С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Преобразование базисов и координат 122 и для и реально фигурирующих переменных х', ..., х". Возможны два случая. 1'. Коэффициент при (х~)з, т.е. аы, отличен от нуля. Сгруппируем все слагаемые, в которые входит х~, и дополним их до полного квадрата. В результате получим 2 А (х, х) = а„(х + "х' +... + ' х") +В (х, х) = аы (у) +В (х, х), аы атт где В(к, х) — квадратичная форма, не содержащая хд и, следовательно, по предположению индукции, имеющая канонический базис. Для завершения доказательства. тем самым., осталось положить ( эттаы ыУ пРи аы ) О, (или просто х = этажу). ~ зтт — ам у при аы (0 2'. аы = О.
В этом случае при некотором т аы ф 0 (иначе переменная хз не входила бы в выражение а; х'хз). Полагая хз = у' + у', х' = ут — у', мы сведем стоящую перед нами задачу к случаю 1', поскольку слагаемое 2аых'т' превратится в разность 2аг,(ут)з —. 2ам(у')з. Теорема доказана. Замечание 1. Идею доказательства этой теоремы можно использовать на практике.
В самом деле, указанным способом можно сперва привести данную квадратичную форму к виду А (х, х) = 1« (хг) +В (х, х), где В(х, х) квадратичная форма, не содержащая х, затем применить ту же идею к квадратичной форме В(к, х) и т. д. Такой метод нахождения канонического базиса квадратичной формы называется методом Лагранжа Замечание 2. Название «канонический базис» может ввести взаблуждение — может показаться, что такой базис только один.
На самом деле это не так. Например, если искать канонический базис методом Лагранжа, начиная с х, а не с х~, то результат окажется, вообще говоря, другим. 3. Закон инерции. Начиная с этого места и до конца параграфа мы будем рассмагривать только линейные пространства над полем В.
Определение 1. Квадратичная или билинейная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого х ф о А(х,х) ) 0 (( 0). Определение 2. Полоэюительным (отрицатель»«ым, пулевым) индексом инерции квадратичной формы в каком-либо ее каноническом базисе н зывается количество положительных (отрицатпельных, нулевых) диагональных элементов (т.е. элементов ан) ее матрицы в этом базисе. Замечание. Нулевой индекс инерции квадратичтюй формы не зависит от выбора канонического базиса (поскольку он равен п — гапк А).
Те о р е м а. Положительный индекс инерции квадратичной формы равен макс малиной размерности надпространства, в котпором она является положительно определенной. Квадратичные формы 123 Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что в некотором каноническом базисе квадратичная форма имеет вид А(х,х)=(х') +...+(хч) — (х'-+ ) —...— (х+э ) (в противном случае базисные векторы можно перенумеровать).
Ясно, что в подпространстве Т (е!, ...., еь ) эта квадратичная форма является положительно определенной. Допустим, что существует надпространство 1 ь ', в котором она также положительно определена. !'азложим каждый базисный вектор йй этого надпространства по базису (е,) и представим его в виде д, = д,' + д"„ где д,'.
Е Ь (е„...,еь ), дв Е Т (еь эг, ...,е„). Векторы д,' линейно зависимы их (й г + 1) в й.г-мерном пространстве. Поэтому существует их нетривиальная линейная комбинация, равная о. Следовательно, линейная комбинация векторов я, с теми же коэффициентами дает ненулевой вектор (поскольку векторы я, линейно независимы)х пространства Ь (еь, эг, ..., е„), а значит, А(х, х) < О. Тем самым, мы пришли к противоречию — нашли ненулевой вектор х Е Т.е ' чз, для которого А(х, х) ( О. Теорема доказана. Следствие 1. Положительный индекс инерции не зависит вт выбора канонического базиса.
Следствие 2. Отрицательный индекс инерции пе зависит вт выбора канонического базисщ так как от него не зависит величина йэ + й = ганя А. Итак, все три индекса инерции не зависят от выбора канонического базиаь Это свойство, называемое законом инерции квадратичных форм, дает основание для следующего определения.
Определение 3. Вид, кшпврый прин маета квадратичная форма в совем каноническом базисе, называется ее каноническим видом. 4. Критерий Сильвестра. Условимся называть угловым минором матрицы ее минор, расположенный в левом верхнем углу. Теорема (кригперий Сильвестра). Квадратичная форма является пвложигаельнв определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны. Доказательство. Допустим сначала, что квадратичная форма является положительно определенной, и докажем, что все угловые миноры ее матрицы положительны. Воспользуемся методом математической индукции.
В одномерном пространстве справедливость утверждения очевидна. Предположим, что оно справедливо в и-мерном пространстве, и докажем его справедливость в (и + 1)-мерном пространстве. Поскольку квадратичная форма положительно определена, в частности для векторов подь пространства В(е! ....., е„) ( 2 а, х'х! > О), то все угловые миноры г,г=1 ее матрицы, вплоть до и-го порядка, положительны по предположению индукции. Но и ее определитель больше нуля — в каноническом базисе он 124 Преобразование базисов и координат равен 1 (так как йэ —— и + 1), а знак определителя матрицы билинейной, а значит н квадратичной, формы не зависит от выбора базиса.
Допустим теперь, что все угловые миноры матрицы квадратичной формы положительны, и докажем, что эта квадратичная форма является положительно определенной. Вновь воспользуемся методом математической индукции. В одномерном пространстве справедливость утверждения очевидна. Предположим, что оно справедливо в и-мерном просгранстве, и докажем ого справедливость в (и + 1)-мерном пространстве. По предположению индукции данная квадратичная форма положительно определена для векторов подпространства 1 (еы ...,е„) и, следовательно, ее положительный индекс инерции не меньте п. Но если он равен п, го в каноническом базисе определитель ее матрицы неположительный, а знак определителя матрицы квадратичной формы нс зависит от выбора базиса.
Поэтому он равен и + 1, что и требовалось доказать. Следствие. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда угловые миноры ее матрицы четного порядка положительпы, а нече7пного отрицательны. В самом деле, квадратичная форма а,, хиез является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда квадратичная форма ( — а, )хилз положительно определена. Глава 4 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО й 1. Длины и углы 1. Определение евклидова пространства. Определение.. Линейное пространство над полем К называется евклидоаым, если а нем зафиксироаана пекогаорая симметричная положительно определенна билинейная форма С(х, у),.
называемая ска рным произведением (х,у). Билинейную форму (х, у) = дл х'уэ иногда называют также метрическим тензором; п-мерное евклидова пространство обозначаечся так: Е". 3 а м е ч а н и е. Определение евклидова пространства в развернутом виде можно сформулировать чак: линейное пространство над полем 11 называется езклидозым, если для любой упорядоченной пары его векторов х и у определена операция скалярного умножения ставящая ей в соответствие вещественное число (х, у).
При этом: 1' длл любых х, у имеет место равенство (х, у) = (у, х); 2' для любых х, у, к имеет место равенство (х+у, к) = (х, к) + (у, к); 3' для любых х, у и любого числа Л иллеет место равенство (Лх, у) = = Л(х, у): 4' для любого х имеет место неравепстзо (х, х) > О, причем (х, х) = = О тогда лл только тогда, когда х = о. 11еречисленные утверждения составляют!П группу аксиом Бейля. Теперь отчетливо видно, что зти лаксиомыь в действительности таковыми не являются.
Ясно также, что поскольку в линейном орос гранстве имеется бесконечное количество симметричных, положительно определенных билинейных форм (их столько же, сколько симме гричиых матриц, удовлетворяющих критерию Сильвестра), то каэкдое линейное пространство может быть сделано евклидовым, причем бесконечным числом способов. 2. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема. Для любых двух элементов х, у ез аидова пространства имеет место неразентпео (х, у) г < (х, х) (у, у). Доказательство. Из определения скалярного произведения следует, что для любых векторов х, у и любого числа Л имеет место неравенство (Лх — у, Лх — у) > О, или Лч(х, х) — 2Л(х, у) + (у, у) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
