С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Определение. Число Л называетсл собственн м значением оператора А, если существует ненулевой вектор х, длл копшрого Ах Лх: вектор х при этом называетсл собственны веюпором оператора А, соответстоующим собственному значению Л. Множество всех собственных значений оператпора называетсл его спектром. В построенном базисе ег, ез, имеет вид 0 0 0 0 0 0 ег, ез,ез, ез матрица данного оператора 3 1 2 1 10000 01000 00000 00010 00000 00000 Операторы, действующие иэ Ь в Ь 107 Примером собственного вектора оператора может служить ненулевой вектор его ядра — он соответствует собственному значению Л = О.
Замечание 1. Если х — собственный вектор, соответствующий собственному значению Л, то рх при р ф О также собственный вектор, соответствующий собственному значению Л, поскольку Арх = рАх = Лрх. Тем самым, собственных векторов, соответствующих одному и тому же собственному значению, бесконечно много. Замечание 2. Если Л вЂ” собственное значение оператора А, то Л+ р — собственное значение оператора А + дЕ.
В самом деле, пусть х — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению Л. Тогда (А + рЕ)х = Ах + рх = (Л + р)х, что и требоввгюсь доказать. Таким образом, можно сказать, что спектр оператора А + рЕ представляет собой спектр оператора А, «сдвипутый» па р. Те о р е м а. Собственные векторы., соответствующие различным собстве»»»«ым эначепиям, линейно независимы.
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Если речь идет об одном собственном значении, то утверждение теоремы очевидно. Допустим, что теорема доказана для й собственных значений, и докажем, что тогда она верна и для к+1 собственного значения. Предположим, что некоторая линейная комбинация соответствующих этим собственным значениям собственных векторов равна о: (2) о»хг +...
+ оьхь + ояэ»хьэ» = о. Докажем, что все ог = О. Имеем: А(огхг + ... + оьхв + оььгхььэ) = = о»А(х») х... + оьА(хь) + оь, »А(хь, ») = о, или ог мх»+...+оьльхь+оььэльэгхьь» = о. Вычитая из этого равенства равенство (2), умноженное на Ль» ы получаем: ог(Л» — Льэг)х» -ь... + оь(Ль — Льь,)хь = о. По предположению индукции, о» = ... = оь = О (Л, — Ляьг ф О, поскольку все Л попарно различны). Но тогда из равенства (2) следует, что и оьэ» = О. Теорема доказана. С л е д от в и е. Количество различных собственных значений оператора не превьпиает размерности того пространства, в котором он действует (так как количество соответствующих им линейно независимых собственных векторов не превосходит размерности этого пространства). Замечание. Если в пространстве Ь" сущесглвуеп» базис из собппве»тых вектпоров оператора А, то матрица операпшра А в этом базисе диагональна, т.е, а, = О при всех» ~ Л при"»ем ее диагональные элеменгпы являются гобствени ми значениями.
В самом деле, в базисе из собственных векторов к-й столбец матрицы А равен А(еь) = Льеь, т, е, предсзавляет собой вектор, х-я координата которого равна Ль, а все остальные — нулю. Рл 2. Линейные операторы Обратно, если в некотором базисе матрица оператора А диагональна, то этот базис состоит из его собственных зектпоров, а диагопальные элементы матрицы лзллютсл собшпвенными значениями, поскольку в этом случае А(еь) = ааьеы 6. Характеристическое уравнение.
Итак, число Л является собственным значением оператора А тогда и галька тогда, когда существует вектор х ~ о, для которого Ах = Лх, т. е. (А — ЛЕ)х = о. Однородная система линейных уравнений (А — ЛЕ)х = о имеет негривиальные решения х тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю: (аы — Л) аю .. а|„ аз> (азз — Л) , , аг„ =0 а„1 а г ... (а„„ — Л) Это уравнение и-й степени относительно Л называется хараюперистическъм уравнением.
Ему удовлетворяет любое собственное значение Л,и, обратно, любое его решение Л является собственным значением. Замечание 1. Если речь идег о линейном пространстве над полем К, то последняя фраза требует уточнения: любое вещественное решение характеристического уравнения является собственным значением. Поскольку, согласно основной теореме алгебры, всякое уравнение и-й степени имеет ровно и корней, в том числе комплексных и совпадающих, то в линейном пространстве над полем К линейный операгор может вообще не иметь собственных значений, но в п-мерном линейном пространстве над полем С у него всегда ровно и собственных значений (среди них, конечно, могуг быгь и совпадающие).
В этом состоит самое главное различие между указанными пространствами. Замечание 2. Отметим, что в линейном пространстве надполемК каэхдому комплексному корню хара ктерисгпического уравнения (не являющемуся вещественным) соотошпетоует доумериое инвариантное подпростраиетво соответствующего оператора. В самом деле, пусть Л + ьр — один из таких корней (р ~ 0).
Поскольку дех(А — (Л + ер)Е) = О, то однородная система Ах = (Л + ер)х имеет нетривиальное решение х = х + гу: А(х + гу) = (Л -~- гр)(х + гу), или Ах + гАу = Лх — ду + е(Лу х рх), откуда находим: Ах = Лх — ру)( Ау = Лу -~- рх) Тем самым, Ь(х,у) — инвариантное подпространство оператора А. Осталось доказать, что это надпространство — двумерное, т.е. доказать, что векторы х и у линейно независимы. Заметим, что из условия р г'= 0 следует, что у у: 0 (иначе из второго уравнения получилось бы, что х = = о, в то время как ~х~~ + ~у~~ р- 0).
Поэтому из линейной зависимости векторов х и у следует существование вещественного числа щ для которого Операторы, действуюигие из Ь в Ь 109 х = оу. В этом случае наши уравнения преобразуются так: оАу = Лиу — ту ) Ау = Лу+роу откуда, исключая Ау, получаем р + роэ = О, чего не может быть (д у. -О, а число о — вещественное). Следовательно, векторы х и у линейно независимы. Замечание 3. Обратимся к резулгавтам пп. 3, 4. Представим пространство Ь", в котором действует оператор А, в виде прямой суммы 1 е 10 1, где 1 е = нег ш1 Ат, 1 = пи А"'. Выберем такой базис пространства Ь", в котором матрица оператора А имеет вид А=(о с) где В и С матрицы операторов, являющихся сужениями оператора А на инвариантные надпространства Ье и Ь соответственно, а матрицы Ог и 0э состоят из нулей.
При этом В"' = О, с1есС и О. Сверх того, без ограничения общности будем считать, что часть выбранного базиса, содержащаяси в пространстве Ьо, состоит из непополнимых серий и, следовательно, матрица В имеет вид Орг 0 0...0 0 0 0 рг0...0 0 00 00.. Орь1 00 0 0...0 0 где числа р; равны либо 1, либо О. Напи1пем характерис гическое уравнение пес(А — ЛЕ) = О и разложим г1еЦА — ЛЕ) сперва по первому столбцу, затем — по второму и т.д., вплоть до К-го. В результате получим: (— — Л)ь с1е1(С вЂ” ЛЕ) = О. Учитывая, что с1еФС р'. -О, мы приходим к следующим выводам: 1' размерноппь ь' просгпранппва 1 о равна кратносгпи корпя Л = О хараюперистического уравненил длл оператора А; 2' прострпнство Ь" представляет собой прямую сумму двух инвариантных надпространств Ьв и Ь, сужение оператпора А на первое из которых имеет единственное собственное значение Л = О, а па второе— не имеет собственного значения Л = О.
7. Жорданова форма матрицы линейного оператора. Определение 1. Иатрица Ль вида называетсл жордановой клеткой. В частности, жордановой клеткой является матрица, состоящая из единственного элемента Ль. Операторы, действующие иг Ь в Ь Подпространства Ье и Г, будучи инвариантным относительно оператора (А — ЛЕ), инвариантны и относительно оператора А, так как Ах = = ГА — ЛЕ)х+ Лх.
Спектр оператора А представляет собой спектр оператора (А — ЛЕ), «сдвинутыйь на Л (см. замечание 2 п. 5). Поэтому матрица А при соответствующем выборе базиса может быть записана в виде (О С)' причем все собственные значения оператора В равны Л, а все собственные значения оператора С отличны от Л, что, в частности, означает, что количество попарно различных из них равно Гг. Тем сапным, матрица оператора В может быть приведена к жордановой форме в силу ранее доказанного, а матрица оператора С вЂ” по предположению индукции.
Теорема доказана. Замечание 1. Доказанная теорема верна и в линейном пространстве над полем К, если все корни характеристического уравнения для оператора А вещественны. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на приведенное доказательство под соответствующим углом зрения. Замечание 2. Вектор х", для которого при некотором натуральном к выполняются два соотношения: Г (А — ЛЕ)"хь ф о, 2' ГА — ЛЕ)"тлхь = о — называется присоединенным вектором оператора А й-го порядка, соответствующ м собственному значению Л.
Этот вектор, тем самым, является вектором некоторой серии оператора (А — ЛЕ) длинь1 не меньшей (Ге+ + 1), а собственный вектор оператора А является «присоединенным вектором нулевого порядкаь. Приведенное доказательство теоремы показывает, что базис, в котором матрица оператора А имеет лсордапову форму, состоит из его собственных и присоединенных векторов. В частности, если оператор А не имеет присоединенных векторов, т. е. если при каждом собственном значении Л длины всех серий оператора ГА — ЛЕ) равны 1, то указанный базис состоит лишь из собственных векторов оператора А. В таком базисе матрица А диагональна. Замечание 3.
Идею доказательства этой теоремы можно использовать на практике. В самом деле, указанным способом можно сперва построить часть искомого базиса для одного собственного значения, затем — для другого н т, д, Приведем пример. Предположим, что требуется привести матрицу оператора А= 4 ООб З2 — 4 к жордановой форме. Будем рассуждать следующим образом. Характери- стическое уравнение имеет вид (Л вЂ” 1)'ГЛ + 1)' = О. Оно имеет два корня; Л = 1 н Л = — 1. Кратность каждого из эгих корней равна 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
