Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

сходится.По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла+∞I ′( y ) = − ∫ xe0− αx 2⇒ u = sin xy⋅ sin xy dx = 2 dv = − xe − αx dx ⇒+∞du = y cos xy dx ,1 − αx 2  =v=e2αx =+∞yy1 − αx 2− αx 2=e⋅ sin xy−e⋅ cos xy dx = −I( y).∫2α2α2αx =00 441444244431424443=0=I( y)Итак, получили уравнениеI ′( y ) = −y⋅ I( y) ,2α(12)которое является обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находимI( y) = C ⋅ eгде С – постоянная интегрирования.Из (11) видим, чтоI ( 0) =+∞y24α ,−(13)2− αx∫ e dx .(14)0Если в (14) сделать замену t = α ⋅ x , то получим1I ( 0) =α+∞2−t∫ e dt .0В главе 3 (см.

§7) было получено+∞0I( 0) =1282−t∫ e dt =π. Следовательно,21 π. Положив теперь в обеих частях равенства (13) y = 0 , получим2 αC=1 π. Таким образом, окончательно будем иметь2 αI( y) =1 π⋅e2 α−y24α .(15)Глава 6. Эйлеровы интегралы§1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)Так называется интеграл вида1Β( a , b) = ∫ x a −1 ⋅ (1 − x )b−1 dx .(1)0Этот интеграл собственный, если одновременно a ≥ 1 , b ≥ 1 . Если же хотябы одно из этих неравенств нарушается, то интеграл (1) – несобственный.Покажем, что интеграл (1) сходится, если одновременно a > 0 и b > 0 .Видим, что подынтегральная функция в (1) имеет, вообще говоря, две особые точки: x = 0 и x = 1. Поэтому представляем (1) в виде:12Β( a , b ) =∫xa −1⋅ (1 − x )b−11dx +∫xa −1⋅ (1 − x )b−1 dx = I1 + I2 .0 4421424443 1144424443= I1= I212Рассмотрим интеграл I1 =∫xa −1⋅ (1 − x )b−1 dx .

Он – несобственный при0a < 1 . Особая точка x = 0 . Запишем подынтегральную функцию в видеb−11a −1b−1 (1 − x )f ( x ) = x ⋅ (1 − x ) =и введем функцию g ( x ) = 1−α . Так как1− αxxf (x)lim= lim(1 − x )b−1 = 1 при любом b (конечный, ≠ 0 ), то интегралыx→0 g( x )x →012∫ f ( x ) dx01212и∫ g( x ) dxсходятсяилирасходятсяодновременно.Но012dx∫ x1−α сходится лишь тогда, когда 1 − a < 1, то есть когда a > 0 .00Следовательно, I1 сходится при любом b и лишь при a > 0 .∫ g( x ) dx =1291Рассмотрим I2 =b∫xa −1⋅ (1 − x )b−1 dx .

Он – не-12собственный при b < 1. Особая точка x = 1. Подынтегральная функцияaf ( x ) = x a −1 ⋅ (1 − x )b−1 =g~ ( x ) =ПоложимРис. 6.1. К определениюБета-функцииx a −1.1− b(1 − x )1.1− b(1 − x )Имеемf (x)lim ~= lim x a −1 = 1 при любом a (конечный,x →1 g ( x )x →11≠ 0 ). Значит,∫ f ( x ) dx12111иdx∫ g~( x ) dx = ∫ (1 − x )1−bрасходятся одновременно. Но12∫ g~( x ) dx сходятся или12сходится лишь тогда,12когда 1 − b < 1 , то есть когда b > 0 . Следовательно, I2 сходится при любом a илишь при b > 0 .Вывод: Β( a, b ) сходится, если одновременно a > 0 и b > 0 .

Значит,0 < a < + ∞,– область определения функции Β( a, b ) (рис. 6.1).0<<+∞bУстановим некоторые свойства Бета-функции Β( a, b ) .1. Положим в (1) x = 1 − t . Тогда1Β ( a , b) = ∫ t b−1(1 − t )a −1 dt = Β ( b, a ) .0Видим, что Бета-функция – симметричная функция.2. Пусть b > 1. Применяя формулу интегрирования по частям, находим1Β( a , b) = ∫ xa −1(1 − x )0b −11dx = ∫ (1 − x )011b −1 xa d  = axab −1 α=(1 − x )b −1 +x (1 − x )b − 2 dx .∫aa001442443aТак как x = x130a −1−xa −1=0(1 − x ) , то будем иметь(2)11b − 1 a −1b − 1 a −1Β ( a, b) =x (1 − x )b − 2 dx −x (1 − x )b −1 dx =∫∫aa00 441444244431424443= Β ( a , b −1)=откуда= Β( a ,b )b −1b −1Β ( a, b − 1) −Β ( a, b) ,aaΒ ( a, b) =b −1Β ( a, b − 1) .a + b −1(3)a −1Β ( a − 1, b) .a + b −1(4)Так как функция Β( a, b ) – симметричная, то при a > 1 будет справедливаформулаΒ ( a, b) =Формулы (3) и (4) можно применять для «уменьшения» аргументов, чтобысделать их, например, меньше единицы.

Если b = n , где n – натуральное, >1,то, применяя формулу (3) повторно, получим:Β ( a, n ) =n −1n −1n−2Β ( a, n − 1) =⋅Β ( a, n − 2) = K =a + n −1a + n −1 a + n − 2n −1n−2n−31⋅=⋅⋅K⋅Β( a, 1) .a + n −1 a + n − 2 a + n − 3a +11xaНо Β( a , 1) = ∫ x a −1dx =a01=0Β ( a , n ) = Β ( n, a ) =1. Поэтомуa1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ K ⋅ ( n − 2) ⋅ ( n − 1).a ( a + 1)( a + 2 ) K ( a + n − 2)( a + n − 1)Если еще и a = m , где m – натуральное, то будем иметь( n − 1)!( m − 1)!( n − 1)!=.m ( m + 1)( m + 2 ) K ( m + n − 2)( m + n − 1)( m + n − 1)!3.

Получим для функции Β( a, b ) другое аналитическое выражение. Для этоyx1(⇒ y =). Тогда 1 − x =,го в (1) сделаем замену, положив x =1+ y1− x1+ ydydx =и, следовательно,(1 + y )2Β( m, n ) =+∞+∞y α −1dyy a −11Β ( a, b) = ∫⋅⋅= ∫dy .(5)b−1a +bα −121111(y)(y)(y)(y)++++004. Отметим без доказательства, что если b = 1 − a и если еще 0 < a < 1 (азначит, и 0 < b < 1), то131Β( a , 1− a ) =πsin πa(6)Соотношение (6) будет установлено позже (в теории функций комплексногопеременного).§2.

Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция)Так называется интеграл вида+∞Γ( a ) =∫xa −1⋅ e − x dx .(1)0Покажем, что интеграл (1) сходится при a > 0 . Для этого представим его ввиде+∞∫xa −10−x1⋅ e dx = ∫ xa −1 − x+∞e dx +∫xa −1 − xe dx .0 4243 11 42431= I2= I11Рассмотрим I1 = x a −1e − x dx . Отметим, что I1 – собственный интеграл, ес-∫0ли a ≥ 1 , и несобственный, если a < 1 (особая точка x = 0 ).

Подынтегральнаяфункцияf (x) = xa −1 − xee− x= 1− a .xf (x)lim= lim e − x = 1 (конечный, ≠ 0 ). Значит,x→0 g( x )x→01ся или расходятся одновременно. Нокогда 1 − a < 1, то есть когда a > 0 .+∞Рассмотрим I2 =∫xg( x ) =Положим11x1− a.1∫ f ( x ) dx и ∫ g( x ) dx01сходят-0dx∫ g( x ) dx = ∫ x1−α0Имеемсходится лишь тогда,0a −1 − xe dx .1x a +1Так как при любом a lim= 0 , то существует число k > 1 такое, чтоx →+∞ e xx a +1как только x ≥ k , так сейчас же будет, например, x < 1 . Но тогда при x ≥ kex a −1 1будет< 2 при любом a . Известно, чтоexx132+∞∫kdxсходится. Значит, иx2+∞∫xa −1 − xe dx сходится при любом a . Следовательно, сходится при любом a иkнесобственный интеграл I2 .Общий вывод: интеграл (1) сходится, если a > 0 , и расходится, если a ≤ 0 .Областью определения функции Γ( a ) является промежуток ( 0, + ∞ ) .Установим некоторые свойства функции Γ( a ) .1. Γ( a ) > 0 , a ∈( 0, +∞ ) .Это следует из выражения (1) для Γ( a ) .2.

Рассмотрим произведение a Γ( a ) . Имеем:+∞a Γ( a ) = a ∫ x+∞a −1 − xe dx = a0∫0 xa e d  . a−xПрименяя формулу интегрирования по частям, получим:xaa Γ ( a ) = a e − x ⋅a14243+∞0=0откудаa −xxedx∫ ,0142431+a+∞= Γ ( a +1)Γ ( a + 1) = a ⋅ Γ ( a ) .(2)Равенство (2) выражает так называемое основное свойство Гамма-функции.Пользуясь (2), получим при натуральном n и положительном a ( 0 < a < 1 )Γ ( n + a ) = ( n + a − 1) Γ ( n + a − 1) = ( n + a − 1)( n + a − 2 ) Γ ( n + a − 2) = K == ( n + a − 1)( n + a − 2 )( n + a − 3) ⋅ K ⋅ a Γ ( a ) .(3)Таким образом, значение Гамма-функции от аргумента n + a , большегоединицы, можно выразить через значение Гамма-функции от аргумента a ,меньшего единицы.

Поэтому таблица значений Гамма-функции обычно даетсялишь для значений аргумента между нулем и единицей.В частности, если в формуле (3) взять a = 1 и принять во внимание, что+∞Γ(1) =−x−x∫ e dx = −e0+∞0= 1 , то получимΓ( n + 1) = n ( n − 1)( n − 2 ) K 2 ⋅1 = n !.Таким образом, на Гамма-функцию можно смотреть как на обобщение понятия факториала натурального числа: Гамма-функция является продолжениемфункции a!, определенной только для целых положительных a = 1, 2, 3, K , навсю полуось a > 0 вещественных чисел.3. Покажем, что между Бета-функцией и Гамма-функцией существует следующая связь:133Β ( a, b) =Γ( a ) ⋅ Γ( b).Γ ( a + b)+∞∫xДля этого рассмотрим Γ( a + b ) =(4)a + b−1 − xe dx .

Сделаем в интеграле заме-0ну переменной, положив x = (1 + u ) z , где u – произвольное положительноечисло. Получим Γ( a + b ) = (1 + u )a +bΓ( a + b )=(1 + u)a + b+∞∫z0+∞∫za + b−1 − (1+ u ) zea + b−1 − (1+ u ) zedz , откудаdz .0Умножим обе части последнего равенства на ua−1 и проинтегрируем по u от 0до +∞ :+∞Γ( a + b ) ∫0+∞Но∫0ua −1du =(1 + u )a + b+∞  +∞∫0 ∫ z b ( uz )a −1 e − z e − uz dz  du . 0ua −1du = Β ( a, b) (см. §1, формула (5)). Следовательно, предыдущееa +b(1 + u )соотношение может быть записано в видеΓ( a + b) ⋅ Β ( a, b) =+∞  +∞∫0 ∫ z b ( uz )a −1 e − z e − uz dz  du . 0В повторном интеграле, стоящем в правой части, переменим порядок интегрирования.Здесь следует отметить, что мы (при определенных условиях) установилиправо переставлять два интеграла, из которых лишь один распространен на бесконечный промежуток.

Оправдывать такую перестановку в случае, когда обаинтеграла берутся по бесконечному промежутку, значительно сложнее. Обоснование возможности перемены порядка интегрирования в нашем повторноминтеграле интересующийся может найти в книге Л.Д. Кудрявцева «Курс математического анализа», т. 2, 1981.Поменяв порядок интегрирования, получаем+∞ +∞Γ ( a + b ) ⋅ Β ( a, b) = ∫ z e  ∫ ( uz )a −1 e− uz z du dz . 00Во внутреннем интеграле делаем замену uz = v :134b−1 − z +∞Γ( a + b) ⋅ Β ( a, b) = ∫ z+∞ +∞ a −1 − v b −1 − z ∫ ( v ) e dv  dz = ∫ z e Γ ( a ) dz = Γ ( a ) ⋅ Γ ( b) , 00b −1 − z e0откудаΓ( a ) ⋅ Γ( b).Γ ( a + b)Γ ( a ) ⋅ Γ (1 − a )В частности, Β ( a , 1 − a ) == Γ ( a ) ⋅ Γ (1 − a ) . Если 0 < a < 1 , то отΓ (1)Β ( a, b) =сюда получаем:Γ ( a ) ⋅ Γ (1 − a ) =π.sin πa(5)Формула (5) носит название формулы дополнения.1Пусть a = 1 2 .

Из формулы (5) находим Γ 2   = 2π= π и, следоваsin ( π 2)тельно,1Γ   = π . 2(6)Пользуясь соотношениями (3) и (6), получаем для любого n ∈ N11351 1Γ  n +  =  n −   n −   n −  K Γ   =2 2 2 2 2  2( 2 n − 1)( 2n − 3)( 2n − 5)K3 ⋅ 1( 2n − 1)!!=⋅π=⋅ π.nn224. Функция Γ( a ) непрерывна на промежутке ( 0, + ∞ ) .Возьмем любую точку a0 > 0 . Всегда можно указать промежуток [c, d ]( 0 < c < d < +∞ ) такой, что будет: c < a0 < d .Представим Γ( a ) в виде:+∞Γ( a ) =∫x1a −1 − xe dx = ∫ x0a −1 − x+∞e dx +∫xa −1 − xe dx = I1( a ) + I2 ( a ) .0 4243 11 42431= I1 ( a )= I2 ( a )1Рассмотрим I1( a ) = x a −1e − x dx . Имеем:∫00 < x ≤ 1,c ≤ a ≤ d ;1) f ( x , a ) = x a −1e − x непрерывна в области 12)1∫ f ( x, a ) dx = ∫ x0a −1 − xe dx сходится равномерно относительно a на про-0135межутке [c, d ] .В самом деле, для 0 < x ≤ 1 : x a ≤ x c ⇒ умножив обе части этого неравенст-e− x( > 0) , получим: x a −1e − x ≤ x c −1e − x (для 0 < x ≤ 1 и для c ≤ a ≤ d ).

Нова наx1интеграл∫xc −1 − xe dx сходится, если c > 0 . А тогда по признаку равномерной0сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, интеграл1I1( a ) = ∫ x a −1e − x dx сходится равномерно относительно a на [c, d ] . Следова0тельно, функция I1( a ) непрерывна на [c, d ] ⇒ I1( a ) непрерывна в точке a0 .+∞∫xРассмотрим I2 ( a ) =a −1 − xe dx .1Имеем:1 ≤ x < +∞,c ≤ a ≤ d ;1) f ( x , a ) = x a −1e − x непрерывна в области +∞2)+∞∫ f ( x, a ) dx = ∫ x1промежутке [c, d ] .a −1 − xe dx сходится равномерно относительно a на1В самом деле, для 1 ≤ x < + ∞ : x a ≤ x d ⇒ x a −1e − x ≤ x d −1e − x .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)