Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145 (1111231), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Вычислить I = ∫ 1 − 2 cos  dx +  sin + cos  dy , где ( AB –xx xx( AB  xлюбая кривая, соединяющая точки A(1, π ) и B( 2, π ) и не пересекающая осьOy .Здесьy2A By yyyyπP( x , y ) = 1 − 2 cos ; Q( x , y ) = sin + cos ;xx xxx2yy y2y∂P ∂Q== − 2 cos + 3 sin , x ≠ 0 .x xx∂y ∂xx∂P ∂QxВидим, что P( x , y ) , Q( x , y ) ,,определены и не∂y ∂x1 2прерывны на всей плоскости Oxy , кроме точек, лежащихРис.

3.27.∂P ∂QК примеру 3на оси Oy , и чтодля x ≠ 0 . Следовательно, I=∂y ∂xне зависит от формы пути ( AB . Требуется только, чтобы ( AB не пересекалаось Oy . А раз так, то возьмем, например, в качестве ( AB прямолинейный отрезок, соединяющий точки A и B (см. рис. 3.27). Так как( AB = 1 ≤y x=≤π2, ⇒ dy = 0 ,то будем иметь2x =2 π2ππ= 1+ π .I = ∫ 1 − 2 cos  dx + 0 =  x + π sin xx  x =1x183§5. Площадь плоской фигуры в криволинейных координатах1°. Вычисление площади плоской фигуры при помощи криволинейногоинтеграла второго рода.Пусть ( K ) – простой, замкнутый самонепересекающийся контур, ограничивающий область ( D ) .1) Пусть область ( D ) такая, что прямыми, параллельными оси Oy , она может быть разложена на конечное число областей типа I.

Рассмотрим криволи-нейный интеграл∫ y dx (это – частный случай интеграла ∫ P dx + Q dy , когда(K )P≡ y, а(K )∫ y dxQ ≡ 0 ). ПреобразуяпоформулеГрина,получим(K )∫ y dx = − ∫∫ dxdy = − FD(K )⇒(D )FD = −∫ y dx .(1)(K)2) Пусть теперь область ( D ) такая, что прямыми, параллельными оси Ox ,ее можно разложить на конечное число областей типа II. Рассмотрим криволинейный интеграл∫ x dy(это – частный случай интеграла(K )P ≡ 0,Q ≡ x ).Преобразуя∫ P dx + Q dy , когда(K )∫ x dyпоформулеГрина,получим:(K )∫ x dy = ∫∫ dxdy = FD(K )⇒(D )FD =∫ x dy .(2)(K )3) Пусть, наконец, область ( D ) такая, что прямыми, параллельными осиOy , она может быть разложена на конечное число областей типа I, а прямыми,параллельными оси Ox , – на конечное число областей типа II. Тогда будут верны одновременно формулы (1) и (2). Сложив соответствующие части этих формул, получим2 FD =∫ x dy − y dx(K )84⇒ FD =12∫ x dy − y dx .(K)(3)2°.

Формула для площади плоской фигуры в криволинейных координатах.Пусть в плоскостях Oxy и Oξη расположены области ( D ) и ( ∆ ) с простыми контурами ( K D ) и ( K ∆ ) . Если дано правило, которое каждой точке ( ξ, η)из ( ∆ ) сопоставляет о д н у и т о л ь к о о д н у точку ( x , y ) из ( D ) , причем каждая точка ( x , y ) из ( D ) оказывается сопоставленной о д н о й и т о л ь к о о д н о йточке из ( ∆ ) , то говорят, что между точками областей ( D ) и ( ∆ ) установленовзаимно-однозначное соответствие.yη(∆)( D)(K D )O(K ∆ )xξOа)б)Рис.

3.28. К выводу формулы для площади в криволинейных координатахЕсли ( ξ, η) и ( x , y ) есть взаимно-соответствующие точки, то x = x ( ξ, η), y = y ( ξ, η).(4)Уравнения (4) есть уравнения преобразования ( ∆ ) в ( D ) . В силу взаимной однозначности соответствия между точками областей ( D ) и ( ∆ ) , система (4) однозначно разрешима относительно ξ и η . Поэтомуξ = ξ( x , y ),(5)(x,y).η=ηВпредь функции x( ξ, η) , y( ξ, η) будем считать непрерывными в ( ∆ ) , афункции ξ( x , y ) , η( x , y ) – непрерывными в ( D ) . Покажем, что тогда непрерывные кривые, лежащие, например, в ( ∆ ) , преобразуются в непрерывные кривые, лежащие в ( D ) .В самом деле, пусть ( λ ) – непрерывная кривая, лежащая в ( ∆ ) , и пусть ееξ = α( t ), где α( t ) , β( t ) – функции, опрепараметрические уравнения такие: η = β ( t ),деленные и непрерывные в промежутке [ p, q] .

Тогда точки, соответствующиеточкам кривой ( λ ) , имеют координаты:85 x = x (α( t ), β ( t )), y = y (α( t ), β ( t )).(6)Так как правые части в уравнениях (6) есть функции непрерывные в промежутке [ p, q] , как суперпозиции непрерывных функций, то заключаем, что непрерывная кривая ( λ ) преобразуется в непрерывную же кривую ( l ) , лежащую вобласти ( D ) .Задача. Зная область ( ∆ ) и формулы преобразования области ( ∆ ) в областьx = x ( ξ, η),( D ) : найти площадь FD области ( D ) . y = y ( ξ, η),Решать эту задачу будем при следующих предположениях.1) Обе области ( ∆ ) и ( D ) прямыми, параллельными координатным осям,разлагаются на конечное число областей как типа I, так и типа II.2) Контуру ( K ∆ ) соответствует контур ( K D ) , причем положительному обходу ( K ∆ ) соответствует определенный (положительный или отрицательный)обход ( K D ) .3) Функции x( ξ, η) и y( ξ, η) имеют в ( ∆ ) непрерывные частные производ-ные первого порядка xξ′ , x η′ , yξ′ , y η′ , а одна из этих функций имеет в ( ∆ ) непрерывные смешанные производные второго порядка.

Пусть, например, в ( ∆ )существуют и непрерывны yξη′′ и y ηξ′′ (⇒ y ηξ′′ = yξη′′ в ( ∆ ) ).4) Определитель J ( ξ, η) =xξ′ x η′всюду в ( ∆ ) сохраняет знак ( J ( ξ, η) –yξ′ y η′определитель Якоби, или якобиан).Решение. Мы знаем, что FD =∫ x dy . Выразим этот криволинейный инте-( KD )грал через обыкновенный определенный интеграл. Пусть параметрическиеξ = α( t ),уравнения контура ( K ∆ ) такие: t ∈[ p, q] , где α( t ) , β( t ) – функции,η = β ( t ),определенные на [ p, q] и имеющие там непрерывные производные α ′( t ) , β′( t ) .Тогда параметрические уравнения контура ( K D ) будут такими: x = x (α( t ), β ( t )),t ∈[ p, q] .α(),β(),=yytt()Пусть для определенности изменению t от p до q соответствует положительный обход контура ( K D ) .

Тогда86q[]FD = ∫ x (α( t ), β ( t )) ⋅ yξ′ (α( t ), β ( t )) ⋅ α ′( t ) + yη′ (α( t ), β ( t )) ⋅ β′( t ) dt .p(7)Рассмотрим теперь следующий криволинейный интеграл второго рода по контуру ( K ∆ ) :I=∫ x(ξ, η) ⋅ [ yξ′ (ξ, η) dξ + yη′ (ξ, η) dη] .(8)( K∆ )Чтобы выразить I обыкновенным определенным интегралом, нужно использовать параметрические уравнения контура ( K ∆ ) .

Сделав это, мы придем в точности к интегралу, стоящему в правой части (7), если только положительныйобход контура ( K D ) соответствует положительному обходу контура ( K ∆ ) . Если же положительный обход контура ( K D ) соответствует отрицательному обходу контура ( K ∆ ) , то мы получим интеграл стоящий в правой части (7), взятый со знаком «минус». Таким образом,FD = ± I .(9)Преобразуем интеграл I (см. (8)) по формуле Грина∫ P( ξ, η) dξ + Q(ξ, η) dη =( K∆ ) ∂Q − ∂P  dξdη .∫∫  ∂ξ ∂η(∆)У нас в I : P = x ( ξ, η) ⋅ yξ′ ( ξ, η) , Q = x ( ξ, η) ⋅ y η′ ( ξ, η) .

Значит,∂Q= xξ′ ⋅ y η′ + x ⋅ y ηξ′′∂ξ∂P= x η′ ⋅ yξ′ + x ⋅ yξη′′∂η⇒∂Q ∂P−= xξ′ ⋅ y η′ − x η′ ⋅ yξ′ = J ( ξ, η) .∂ξ ∂ηПоэтомуI=∫∫ ( xξ′ ⋅ yη′ − xη′ ⋅ yξ′ ) dξdη = ∫∫ J (ξ, η) dξdη .(∆)(∆)А, следовательно,FD = ± ∫∫ J ( ξ, η) dξdη .(∆)У нас по условию J ( ξ, η) всюду в ( ∆ ) сохраняет знак. Поэтому, принимая вовнимание, что FD > 0 , можем написатьFD =∫∫ J ( ξ, η) dξdη .(10)(∆)Из рассуждений, проведенных выше, следует, что J ( ξ, η) > 0 тогда, когдаположительный обход контура ( K D ) соответствует положительному обходу87контура ( K ∆ ) и что J ( ξ, η) < 0 тогда, когда положительный обход контура( K D ) соответствует отрицательному обходу контура ( K ∆ ) .К двойному интегралу, стоящему в правой части (10), применим частныйслучай теоремы о среднем. Получим.FD = J ( ξ, η ) ⋅ F∆ , где ( ξ, η ) ∈( ∆ ) .(11)Из (11) находимFD= J ( ξ, η ) .

Станем сжимать область ( ∆ ) по всем направF∆лениям в некоторую точку ( ξ, η) (тогда ( ξ, η ) → ( ξ, η) ). В силу непрерывностиотображения область ( D ) будет при этом сжиматься в точку ( x , y ) , которая соответствует точке ( ξ, η) . Следовательно,FD.F∆ →0 F∆J ( ξ, η) = limТаким образом, модуль якобиана есть коэффициент искажения площадей припереходе из плоскости Oξη в плоскость Oxy .Замечание. Формула (10) остается верной и в том случае, когда взаимнооднозначное соответствие между точками областей ( D ) и ( ∆ ) нарушается намножестве точек, лежащих на конечном числе простых кривых. При этом предполагается, что якобиан J ( ξ, η) остается ограниченным всюду в ( ∆ ) .§6.

Замена переменных в двойном интегралеПусть между точками областей ( D ) и ( ∆ ) установлено взаимно- x = x ( ξ, η),однозначное соответствие посредством формул Считаем, что вы y = y ( ξ, η).полняются все условия, указанные при выводе формулы для площади плоскойфигуры в криволинейных координатах.Пусть в области ( D ) задана непрерывная функция f ( x , y ) . Мы знаем, чтотогда существует двойной интеграл I =∫∫ f ( x, y ) dxdy . Требуется выразитьI(D )через некоторый двойной интеграл по области ( ∆ ) .Составим интегральную сумму Римана для двойного интеграла I . Дляэтого произвольной сетью простых кривых нужно разбить область ( D ) на части ( D1 ) , ( D2 ) , K , ( Dn ) ; в каждой части ( Dk ) взять произвольную точкуn( x k , y k ) , и тогда σ = ∑ f ( x k , yk ) ⋅ FDk .k =188Заметим, что, проводя в ( D ) сеть простых кривых, мы, в силу однозначности отображения, будем проводить также сеть простых кривых в области ( ∆ ) ,так что ( ∆ ) разобьется на части ( ∆1 ) , ( ∆ 2 ) , K , ( ∆ n ) .По формуле для площади плоской фигуры в криволинейных координатах,имеемFDk =∫∫ J ( ξ, η) dξdη .(∆k )Применяя к двойному интегралу, стоящему в правой части, частный случайтеоремы о среднем, получимFD = J ( ξ k , ηk ) ⋅ F∆ , где точка ( ξ k , ηk ) ∈( ∆ k ) .kkА тогдаnσ = ∑ f ( x k , y k ) ⋅ J ( ξ k , ηk ) ⋅ F∆ .kk =1Было отмечено, что у нас двойной интеграл I существует.

Следовательно,lim σ = I п р и л ю б о м в ы б о р е т о ч е к ( x k , y k ) в ( Dk ) . В частности, в качеλ→0стве точек ( x k , y k ) можно взять точки, соответствующие точкам ( ξ k , ηk ) , т. е.положить xk = x ( ξ k , ηk ) , y k = y ( ξ k , ηk ) . При таком выборе точек ( x k , y k ) будем иметь:n()σ = ∑ f x ( ξ k , ηk ), y ( ξ k , ηk ) ⋅ J ( ξ k , ηk ) ⋅ F∆ .k =1kСумма, стоящая здесь в правой части, есть сумма Римана для двойного интегралаI* =∫∫ f ( x( ξ, η), y( ξ, η)) ⋅ J (ξ, η) dξdη ,(∆)причем I* существует, ибо подынтегральная функция в нем есть функция непрерывная в ( ∆ ) .Отметим, что, измельчая дробление в ( D ) , мы тем самым будем измельчатьдробление и в ( ∆ ) , ибо функции, осуществляющие взаимно-однозначное отображение областей ( D ) и ( ∆ ) друг на друга, есть непрерывные функции. Нотогда σ → I* при λ → 0 .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)