Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

По теореме об интегрировании по параметру под знаком собственного интеграла можем написатьdAA d dx .Ψ(y)dy=f(x,y)dxdyf(x,y)dy=∫ A∫  ∫∫∫cc aacdТеперь соотношение (2) может быть записано в видеA d dx .I(y)dy=limf(x,y)dy∫∫∫A→∞ ca cdНами установлено существование написанного здесь предела.

Но тогда мыдолжны обозначать этот предел так:+∞  d∫a ∫ f ( x , y ) dy  dx .cТаким образом, мы доказали сходимость несобственного интеграла, стояще119го в правой части (1), и справедливость равенства (1).§4. О дифференцировании по параметру под знаком интегралаТеорема. Пустьa ≤ x < +∞,непрерывна там иcyd,≤≤имеет непрерывную частную производную f y′ ( x , y ) ;1) функция f ( x , y ) определена в области +∞2) I ( y ) =∫ f ( x, y ) dx сходится при каждомy из [c, d ] ;a+∞3) Ψ( y ) =∫ f y′ ( x, y ) dx сходится равномерно относительноy на [c, d ] .aТогда:1) I ′( y ) существует при каждом y из [c, d ] ; +∞ ′ +∞2) I ′( y ) = Ψ( y ) , то есть  ∫ f ( x , y ) dx  = ∫ f y′ ( x , y ) dx ;ay a3) I ′( y ) ∈ C([c, d ]) .a ≤ x < +∞,Так как f y′ ( x , y ) непрерывна в области иc ≤ y ≤ d+∞∫ f y′ ( x, y ) dx схоaдится равномерно относительно y на [c, d ] , то Ψ( y ) ∈ C([c, d ]) (см.

теорему§2) иdzcc∫ Ψ( y ) dy существует. В частности, существует ∫ Ψ( y ) dy для любого z ,удовлетворяющего условию c ≤ z ≤ d . По теореме §3 имеемzz  +∞cc∫ Ψ( y ) dy = ∫  ∫zНо∫a+∞  zf y′ ( x , y ) dx  dy = ∫  ∫ f y′ ( x , y ) dy  dx .a cy=zf y′ ( x , y ) dy = f ( x , y ) y = c = f ( x , z ) − f ( x , c ) . Поэтомуcz+∞+∞ca 4243 1a 42431∫ Ψ( y ) dy = ∫ f ( x, z ) dx − ∫ f ( x, c ) dx = I ( z ) − I ( c ) ,=I(z)откуда120= I(c)zI ( z ) = ∫ Ψ( y ) dy + I ( c ) .(1)cВ правой части последнего равенства мы имеем интеграл с переменнымверхним пределом от непрерывной функции.

Следовательно, у правой частиравенства (1) производная по z существует и равна Ψ( z ) (см. теорему Барроу).Но тогда существует производная по z и y левой части равенства (1), причемI ′( z ) = Ψ ( z ) .(2)Равенство (2) установлено для любого z ∈[c, d ]. Оно может быть записано итак: I ′( y ) = Ψ( y ) , y ∈[c, d ] .Таким образом, доказано, что1) I ′( y ) существует при каждом y из [c, d ] ;2) I ′( y ) = Ψ( y ) , y ∈[c, d ] ;3) I ′( y ) ∈ C([c, d ]) , ибо Ψ( y ) ∈ C([c, d ]) .§5.

Признак равномерной сходимости несобственных интеграловТеорема. Пустьa ≤ x < +∞,и непрерывна там;cyd≤≤2) функция ϕ( x ) определена и непрерывна в [a, + ∞ ) ;3) f ( x , y ) ≤ ϕ ( x ) при всех значениях y из [c, d ] и x ∈[a, + ∞ ) .1) функция f ( x , y ) определена в области +∞Тогда, если несобственный интегралсходится, то несобственныйa+∞интеграл I ( y ) =∫ ϕ ( x ) dx∫ f ( x, y ) dx сходится равномерно относительноy на [c, d ] .a+∞Сходимость(и∫ f ( x, y ) dx при каждомпритомабсолютная)несобственногоинтегралаy из [c, d ] следует из признака сравнения.aВозьмем любое A, удовлетворяющее условию A > a , и закрепим его.

Затемвозьмем любое B, удовлетворяющее условию B > A . Имеем при всех значенияхy из [c, d ] :BBAA∫ f ( x, y ) dx ≤ ∫Bf ( x , y ) dx ≤ ∫ ϕ ( x ) dx .AОтсюда в пределе при B → +∞ при всех значениях y из [c, d ] получаем121+∞+∞∫ f ( x, y ) dx ≤ ∫ ϕ ( x ) dx .A(1)A+∞По условию,∫ ϕ ( x ) dx сходится, поэтомуaA+∞0 ⇔∫ ϕ ( x ) dx →∫ ϕ ( x ) dx ⇔  ∫ ϕ ( x ) dx − ∫ ϕ ( x ) dx  →A→+∞A→+∞aaaa+∞A+∞0.∫ ϕ ( x ) dx →A→+∞AПоследнее означает, что всякому ε > 0 отвечает число M > 0 такое, что как+∞только A > M , так сейчас же∫ ϕ ( x ) dx < ε .

Отметим, что здесь M зависитA+∞только от ε. В силу (1), при A > M и подавно будет∫ f ( x, y ) dx < ε сразу дляA+∞всех y из [c, d ] . А это означает, что∫ f ( x, y ) dx сходится равномерно относиaтельно y на [c, d ] .Замечание. Для несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра, имеют место теоремы, совершенно аналогичные теоремам §2–§5.§6. Примеры к главе 5Рассмотрим несколько примеров применения доказанных теорем к вычислению интегралов.Пример 1. Рассмотрим интеграл+∞I( y) =∫e−x⋅ sin xy dx .(1)0Имеем:+∞∫e0x =+∞−xye− x⋅ sin xy dx = −⋅(sinxy+ycosxy)=.21 + y21+yx =0(2)Используя равенство (2), найдем величины некоторых других интегралов.1. Отметим, что интеграл I ( y ) сходится равномерно относительно y на122любом промежутке [c, d ] . В самом деле, имеем: e − x ⋅ sin xy ≤ e − x для любого+∞y ∈[c, d ] и для всех x ∈[0, + ∞ ) ; интеграл−x−x∫ e dx = −e0x =+∞x =0= 1, т.е. схо-дится, тогда по теореме §5 I ( y ) сходится равномерно относительно y на промежутке [c, d ] .Отметим еще, что функция f ( x , y ) = e − x sin xy непрерывна в области0 ≤ x < +∞,Тогда по теореме §2 имеем:≤≤cyd.I ( y ) ∈ C([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R ([0, z ]) .(здесь положено c = 0 , d = z , где z – любое конечное).

По теореме §3+∞  zz  +∞−x−x∫  ∫ e sin xy dx dy = ∫  ∫ e sin xy dy dx .0 00 0Следовательно, интегрируя обе части равенства (2) по y от 0 до z , будемиметь+∞  z∫  ∫ e0zНо∫e−xsin xy dy = − e−x0zydy.sin xy dy  dx = ∫21y+0−x0cos xyxy=z= e− xy =0(3)1 − cos xz(это равенство установленоxдля x ≠ 0 ; оно верно и при x = 0 , если в этой точке понимать его в предельномсмысле:zlim ∫ ex→0−x0zsin xy dy = ∫ lim ( e − x sin xy ) dy = 0 ;0x →01 − cos xz2xz= lim e − x sin 2 = 0 ).2xxx→0x →0Тогда (3) для любого конечного z примет вид:lim e − x+∞∫e− x 1 − cos xzx02.

Имеем:0 ≤ x < +∞,c ≤ y ≤ d .1dx = ln (1 + z 2 ) ,.2f y′ ( x , y ) = ( e − x sin xy )′y = xe − x cos xy+∞+∞∫ f y′ ( x, y ) dx = ∫ xe0−xнепрерывна в областиcos xy dx сходится равномерно относи-0123тельно y на [c, d ] . В самом деле, xe − x cos xy ≤ xe − x для любого y ∈[c, d ] и+∞−x−x∫ xe dx = −( x + 1) ex ∈[0, + ∞ ) ;+∞0∫ xe−xx =+∞x =0= 1,т.е.сходится.Поэтомуcos xy dx сходится равномерно относительно y на промежутке [c, d ] .0Тогда по теореме §4′ +∞+∞ +∞ − x−x ∫ e sin xy dx  = ∫ ( e sin xy )′y dx = ∫ xe − x cos xy dx . 0y 00Дифференцируя по y обе части равенства (2), получим для любого конечного y+∞∫ xe−x01 − y2cos xy dx =.(1 + y 2 )2Пример 2. Рассмотрим интеграл+∞dx∫ x 2 + y 2 , y ∈[c, d ],0где [c, d ] – любой, но такой, что 1 ≤ c < d .I( y) =Имеем:+∞∫0(4)x =+∞dx1xπ==arctg, y ∈[c, d ] .22yy2yx +yx =0(5)И здесь, используя равенство (5), найдем величины еще некоторых интегралов.1.

Отметим, что интеграл I ( y ) сходится равномерно относительно y на11,≤x2 + y2 x2 + 1промежутке [c, d ] . Действительно, имеем:+∞x ∈[0, + ∞ ) ;∫0dx= arctg xx2 +1x =+∞x =0=y ∈[c, d ] иπ, т.е. сходится. Следовательно, I ( y )2сходится равномерно относительно y на [c, d ] .Отметим еще, что функция0 ≤ x < +∞,Тогдаcyd.≤≤124f ( x, y ) =1непрерывна в областиx + y22I ( y ) ∈ C([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R ([1, z ])(здесь положено c = 1, d = z , где z – любое конечное, z > 1).По теореме об интегрировании по параметру под знаком интеграла (см.

§3)z  +∞+∞  zdy dxdy=∫  ∫ x 2 + y 2 ∫  ∫ x 2 + y 2  dx .1 00 1Следовательно, интегрируя обе части равенства (5) по y от 1 до z , будемиметь+∞  zzdy∫ dx = ∫ π dy .22 x +y 2y11∫0(6)1zy=zarctg x − arctg xdyy1Но ∫ 2= arctg=(это равенство установлено для2xxxx +yy =11x ≠ 0 ; оно верно и при x = 0 , если в этой точке понимать его в предельномzсмысле:zzzzdydy1 11lim ∫ 2= ∫  lim 2= 1− z , dy = ∫ 2 = −22y1x→0 x + yy x →0 x + y 111( z − 1) x( z − 1) xz1arctg 2arctg x − arctg x2xz++ z = 1 − 1 ).xlim= lim= limxxxzx→0x →0x→0Тогда (6) для любого конечного z ≥ 1 примет вид+∞ arctg z − arctg 1xx dx = π ln z .x2∫02. Имеем: 1 ′2yf y′ ( x , y ) =  2=−( x 2 + y 2 )2 x + y2  y0 ≤ x < +∞,(1 ≤ c < d ).c ≤ y ≤ d+∞непрерывна в области+∞−2 y∫∫ ( x 2 + y 2 )2 dx сходится равномерно00относительно y на [c, d ] .

В самом деле, для y ∈[c, d ] и x ∈[0, + ∞ )−2 y2d≤ 2,а22 2(x + y )( x + 1)2f y′ ( x , y ) dx =+∞2d∫ ( x 2 + 1)2 dx сходится. Тогда по теореме о диффе0ренцировании по параметру под знаком интеграла (см. §4)125′ +∞′+∞ +∞ dx  1 −2 y∫ = ∫dx=dx .∫2222 2 x2 + y2 +x+yxy() 0y 0y0Дифференцируя по y обе части равенства (5), получим+∞−2 ∫0откуда+∞∫0y dxπ=− 2,22 2(x + y )2ydxπ=, y ∈[c, d ] .24 y3( x2 + y2 )(7)Аналогично обосновывается возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла левой части (7).

Тогда, дифференцируя по y обе частиравенства (7), находим+∞∫0−4 y3π 1dx = − ⋅ 4 , y ∈[c, d ] ⇒22 34 y(x + y )+∞dx3π 1∫ ( x 2 + y 2 )3 = 16 ⋅ y 5 ,y ∈[c, d ] .0Пример 3. С помощью дифференцирования по параметру вычислитьπ2I( y) =∫0ln1 + y cos x dx⋅, | y| < 1 .1 − y cos x cos x(8)Возьмем любую точку y0 ∈( −1, 1) . Всегда можно указать число γ 0 > 0такое, что будет [−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ] ⊂ ( −1, 1) и точка y0 ∈( −1 + γ 0 , 1 − γ 0 ) .−1 −1+γ00y01−γ0 1y 1 + y cos x  ⋅ 1 = 2 y конечен, то функция 1 − y cos x  cos xТак как lim ln πx→ −02~f ( x , y ), x ∈[0, π 2 ), y ∈[−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ],f ( x , y ) = x = π 2 , y ∈[−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ] 2 y,0 ≤ x ≤ π 2 ,1 + y cos x  1, непрерывна в области где f ( x , y ) = ln ⋅ 1 − y cos x  cos x −1 + γ 0 ≤ y ≤ 1 − γ 0 ,причемπ2I( y) =∫0~f ( x , y ) dx .Последнее выражение для I ( y ) – собственный интеграл, зависящий от пара126метра y .~Имеем: f y′ ( x , y ) =2непрерывна в области1 − y 2 cos2 x0 ≤ x ≤ π 2 , −1 + γ 0 ≤ y ≤ 1 − γ 0 .По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, находимπ2I ′( y ) =∫0+∞=∫0 tg x = t ⇒ x = arctg t , 2 dx=dt1 =222dxx==;cos1 − y cos x221+ t1+ t 2 dt2tarctg=⋅(1 − y 2 ) + t 21 − y21 − y2y ∈[−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ] .В частности, существует I ′( y0 ) , причем I ′( y0 ) =любая из ( −1, 1) .

Следовательно, I ′( y ) =πI( y) = ∫1− y2π1− y2t =+∞=t =0π1−y02π1− y2,. У нас точка y0 –, y ∈( −1, 1) . Тогдаdy = π ⋅ arcsin y + C , y ∈( −1, 1) .(9)Здесь C – постоянная интегрирования. Из (8) видим, что I( 0) = 0 . Положив теперь в обеих частях равенства (9) y = 0 , получим 0 = 0 + C , откуда C = 0 . Таким образом, окончательно получаемI ( y ) = π ⋅ arcsin y , y ∈( −1, 1) .(10)Пример 4. С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл+∞2I ( y ) = ∫ e − αx ⋅ cos xy dx , α > 0 .(11)0Имеем:0 ≤ x < +∞,где [c, d ] –c≤y≤d,21) f ( x , y ) = e −αx ⋅ cos xy непрерывна в области любой промежуток, и имеет там непрерывную частную производную2f y′ ( x , y ) = − xe − αx ⋅ sin xy .+∞2) Интеграл I ( y ) =2− αx∫ e ⋅ cos xy dx ( α > 0 ) сходится (и даже равномерно0относительно y на промежутке [c, d ] ).127+∞3) Интеграл∫0+∞2f y′ ( x , y ) dx = − ∫ xe − αx ⋅ sin xy dx сходится равномерно отно-сительно y на промежутке [c, d ] .022В самом деле, f y′ ( x , y ) = − xe − αx ⋅ sin xy ≤ xe − αx для любого y ∈[c, d ] идля всех x ∈[0, + ∞ ) , а интеграл+∞∫ xe− αx 201dx = −2α+∞∫e− αx 201 − αx 2d ( −αx ) = −e2α2x =+∞x =0=1,2αт.е.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)