С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Иногда этот тензор называют теизором типа (р, $7), а число р+$1— его валснтиостью или рангом. Обратим внимание на то, что числа р и д представляют собой количества нижних и верхних индексов 1, что является формальным следствием принятого нами соглашения о суммировании. Тем самым, можно сказать, что вектор — это тензор типа 10, 1), линейный оператор — тензор типа 11111), линейная форма — тснзор типа (1, О), билинейная форма — тензор типа (2,0), полилинейная форма -- тензор типа (йг О). Замечание.
Полезно в качестве самостоятельного упражнения убедиться в корректности определения тензора: если сначала перейти от базиса (е ) к базису (е',1, а затем от базиса (е'$) — к базису (е.;1, то результат будет таким же, как при переходе от базиса (е;) непосредственно к базису (е,). 2. Сумма тензоров одинаковой структуры. О п ре де лен не. Суммой А+В двух тензоров типа(р, $1) называется объект С, определяемый в каждом биисс пространства 1Р совокупностью и"тч чисел с '"' ' = а '"' ' + 6 "" '. гг .Лр $1. Лр $1.,.гр' Теорема.
Сумма двух тензорвв типа (р, д) является тсизором типа (р,д). Доказательство. Имеем; -Зг" М вЂ” Р,, ~гг...чч гг,.Лр $1.,.$» Вг . Вр — гх*1 ов~ згзг $«зч 1 ""ч + „»1 „в»гззг Глзч~ 1.. $« $1 ''' гр $1''' гч Вг...з„г ''' гр 1''' -ч Вг...з„ гр Рг ''' Рч Вг...рр ' Вг..гр $1 ''' гр Рг ''' Рч Вг...чр Теорема доказана. 3. Прямое произведение тензоров. Определение. Прямым произведением тензора А типа (рз,«1з) иа теизор В типа (рт,дз) называется объект. С, определяемый в каждом 119 Тензоры базисе пространства 1 и совокупностью пг' ч»! чтг 2»2 чисел ,21'''Зч! 'З21 22 б '' Зч! 6221 1'"221 !' 2 с ' =а '!" 1Р1" гр1.!Р2 г1" гр1 1Р1 1 "лр1.Р Т е о р е м а.
Прямое произведение тензора А типа (рг, дг) на тензор В пшпа (рю 212) является те!мором типа (р! + рч, у! -'р 92). Доказательство. с~ ои У" !'2 = аг лнбг" г„...гр ..Лр р. 11..ЛР гр Р1..ЛР гр„ в! Рм,»2! лгн г'1" 'ч! Рр!Р1 Ур Р1 — ' Р2 лгч! ! ! лгч! 122 1 ч! ! 1' »1 ! 22 Ы».рг Мчч! ! .. ~~21-22!'Рм+!.
РР!Ррг 21 21 Р!Р Р1РР2Д31 ч ''' гр! 'р! ! ' 121!Рч 121 лг 1-1 л! ! — 22 21» Рп 132! !1 Зч! 12 Д ч! ч! !' '' ' 21! 22 !" Рг~гр!Р1. лр1РР2 „в! „Вю „Вргвг „Вр! Ррг лв! лгч! лгчгв! ллгчгрчг 21 —.Рн".Рчгвчг что и требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е. Если все компоненты тензора типа (р, д) в каждом базисе умножить на одно и го же число Л, т.е, составигь прямое произведение данного тензора и тензора типа (Ог О) г то получится тензор типа (р, ц). Ясно, что множество всех тензоров типа (р, 21) в 1 " образует линейное пространство, так как при фиксированном наборе индексов складываются н умножаются на число обычные числа.
Его размерность равна и" '», поскольку координаты тензора в одном базисе могут быть выбраны произвольно, а в любом другом базисе —. вычислены по формулам (9). 4. Свертка тензора. Определение. Сверчпкой тензора типа (р, д), где р, ц > 1, по двум индексам, один из которых нижний, а другой — верхний, назъгвается обвект, определяемый в каждом базисе пространства Ь" совокупностью и"+» ' чисел, которые строятся так; указанные индексы переобозначаются одной буквой, в результате чего сверху и снизу оказывается одип и тот же индекс и, следовательно, по нему производится суммирование. Теорема.
Свертка гпензора А типа (р, д) яв яется тензором типа (р — 1, ц — 1). Доказательство. Пусть, например, свертка осуществляется по первым индексам (в остальных случаях доказательство аналогичное). Имеем: 932 Зч 222 Зч 21 Р лв !»22 12.. гр 212...гр В г! ! г! ! !'ч В!...В! Поскольку о„'1,32 = б ', то из суммы по з! остается одно слагаемое— то, в котором з! = г!. Тем самым, бгг" 22 вг вр !»22 !»22 г !г Р..рч в* ~р г»вг г»вчб г "гч 12 гр 12 ''' гр! 12 '' "г РЧ 2122...ВР 12 ''' 1Р 22 ''' РЧ 22...ВР! что и требовалось доказать.
Гл 3. Преобразование базисов и координат 120 Замечание 1. Теперь при желании можно полностью перейти на язык тензоров, отказавшись от употребления слов «векторз, «линейная форма», «линейный оператор» и т. д. Приведем несколько примеров. Рассмотрим тензор аз гила (1, 0) (линейную форму) и тензор хз типа (0,1) (вектор).
Их прямое произведение а,хз — это тензор типа (1, 1). Следовательно, его свертка а,хз —. это тензор типа (О, 0), т.е. число, не зависящее от выбора базиса (оно представляет собой значение линейной формы А при аргументе х). Другой пример: если Ь,. — тензор типа (2, 0) (билинейная форма), хз и у' — тензоры типа (О, 1) (векторы), то Ь,.хзуз это тензор типа (0,0), т.
е. число, не зависящее от выбора базиса (оно представляет собой значение билинейной формы при аргументах х,у). Аналогично, если аз — тензор типа (1, 1) (линейный оператор), х'— тензор типа (О, 1) (вектор), то аз х' — это тензор типа (О, 1) (вектор, представляющий собой результат действия линейного оператора на вектор х). Замечание 2. Линейный оператор — это тензор типа (1, 1), поэтому его свертка а, '— это тензор тина (О, 0), т. е, число, не зависящее от выбора базиса. Это число обозначается эр А и называется следом оператора А.
Оно предо«валяет собой сумму диагональных элементов матрицы оператора. Тем самым, ар А, равно как и с1еб А (и. 2 3 2), не зависиг от выбора базиса. Это ясно и из других соображений. Собственные значения оператора, очевидно, не зависят от выбора базиса. Следовательно, от выбора базиса не зависят и коэффициенты характеристического уравнения, поскольку они выражаются через корни этого уравнения. Но вр А — это коэффициент при Л!" з з, а с1ес А — это коэффициент при Л". 5. О билинейной форме. Теорема 1. Ранг магарицы билинейной формы нс зависит вт выбора базиса. Доказательство. Поскольку 6, = а,'а;"Ь„., т.е.
В = а'"Ва, то гапя В < газ«я В. С другой стороны, В = 6'"Вб, откуда ганя В < ганя В. Следовательно, ганя В = ганя В. Теорема доказана. Определение 1. Рангом билинейной формы называется ранг ес матрицы. Теорема 2. В линейном пространстве над полем К знак определителя матрицы билинейной формы нс зависит вт выбора базиса.
Доказательство. Поскольку В = а"Ва, то «1е1 В = «1ег аз «1еб В, причем «1еб ез ~ О. Теорема доказана. Определение 2. Билинейная форма В (х,у) называепзся симлзстричной, если при всех х,у имеет место равенство В(у,х) = В(х, у). Теорема 3. Билинейиаяфврма симметрична тогда и только тогда, когда ее магарица симметрична„т.е. Ьц = б,. Доказательство. Если билинейная форма В(х, у) симметрична, то Ь,. = В(ем е ) = В(е, е,) = 6 з.
Обратно, если Ь,. = Ь ц то В(у, х) = = бцу'хз = Ьцхз у' = 6 «х'уз = Ьцх'уз = В(х, у). Теорема доказана. Квадратичные формы 121 Следствие. Если матрица тснворл типа (2, 0) (билинейной формы) с мстрична в одном базисе (т.е. эта билинейная форма симметрична), то ояа симметрична и в любом другом базисе.
Такой тензор называется симметричным тснвором типа (2, 0). Отметим, что матрица липсйпого оператора аналогичным свойством не обладает: если она и окажется в каком-то базисе симметричной, то в другом базисе она, вообще говоря, уже не будет симметричной. й 4. Квадратичные формы 1. Матрица квадратичной формы. Определение 1. Квадратичной формой называется выражение В(х, х), где В(х, у) — билинейная форма. Теорема. Каэкдал квадратичтшя форма моэтсст быть получена из симмстричиой билинейной формы., причем такая билипейная форма определяется единствснн м абра,том.
Д о к аз а тел ь с т во. Допустим, что данная квадратичная форма В(х, х) получена из билинейной формы В(х, у). Тогда зта же квадратичная форма может быть получена и из симметричной билинейной формы А(х, у) = — (В(х, у) + В(у, х)). С другой стороны, есзи одна и те же квадратичная форма получена из двух симметричных билинейных форм, т.е. А(х,х) = В(х,х), то А(х,у) = В(х,у).
В самом деле, из равенства А(е, + е,,е, + ел) = В(е, + е,, е, + еу) следует, что А(е„е,) + 2А(е„е,) + А(е„е,) = = В(е„ел) + 2В(е, е,) + В(е, е1), откУда А(ее е,) = В(е„е,), т.е. а, = Ь, . Теорема доказана. Определение 2. Матрицсй кеадратпичной формы называетсл матлрица той симметричной билинейной формы, из которой она получена. Замечание. Так как матрица квадратичной формы в любом базисе совпадает с матрицей соответствующей ей симметричной билинейной формы, то квадратичная форма — этв симметричный тензор типа (2, 0).
2. Метод Лагранжа. Определение. Базис линейного пространства над полем 1ч (С), в котором квадратичная форма имеет вллд А(х,х) = Л,(л*), где Л,— одно из чисел 1, — 1, 0 (1, 0), называстпся каноническим. Теорема. Для любой квадратичной формы сутцсствуст капонический базис.
Доказательство. Запишем выражение А(х, х) = а; х'х1 в каком- нибудь базисе и воспользуемся методом математической индукции. Если в выражении а; л'ху решльно не фигурирует ни одной переменной л*, т. е. А(х,х) = О, то данный базис (как, впрочем, и любой другой) является каноническим. Допустим, что теорема доказана для случая, кол да в выражении алтл'хл реально фигурируют (и — 1) переменных, и докажем, что тогда она верна !'л 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
