С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

а" о" О ... О 1 Следовательно,при переходе к новой системе координат матрица В пре- образуется так: В = сг"Все, откуда с1е1 В = (с1еФ о) с1е1 В = (с1еФ сг';: е1е1 В = с1еФ В, так как матрица о — ортогональная. Теорема доказана. Глава 5 НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ В 1. 'Унитарное пространство 1. Основные свойства. Унитарное пространство — это прямое обобщение евклидова пространства на случай линейного пространства над полем С. Поэтому иногда его называют комтиексн м евклидовым пространством; тт-мерное унитарное пространство обозначают так: 11ч. Весконсчномерное унитарное пространство играет фундаментальную роль в квантовой механике. Определение.

Линейное пространство над полем С называется унитарным, если длл любой упорядоченной пары его векторов х и у определена операция скалярттого умттоэкетт я, ставящал ей в соответствие комплексное число (х, у). При этом: 1' длл любых х, у имеет место равенстлво (х,у) = (у,х) (черта означает комплексное сопряжение); 2' для любых х у г имеет место равенство (х+у я) = (х и) + (у я); 3' длл любых х, у и любого числа Л имеет место равенство (Лх, у) = = Л(х, у); 4' для любого х имеет, место неравенство (х, х) > О, причем (х, х) = = О тогда и только тогда, когда, х = о.

Замечание 1. Знак г>» в утверждении 4' может вызвать недоумение не ясно, как его понимать применительно к комплексным числам. В действительности речь здесь и не идет о комплексных числах. В самом деле, согласно 1', (х, х) = (х, х), поэтому число (х, х) — вещественное. Замечание 2. Определенное указанным способом скалярное произведение уже нс является билинейной формой. Действительно, (х, у+ я) = = (у+ в,х) = (у,х) + (в,х) = (х,у) + (х,я), однако (х, Лу) = (Лу,х) = = Л (у,х) = Л(х, у) ф Л(х,у) (вообще говоря).

Теорема. Длл любых ее»тавров х, у имеет место неравенство ~(х,у)~~ < (х,х)(у,у) (неравенство Катни-Буняковского). Доказательство. Согласно 4' для любых векторов х, у и любого числа Л имеет место неравенство (Лх — у, Лх — у) > О. В соответствии с замечанием 2, преобразуем это неравенство так: (Лх — у, Лх — у) = Л(х, Лх — у) — (у, Лх — у) = = ЛЛ(х, х) — Л(х, у) — Л(у, х) + (у, у) = = !Л~~(х,х) — Л(х,у) — Л (х,у) + (у,у) > О. 139 Упитарное пространство Полагая Л = ' 1 (нри (х, у) = О справедливость неравенства (х, у) / (х,у) ! Коши-Буняковского не вызывает сомнения), где 1 — произвольное вещественное число, получаем: (х, х)1з — 2)(х, у))1+ (у, у) > О.

Из произвольности 1 следует, что дискримннант левой части неноложителен; ~(х,у)! 2 — (х, х) (у, у) < О, что и требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е. В унитарном пространстве можно ввести понятия длины вектора (~х~ =;/(х,х)), ортонормированного базиса в 15" и ортогонального дополнения надпространства 1 пространства ГЗ". Правда, доказательство существования ортонормированного базиса здесь выглядит иначе — ведь скалярное произведение в этом пространстве уже не является билинейной формой.

Это, впрочем, не мешает провести доказательство, применяя к произвольному базису процесс ортогонализации (гь 2 9 2 гл. 4). Не составляет труда перенести на случай унитарно1 о пространства и результаты, полученные в пн. 3 и 4 3 2 гл.4. Прн этом следует иметь в виду, ьчто в роли матрицы Ае" здесь выступает матрица А . Так, например, альтернатива Фредгольма для системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами формулируется следующим образом: либо система линейных уравнений Ах = Ь имеет решение при любит Ь, либо система — и А х = о имеегп нетривиальное решение.

2. Нормальный оператор. Как и прежде, будем говорить, что оператор А' называется сопряженны ао отношению к оператору А, если для любых векторов х, у имеет место равенство (Ах, у) = (х, А'у). Нетрудно доказать, что оператор А* является сопряженным по отношению к оператору А тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе мат— е1 раца А* равна А — это утверждение доказывается точно твк же, как для евклидова пространства (н. 1 93 гл.4). Из этого, в частности, следует, что для любого оператора А существует единственный оператор А", причем (А')* = А. Введем теперь новое понятие. Определение.

Оператор А называется нормальнылс если АА" = = А*А. Теорема 1. Если оператор А — нормальный и Ах = Лх, то А'х = = Лх. Доказательство. Равенство Ах = Лх можно переписать так: (А— — ЛЕ)х = о или ((А — ЛЕ)х, (А — ЛЕ)х)) = О. Но ((А — ЛЕ)х,(А — ЛЕ)х)) = ((А' — ЛЕ)(А-.ЛЕ)х,х) = = ((А — ЛЕ)(А" — ЛЕ)х, х) = ((А' — ЛЕ)х, (А' — ЛЕ)х)). Следовагельно, А" х = Лх. Теорема доказана. '1'еорема 2. Для любого нормального оператора существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Доказательство.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о собственных векторах самосопряженного оператора !'л 5. 140 Некоторые обобщения в Ж". Прежде всего заметим, что если х -- собственный вектор нормального оператора А, у 1х, то Ау1х. В самолз деле, (х, Ау) = (А'х,у) = = (Лх, у) = Л(х, у) = О. Таким образом, ортогональное дополнение к л.(х) является инвариантным подвространсгвом оператора А. Дальнейшие рассуждения дословно совпадают с соответствующей частью доказательства теоремы о собственных векгорах самосопряженного оператора в Ж" (т.

2 и. 4 3 3 гл. 4). Следствие. Для любого нормального оператора А существует такой артонормироеанный б зис, в котором его матрица диагоп льна, причем диагональными элементами являются его собственные значения. 3 а м е ч а н и е. Справедливо и обратное утверждение; если существует ортояормироааппый базис, е котором матрица оператора диагональзю, та этот оператор -- пормальныи поскольку в указанном базисе и АА", и А*А представляют собой диагональную матрицу с диагональными элементами ~оп~~. 3. Унитарный оператор. Определение.

Оператор А называется унитарным, если длл любых векторов х, у имеет место равенство (Ах, Ау) = (х, у). Замечание. Поскольку унитарный оператор не меняет скалярного произведения, то любой ортонормированный базис он переводит в ортонормированный базис. Опираясь на аналогию с ортогональным оператором, можно сказать, что это в каком-то смысле соответствует повороту и отражению относительно координатных плоскостей. Точно так же, как для ортогонального оператора в:Е", доказывается, что оператор А лаллетсл унитарным тогда и только тогда, когда А" = = А .

Из этого, в свою очередь, следуст,что: -1 1' любой унитарный оператор лвллетсл нормальным; 2' е ортонормироеатзом базисе матрица унитарного оператора удовлетворяет равенству А з = А — ь Отметим, что матрица, удовлетворяющая равенству А = А, называется унитарной. Нри помощи унитарн х матриц осуществллетсл переход от, одного ортонормироеанного ба,зиса к другому (доказательство эгого узверждения полностью аналогично доказательству соответствующего утверждения для ортогональных матриц в Кч ). Из этого, в частности, следует, чзо произведение двух унитарных матриц является унитарной матрицей. Теорема. Все собственные эначен л унитарного оператора по модулю равны 1. Доказательство.

Пусть А' = А г, Ах = Лх. Имеем: А" Ах = = Ех = х. С другой стороны, согласно теореме 1 п. 2, А'Ах = А*Лх = = ЛА'х = ЛЛх. '! ем самым, ЛЛ = )Л)~ = 1, что и требовалось доказать. С л с д с т в и е. В базисе иэ собстветзых еекторое матрица упи тарного оператора имеет еид 0 ечм ... 0 Псевдоевклидово пространство 141 поскольку любое комплексное число Л можно представить в виде Л = )Л)е*'. 4. Самосопряжеииый оператор.

Оператор А называется самосопрязхенным или зрмитовым, если А* = А. Ясно, что в ортонормированном базисе его матрица удовлетворяет равенству: А = А . Отметим, что матрица А, обладающая этим свойством, называется зрмитовой. Непосредственно из определения следует, что самосонр женный оператор является нормальным оператором.

Теорема. Все собственные значения самосопряженного оператора вещественные. /(оказательство. Пусть А' = А, Ах = Лх. Согласно теореме 1 п.2 А'х = Лх. Тем самым, Л = Л, что н требовалось доказать. й 2. Псевдоевклндово пространство 1. Определение. Снова вернемся к линейному пространству над полем К, но введем теперь скалярное произведение иначе — без требования положительной определенности. Определение 1.

Линейное пространство Ь" над полем К называется псевдоевклидовым, если в нем фиксирована некоторал симметричнал билинейная форма (х, у) ранга и, называемая скалярным про введением. Определение 2. Пусть й — полохсительный индекс инерции квадратичной формы (х, х), и, следовательно, (и — й) — ее отрицательный индекс инерции. Пара чисел (й, и — й) называетсл сигнатурой псевдоевклидооа пространства.

Характеристики

Список файлов книги