Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Так как ин+∞теграл∫x+∞d −1 − xe dx сходится для любого конечного d , то I2 ( a ) =1∫xa −1 − xe dx1сходится равномерно относительно a на [c, d ] . Следовательно, функция I2 ( a )непрерывна на [c, d ] , в частности, I2 ( a ) непрерывна в точке a0 . Так как I1( a )и I2 ( a ) непрерывны в точке a0 , то Γ( a ) = I1( a ) + I2 ( a ) непрерывна в точкеa0 . У нас a0 – любая на промежутке ( 0, + ∞ ) .

Значит, Γ( a ) непрерывна напромежутке ( 0, + ∞ ) .5. Γ( a ) ~ 1 a при a → +0 .В самом деле, запишем соотношение (2) в видеΓ ( a + 1) =Γ(a )1aи перейдем к пределу при a → +0 . В силу непрерывности Гамма-функции вΓ( a )= 1, а это ознаa →+0 1 aинтервале ( 0, +∞ ) lim Γ ( a + 1) = Γ (1) = 1. Значит, и lima →+01361при a → +0 , то есть при приближении a к +0 Γ( a ) ведетaсебя как эквивалентная ей бесконечно большая положительная величина 1 a .6. Функция Γ( a ) имеет в интервале ( 0, +∞ ) производные всех порядков,чает, что Γ( a ) ~причемΓ(n)+∞∫x(a ) =a −1 − xe (ln x )n dx .(7)0Установим существование первой производной функции Γ( a ) и равенство+∞∫xΓ ′( a ) =a −1 − xeln x dx .(8)0Возьмем любую точку a 0 > 0 . Всегда можно указать промежуток [c, d ]( 0 < c < d < +∞ ) такой, что будет c < a 0 < d .

Имеем:1) f ( x , a ) = x a −1e − x0 < x < +∞,c ≤ a ≤ d .+∞+∞2)∫ f ( x, a ) dx = ∫ x0иf a′( x , a ) = x a −1e − x ln xa −1 − xe dx сходится в промежутке [c, d ] .0+∞3) Покажем, что+∞∫ f a′( x, a ) dx = ∫ x0носительно a на промежутке [c, d ] .Имеем+∞1∫ f a′( x, a ) dx = ∫ x0Рассмотримa −1 − x∫xa −1 − xeeln x dx сходится равномерно от-0a −1 − xe+∞ln x dx +01непрерывны в области∫xa −1 − xeln x dx .1ln x dx .0Так как 0 < x ≤ 1 , c ≤ a ≤ d , то x a −1e − x ≤ x c −1e − x (см. пункт 4)1 −x1 −xx a −4e24ln3x ≥ 1x c −4e24ln3x , ибо ln x ≤ 0 для x ∈( 0, 1] .

А тогда1≤0≤0a −1 − xxТак как e−xe⇒c −1 − xln x ≤ x c −1e − x ln x = −e 4ln1x44243x .< 1 для x ∈( 0, 1] , то xa −1 − xeln x ≤ − xc −1≥0ln x . Имеем:1371−∫ x0c −1 u = ln x ⇒ du = dx 1x =111dxcx  = − x ln xln x dx = + ∫ 1− c .1 ccc −1x3=0 c 0 xdv=xdx⇒v=x144244c =01Мы знаем, чтоdx∫ x1−cсходится, если 1 − c < 1, т. е. если c > 0 . Следовательно,0по признаку равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от1параметра, заключаем, что интегралносительно a на промежутке [c, d ] .∫xa −1 − xeln x dx сходится равномерно от-0+∞a −1 − xx∫ e ln x dx .Рассмотрим теперь1Для1≤ x < +∞,c≤a≤dимеем:x a −1e − x ≤ x d −1e − xx a −1e − x ln x ≤ x d −1e − x ln x ,ибоln x ≥ 0дляx ∈[1, + ∞ ) .ln xln xx d −1e − x ln x = x d e− x.

Так как lim= 0 , то существует точкаxx →+∞ xln xтакая, что дляx≥~x:< 1 и, следовательно, дляxxd −1 − xed −xln x < x e+∞. Так как+∞сходится интеграл∫~ x∫~ xeИмеем:~x ( > 1)x≥~x:d −xe dx сходится при любом конечном d , тоxd −1 − x⇒+∞ln x dx , а значит, сходится∫xd −1 − xeln x dx . А то-1xгда по признаку равномерной сходимости несобственных интегралов, завися+∞щих от параметра, заключаем, что∫xa −1 − xeln x dx сходится равномерно отно-1сительно a на промежутке [c, d ] . Таким образом, окончательно приходим к+∞выводу, что интеграл∫x0a −1 − xeln x dx сходится равномерно относительно aна промежутке [c, d ] .Значит, Γ′( a ) существует для любого a ∈[c, d ] , в частности, существуетΓ′( a 0 ) . Так как точка a 0 – любая ( a 0 > 0 ), то заключаем: Γ′( a ) существует138+∞для a ∈( 0, +∞ ) , причем Γ ′( a ) =∫xa −1 − xeln x dx .

Формула (8) доказана.0Доказательство равенства (7) проводится с помощью аналогичных оценокпо индукции.Теперь мы в состоянии составить себе представление о характере поведенияГамма-функции в интервале ( 0 ; +∞ ) .+∞ИмеемΓ ′′( a ) =∫xa −1 − xe (ln x )2 dx .Ясно,что0Γ ′′( a ) > 0 и поэтому Γ ′( a ) строго возрастает в ( 0 ; +∞ ) .Так как Γ (1) = Γ ( 2) = 1 , то по теореме Ролля в интервале(1, 2) лежит точка c такая, что Γ ′( c ) = 0 . Следовательно, Γ ′( a ) < 0 при 0 < a < c и Γ ′( a ) > 0 при c < a < +∞ .Значит, сама функция Γ( a ) строго убывает в интервале( 0, c ) и строго возрастает в интервале ( c, +∞ ) . При этомlim Γ ( a ) = +∞ и lim Γ ( a ) = lim Γ ( n ) = +∞ .

В точкеa →+0a →+∞n→+∞a = c функция Γ( a ) достигает своего наименьшего значения. Можно показать, что c ≈ 1462.; Γ( c ) ≈ 0.886 .y54y = Γ(a)321a1 23 45Рис. 6.2. Графикфункции y = Γ( a )при a > 0График Гамма-функции представлен на рис. 6.2.Замечание 1. Пользуясь основным свойством (2) Гамма-функции и опираясь на определение (1) этой функции при п о л о ж и т е л ь н ы х значениях аргумента a , можно о п р е д е л и т ь Гамма-функцию и для о т р и ц а т е л ь н ы х значений аргумента. В самом деле, запишем формулу (2) в видеΓ( a ) =Γ ( a +1).a(9)Из (9) видим, что зная значение Гамма-функции при каком-нибудь значенииаргумента, можно вычислить ее значение при аргументе, уменьшенном на единицу.

Для этого нужно прежнее значение функции разделить на уменьшенноезначение аргумента.Если взять a , удовлетворяющее неравенствам −1 < a < 0 , то в правой части(9) Γ( a +1) будет функцией от положительного аргумента, значение которойопределено формулой (1), а в левой части (9) Γ( a ) будет функцией от отрицательного аргумента.

За значение Γ( a ) при a из промежутка ( −1, 0 ) п р и н и м а е м значениеΓ( a +1)в соответствии с формулой (9). Так, например,a13911Γ  − + 1 Γ   2  21Γ  −  === −2 π . 211−−22Если теперь взять a , удовлетворяющее неравенствам −2 < a < −1, то праваячасть формулы (9) будет содержать значения Гамма-функции при аргументахиз промежутка ( −1, 0 ) , уже определенные нами выше. Это дает возможность поформуле (9) определить значения Γ( a ) при −2 < a < −1. В силу этого определения будем иметь, например:13Γ  − + 1 Γ  −  2  2  −2 π 43π.Γ  −  ==== 23333−−−222Определив теперь значения Гамма-функции в промежутке ( −2, − 1) , мы,пользуясь формулой (9), сможем определить ее значения в промежутке( −3, − 2) , и т.

д. Так мы можем определить значения Гамма-функции при любых отрицательных не целых значениях аргумента a .Выше было отмечено, что Γ ( +0) = lim Γ ( a ) = +∞ . Из формулы (9) нахоa →+0дим, чтоΓ ( a + 1)= −∞ .aa →−0Γ ( −0 ) = limy543−5−4y = Γ(a)21−3 −2 −1 0−1a1 23 45−2−3Рис. 6.3. График функции y = Γ( a )Пользуясь этой же формулой (9), находим, что140Γ ( a + 1) Γ ( +0)= −∞ ,=−1aa →−1+ 0Γ ( a + 1) Γ ( −0 )= +∞ ,Γ ( −1 − 0) = lim=−1aa →−1− 0Γ ( a + 1) Γ ( −1 + 0 )= +∞ ,Γ ( −2 + 0) = lim=−2aa →−2+ 0Γ ( a + 1) Γ ( −1 − 0)= −∞Γ ( −2 − 0) = lim=−2aa →−2− 0Γ ( −1 + 0) = limи т.

д. Обычно это выражают словами так: Гамма-функция при нуле и при целых отрицательных значениях аргумента обращается в бесконечность (см.рис. 6.3).Замечание 2. Введенная в этом параграфе неэлементарная функция Γ( a )играет в математике важную роль. Для функции Γ( a ) составлены подробныетаблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшимиэлементарными функциями – показательной, тригонометрическими и т. д.Оказывается, что определенные интегралы различных типов могут быть выражены через Гамма-функцию.

В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов. Даже если функция имеет первообразную, являющуюся элементарной функцией, интеграл отэтой функции зачастую целесообразно вычислять, используя Гамма-функцию.§3. Примеры к главе 61Пример 1. Вычислить I = x a −1(1 − x c )b−1 dx ( a > 0 , b > 0 , c > 0 ).∫0cПоложим x = t ⇒ cxI=1 a −1 1− ct c t c (1 − t )b−1 dt1c∫01dx = dt ⇒ dx = tcc−1=1 a1 c −1t (1 − t )b−1 dtc∫01− cc dt .ТогдаaΓ   ⋅ Γ ( b)1 a1  c= Β  , b = ⋅.c c  caΓ  + bcВажно подчеркнуть, что здесь a, b, c – любые вещественные положительные числа, а значит, вообще говоря, неопределенный интеграл∫xa −1(1 − x c )b−1 dx является неэлементарной функцией.

Известно, что даже вслучае, когда a, b, c – рациональные числа, этот неопределенный интеграл является элементарной функцией лишь тогда, когда по крайней мере одно из чисел b ,a a, + b – целое.c c141π2∫ sinПример 2. Вычислить I =a −1x ⋅ cosb−1 x dx ( a > 0 , b > 0 ).0Запишем этот интеграл в виде1I=21=2π2π2∫ sina −2x ⋅ cosb− 2 x ⋅ 2 sin x cos x dx =0∫ (sin2x)a −22(2⋅ cos x)b− 22⋅ 2 sin x cos x dx .02Положим sin x = t ⇒ 2sin x cos x dx = dt . ТогдаI=1 a−1t2 ⋅12∫(1 − t )b−12 dt0abΓ   ⋅ Γ  221 a b1= Β  ,  =.2  2 2 2a+bΓ 2 В частности, при b = 1 будем иметь1aaΓ   ⋅ Γ  Γ   21  2   2π=⋅I = ∫ sin a −1 x dx =.221+1a+aΓΓ0 2  2 Важно подчеркнуть, что и в этом примере a, b – любые вещественные поπ2ложительные числа, а значит, неопределенный интеграл∫ sina −1x ⋅ cosb−1 x dxявляется, вообще говоря, неэлементарной функцией.+∞Пример 3.

Вычислить I =πПоложим x = t ⇒ x =dx∫ 1+ xπ .01πt11 −1и dx = t π dt . Следовательно,π1I=π+∞Мы знаем, что Β( a , b ) =∫0+∞ 1 π −1∫0tdt .1+ tt a −1dt . Значит, в нашем примере(1 + t )a + b 1 − 1 = a − 1,π1 = a + b,14211и b = 1 − . Имеем, таким образом,ππ1111π1I = Β  , 1 −  = ⋅=π ππ πsin 11sin  π ⋅  ππ, если 0 < a < 1 ).(так как Β( a , 1− a ) =sin πaоткуда a =+∞Пример 4.

Вычислить I =3Положим x = t ⇒ x =x ln x∫ 1 + x 3 dx .01t3,211 −dx = t 3 dt и ln x = ln t . Тогда33I=Введемврассмотрение19+∞ −∫0t13 ln t1+ tdt .Β( a , 1 − a ) =0t∫ 1 + t dt( 0 < a < 1 ).Имеем0+∞ a −1∫+∞ a −1tπ. Продифференцируем обе части последнего равенства по a .dt =1+ tsin πaПолучим+∞ a −1∫0t2⋅ ln tcos πadt = − π 2 ⋅ 2 , откуда при a = находим1+ t3sin πa+∞ −∫t0Тогда I =1 2 2 2 2⋅ π = π .9 32713 ⋅ ln t1+ t2π3 = 2 π2 .dt = − π ⋅2π 3sin 232cosЛитература1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.

2. –М.: Физматгиз, 1959.2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3. –М.–Л.: Физматгиз, 1960.3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 2. – М.: Высшая школа, 1981.4. Аксёнов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственныеинтегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 1999.143ОГЛАВЛЕНИЕГЛАВА 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.............3§1. Определение интегралов, зависящих от параметра ...............................................3§2. О допустимости предельного перехода по параметру под знакоминтеграла....................................................................................................................3§3.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)