С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Из произвольности Л следует, что квадратное уравнение Лг(х,х) — 2Л(х, у) + (у, у) = = О имеет не более одного корня Л (иначе в интервале между корнями Лг(х,х) — 2Л(х, у) + (у, у) < О), т.е. его дискримииант неположителен: (х, у) — (х,х)(у, у) < О, что и требовалось доказать. !'л 4. Евклидова пространство 126 3 а м е ч а н и е. Установленное нами неравенство в отечественной литературе называется неравенством Коши — Буг якооского, хотя, видимо, правильнее было бы называть его неравенством Коши — Буняковского — Шварца, поскольку в мировой литературе в указанном контексте можно встретить любые комбинации из этих трех фамилий.
3. Длина вектора. Определение. Длиной вектора х называется число )х! = хДх, х). Ясно, что число ~х~ — вещественное. 3 а м е ч а н и е. В новых обозначениях неравенство Коши — Буняковского можно записать так: ~(х, у)~ < ~хйу(. Те о р е ма. 1' Для любого х имеет место неравенство ~х~ > О, причем ~х = О пгогда и только тогда, когда х = о; 2' для любого вектора х и любого числа Л имеет место равенство (Лх( = >Л)(х~; 3' для любых х, у меепг место неравенство ,'х + у < (х) + (у( (неравенство треугольника).
Доказательство. 1'. Справедливость этого неравенства вытекает непосредственно из определения. 2'. Имеем: (Лх! = ° У(Лх, Лх) = хУЛг (х, т) = )Л~(х!. 3'.Имеем: /х+у г = (х+у,х+у) = /х/~->!у!~-г2(х,у) (/х!~-~- у + + 2 (х у)/ < /хР + !у!г + 2!х/!у! = (/х/ + /у )г, откуда !х+ у~ ( /х~ + у . 3'еорема докззана. Замечание. Линейное пространство, каждому элементу х которого ставится в соответствие вещественное число ~х~ (или йх~~) так, что имеют место свойства 1' — 3', называется нормироеанн м просгпранстеом, а число ~х~ (или ~хО) — нормой х. Поэтому можно сказатгч что евклидова пространство является нормированным пространством с нормой ~х = Лу(х, х). 4.
Угол между векторами. Определение 1. Углом между ненулевыми векторами х и у называется величина р (О < р < и), опредсляемая из уравнения сов р =, (х, у) ,'х (у) Из неравенства Коши — Буняковского следует, что угол определен для любых двух ненулевых векторов. Определение 2. Веюпоры х и у н зываются ортогон льными (х.~ у), если (х, у) = О. Сделаем несколько очевидных замечаний. Замечание 1. х4 х тогда и только тогда., когда х = о. Замечание 2. Если вектор ортогонален нескольким вектора, то он ортогонален и любой их линейной комбинации. Замечание 3. Если хну, то )х 1 у(а = (х+ у х + у) = ~х~ .+ ~у~ (теорема Пифагора). 3 а м е ч ан не 4. Ненулевые попарно ортогопальпые векторы линейно независимы. Ортонормированный базис 127 В самом деле, пусть хы ...,ха — ненулевые попарно ортогональные векторы. Допустим, что Л'хь = о.
Умножая это равенства скалярно на х, (1 = 1, ..., й), получим Л' = О, что н требовалось доказать. й 2. Ортонормированный базис 1. Существование ортонормироввиного базиса. Из последнего за- мечания предыдущего пункта следует, что упорядоченная совокупность и попарно ортогонвльных единичных векторов в Ж" (если, конечно, она су- ществует) образует базис. Он называется ортопормированным базисом. Теорема. В Кн существует орта~армированный базис. Д о к аз а тел ь с т во. Пусть в некотором базисе скалярное произведение выражается формулой (х, у) = д, х'уэ.
Этой симметричной билинейной форме соотвегствует положительно определенная квадратичная форма (х, х), матрица которой в каноническом базисе единичная. Следовательно, в этом базисе матрица билинейной формы (х, у) также единичная: д,э =(е„е) = О (1 при 1=у', Теорема доказана. ( О при 1ч з. 3 а м е ч а н и е 1. Поскольку в ортонормированном базисе до (1 при 1=э, то (х,у) = х~у + ... + х"у". В частности, (О при 1фз, ~х 2 — (х1)2 + ь (х )2 Замечание 2. Разложение вектора по ортонормированному базису выглядит твк: х = (х, ег)ег +... + (х, е„)е„(чтобы убедиться в спра- ведливости этого равенства, достаточно скалярно умножить обе его части наем полагая 1 = 1, ..., и).
Определение. Пусть 1 — линейное надпространство простран- ства Е", еы .,.,еь — арто армированный базис в этом пространстве. Вектор у = (х, ег)ег +... + (х, еь)еь пазываегасл проекцией вектора х на подврострапство Ь. Замечание. Ясно, что вектор я = х — у ортогонален каждому из векторов еы ...,еь, а значит н любой их линейной комбинации, т.е. ортогонален любому вектору подпросгранства Ь. 2.
Ортогонвлизация. Рассмотрим такую задачу; как, знал какой-нибудь базис (е,) пространства ':Е", построить ортопврмироваяпый базис этпого пространства? Можно, конечно, поступить так: найти матрицу д; (е„е.), а затем построить канонический базис квадратичной формы А(х, х) = д;эх'ху — он и будет ортонормированным. Па практике, однако, чаще поступают иначе. Положим ег = егДег,'. Затем, вычитая из вектора ез его проекцию на надпространство 1 (ег) и обозначая результат через из, положим ез = = иэДиэ~. Далее, вычитая из вектора ез его проекцию на надпространство Ь (ем ее) и обозначая результат через из, положим ез = йз!Мз~, и т д.
Продолжая этот процесс, мы получим, в конце концов, ортонормированный базис (е;). Этот прием называется ортогонализацисй. !'л 4. Евклидова прострапствв 128 3. Ортогональное дополнение. Определение. Пусть 1 — линейное надпространство првстран- стваЖ". Мнвзтсествв 1 х веет, веь..терев пространства К", вртвгвна ьных всем вектпврам надпространства Ь., называетгя ортогональным двпв 1нением надпространства 1. Т е о р е м а. Ортогональное даава~ение линейнвгв ивдарвстра истаа Ь~ ирвстрапства Е" явллетсл аннет!ным ивдпрвстранстввм размерности и — Й.
Доказательство. Пусть еы ...,е„— вртонормирвванный базис пространства К", ны ...,нь — произвольный базис пространства Ь"з Разложим каждый из векторов и» по базису !те,): н» = у~е .. Столбцы матрицы С, будучи координатами линейно независимых векторов н„линейно независимы, поэтому гапп С = Е Ортогональное дополнение надпространства Ь представляет собой множество всех решений х однородной системы (Е, х) = гт дзх1 = 0 у=т (! = 1, ...,к). 4. Альтернатива Фредгольма. Как мы помним, линейное дополнение надпространства 1 линейного пространства Т" определяется неоднозначно.
В линейном пространстве над падем Е с фиксированным базисом существует простой алгоритм построения одного из линейных дополнений надпространства Ь. Он состоит в том, что сначала вводят скалярное произведение, считая данный базис ортонормированным, а затем строят ортогональное дополнение Ьх надпространства Ь вЂ” оно и является искомым линейным дополнением. Воспользуемся этой идеей для доказательства следующей теоремы. Теорема. Система та лияейных уравие~ий с и неизвестпными Ах = = Ь, коэффициенты которой ве1цгственны, имеет решение ири любых вещественных правых частях Ь тогда и только тогда, когда система А'"х = о имеет лишь тривиальное решение. Следовательно, оно является линейным подпространством размерности и — Е Теорема доказана.
Следствие 1. Длл любого линейного ивдирвстрапства Ь пространства К" имеет место равенство Е" = Ь !3 Ь г (так как сонокупнесть ортонормированных базисов этих надпространств предсзввляет собой ортонормированную совокупность и векторов, т.е. базис пространства Е" ). Следствие 2. Пвдирвстранствв Ь лвллетсл вртвгвнальн м двивлнением ивдирвстранства Ьш поскольку вектор х = у + х (у Е Ь, я Е Ь ) ортогонален всем векторам надпространства Т х тогда и только тогда, когда я = о, а значит, х = у Е Т. Замечание. В ходе доказательства теоремы нам пришлось воспользоваться символом Е, поскольку возникла какая-то ч путаница» с верхними и нижними индексами.
Это явление, причина которого вскоре выяснится, типично при рассмотрении ортонормированных базисов. Операторы в Е 129 Доказательство. Рассмотрим линейный оператор с матрицей А, действующий из К" в %"'. Считая тот базис пространства 2™, в котором числа аг и б; являются координатами столбцов а и Ь, ортонормированным, представим пространство К ' в виде прямой суммы ппА = = 1 (аы ..., аь) и (ии А)з множества всех решений однородной системы (п„х) = 2 а,,х = 0 (1 = 1, ...,.п), т.е. системы А'"х = о. Система г=1 Ах = Ь имеет решение при любых Ь тогда и только тогда, когда любой вектор Ь пространства Б'.
принадлежит пп А, т. е. тогда и только тогда, когда (пи А)х = о, и, следовательно, система Аых = о имеет лишь тривиальное решение. Теорема доказана. Следствие (альтернатива Фредгольма). Либо система линейных уравнений Ах = Ь с вещестоепными козфдгициент ми имеет ргллеиие при любых вещественных правых частях Ь, либо система А"х = о и еет нетрививльиое решение. Замечание 1. Ясно, что система Ах = Ь имеет решение тогда и только тогда., когда Ь е пп А или, что то же самое, век гор Ь ортогонален к любому вектору пространства (пп А) х. Учитывая, что это пространство является множеством всех решений системы А"х = о, мы приходим к следующему выводу: система Ах = Ь мест решение тогда и только тогда когда вектор Ь ортогона гн и любому вектору ядра оператора с матрицей А'".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
