C( P ) . Следовательно, ϕ ′t ( x , t ) ∈ C( P ) . Принимая вовнимание (3), правую часть равенства (1) можно записать в видеb tb(6)∫  ∫ f ( x, y ) dy dx = ∫ ϕ ( x, t ) dx .a caВ интеграле, стоящем в правой части (6), t выступает в роли параметра. Вышебыло показано, что функция ϕ ( x , t ) непрерывна в ( P ) и имеет там непрерывную частную производную ϕ ′t ( x , t ) .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)