С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Псевдоевклидово пространство с сигнатурой (й,п — й) обозначается так: Кь' „ ь. В частности, Р."„ о — это обычное евклидова пространство К". Для скалярного произведения, как и для всякой симметричной билинейной формы, существует канонический базис (е,) (канонический базис квадратичной формы (х, х)), в котором 1, 1 = з < й, (е„е.) = -1, 1=1 ) й, О, 1фгй а скалярное произведение имеет вид (х,у) = х у + ... + х у — х"т1уьтг —...
— х"у". Такой базис называется галилееоым базисом. Вием,вчастности,(х,х) =(х ) +...+(х ) — (х ) — . (х ) . Нетрудно видеть, что величина (х, х) может быть как положительной, так и неположительной. Пусть О произвольная точка, ОМ = х. Множество всех векторов х, для которых (х, х) = О, называется световым конусом (почему этот конус называется световым, станет ясно чуть позже). Гл 5. 142 Некоторые обобщения Пространство Ж"т~ называется пространством Минковского. Обычно галилеев базис пространства Минковского обозначают так: ее,е,, ...,е„.
0 г ю Уравнение светового конуса в этом базисе имеет вид (хо) = 2 (х'), =-1 и, следовательно, направляющей этого конуса является п-мерная сфера , 2 (х') = сопв1. «=1 Особый интерес представляет пространство Минковского при и = 3, поскольку оно является пространством событий в специальной теории относительности. В этой теории под х', хг, хз понимают координаты частицы, а под хо — с1, где с — скорость спета, а 1 — время. Каждая частица в пространстве событий движется по некоторой траектории (движется всегда, твк как меняется 1), называемой мировой линией.
Фотон движется прямолинейно со скоростью с: х' = и"1, где (и ) + (и ) + (из) = с, т.е. по образующей светового конуса. Отсюда и название «световой конус»вЂ” по нему движется свет. 2. Преобразования Лоренца. Оп ре де лен не. Переход от одного галилеева базиса к другому галилееву базису называется преобразованная«Лоренца. Уточним вид преобразования Лоренца в пространстве Минковского.
Прежде всего, заметим, что переход от галилеева базиса ео,ег, ...,еп к галилееву базису ее, еы ..., е„— это обычное ортогональное преобразование в пространстве Ь(еы ..., е„), т. е. преобразование с ортогональной матрицей г«. В самом деле, е, = а",'е„е. = г»"е„, причем (е«,еу) — 1 при = о,'ог(е„е„) = 2 о,'о' (-1), откуда о'"о = Е, т. е. с« ~ = г»«". Ясно, что переход от базиса ее, ег, ..., е„к базису — ее, ег, ..., ев — это также У вЂ” 10...0') 0 1...0 ортогональное преобразование, поскольку его матрица с« = 0 0...1 ортогональна. Рассмотрим теперь общий случай.
Пусгь ее, ег, ..., е„и ео, еы ..., е„— два галилеевых базиса. Будем считать, что (ео,ее) > О (в противном случае перейдем от базиса ее, ем ..., е„к базису — ео, еы ..., е„ортогональным преобразованием). Поступим следующим образом. 1'. Выберем в пространстве Ь (ее, ео) вектор е', для которого (е'„ео) = = О, т.е. е' Е Ь (еы ..., е„), и перейдем от базиса ео,ег, ...,е„ортогональным преобразованием к базису ео, е', ..., е'„.
В нем е' Е Ь (ео, ее). 2'. Преобразованием в пространстве Г (ее, ео) перейдем от базиса ео, ег к базису ео,е", в котором (е"гео) = О, (е", е") = — 1 и (е'„ е"г) > О. 3'. Наконец, перейдем от базиса ео,е~', ...,е'„ ортогональным преобразованием к базису ео, ем ..., еп. Группы и полл Выясним, как осуществляется переход 2'. Имеем: о 1 ео = ггоео+ аоег ' и О 1 г ) ег = сггео + агег гДе гго ~— — (ео, ео) 3 О и аг = (ег, еиг) > О. Далее, посколькУ (ео, ео) = 1, (ео, еиг) = О и (е",, е",) = — 1, то (оо) ('го) сг'гг' — сг'о' — О О 1 О (-')' — (-")' = Полагая оог — — зЬ 1г, сгог = зЬ В, из первого и третьего уравнения находим; ао о— — сЬ р, гг" = сЬВ.
Подставляя эти значения во второе уравнение, получаем: сЬугзЬ — зЬусЬВ = зЬ(1г — В) = О, откуда уг = В. Итак, переход 2' осуществляется с помощью матрицы (гЬ<р сЬх) ' Это преобразование называется гиперболическим поворотом. В специальной теории относительности его обычно записывают несколько иначе, полагая 1Ь ~р = а; 1 — а г 1 — а г 1 — аг 1 — аг Итак, любое преобразование Лоренца в простраисгпве Минковского предсгпав лет собой суперпозицию (т. е. последовательное выполнение) ортогоиольиых преобразований и гиперболического поворотпа. В 3.
Группы и поля 1. Группа. Сделанные нами обобщения до сих пор касались только евклидова пространства. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые обобщения понятия линейного пространства. Определение 1. Множество С иазываетсл группой, если для любой упорядочеюшй пары его эле еитов а и Ь определегш опероцил, ставли1ал ей в соответствие элемент аЬ Е С. При этом; 1' длл лгобых а, Ь, с имеет место равенство а(Ьс) = (аЬ)с; 2' существует такой элемент е Е С, что длл любого а Е С имеет место равенство ае = а; 3' среди всех элементов е, обладающих свойством 2', существует такой элемент ео, что для любого а Е С существует элемеигп а 1 Е С, удовлетворяющий равенству аа ' = ео.
Некоторые обобщения Гл 5. Если, сверх того, для любых а, Ь имеет место равенство аЬ = Ьа, то группа называется коммутагаивнвй нли абелевой. Замечание. Если операцию обозначать знаком « ' », то вместо е естественно писать о, а вместо а ' — ( — а), хотя, конечно, это только естественная форма записи, поскольку операция в группе абстрактна, она не имеет отношения к обычному умножению или сложению. рассмотрим несколько свойств группы.
Свойство 1. Элеметл е, обладающий свойством 2', от«ределлется единственным образом и, следовательно, совпадает с еэ. В самом деле, «умножая» обе части равенства ее» = ео слепа на е, получаем: еее — 1 = еев или ее = е, откуда ев = е. Это свойство позволяет в дальнейшем вместо ев писать просто е. Замечание. В большинстве учебников свойство 3' формулируют кратко: для любого а й С существует элемент а г й С, удволетво- ряющий равенству аа ' = е. Такая формулировка, однако, не вполне корректна, поскольку она допускает неоднозначную трактовку.
В самом деле, наряду с нашей трактовкой (она, по-видимому, наиболее естественна с точки зрения норм русского языка) возможна и, например, такая: для любого а й С существует такой элемент а е С, что элемент е = = аа ~ обладает свойством 2'. При такой трактовке установленное нами свойство 1 уже не будет иметь места. Например, в множестве с операцией аЬ = а любой элемент можно принять за е, а значит и за а . И хотя формально эта операция удовлетворяет всем свойствам 1' — 3', группой в общепринягом смысле такое множество не является. Свойство 2.
Имеем: а 1а = а ае = а аа' 1(а ) = а 'е(а ') ' = а' '(а ') ' = е, т.е. а 'а = е. Свойство 3. Имеем: еа = аа 'а = ае = а, т е. еа = а. Свойство 4. Элемент а ', обладающий свойством 3', определяет- сл единственным образом. В самом деле, допустим, что есть два таких элемента: а1 и аз . Имеем: а~ ааг = а1 е = а1 . С другой стороны, — 1 — 1 — 1 †» — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 а1 ааз = еаэ = аз .
Следовательно, а» = аз Свойство 5. Для любых а, Ь е С существует единственное ре- шение х уравнения ах = Ь и единственное решение у уравнения уа = = Ь. В самом деле, рассмотрим, например, первое уравнение (для второго доказательство аналогичное). Если решение х существует, то, «умножая» обе чапги уравнения слева на а ', получим: х = а» Ь, т, е, х определяется единственным образом. С другой стороны, х = а 1Ь действительно явля- ется решением, поскольку ах = аа 'Ь = еЬ = Ь, т.е. решение существует. Замечание.
В абелевой группе х = а 'Ь = Ьа ' = у, что дает возможность говорить о наличии в ней операции «деления»: х = у = Ь/а. О и ре де лен не 2. Подмножество С' группы С называется подгруп- пой, если С' — группа с той же операцией, чгао и в С. Теорема. Подмножество С' группы С является подгруппой тогда и только тогда, когда оно обладает двумя свойства и: 1' для любых двух элементов а и Ь множества С' элемент аЬ принадлежит С', 2' длл любого а с С' элемент а ' принадлежит С'. 145 Группы и поля Доказательство. Если множество С' является подгруппой, то оно обладает свойствами 1' и 2' — это следует из определения группы. Допустим, что для некоторого подмножества С' группы С выполнены требования 1' и 2'.
Тогда для любых элементов а, Ь множестна С'определена операция, стввяп!вя им н соответствие элемент аЬ е С' и обладающая свойством Г группы. Кроме того, для любого элемента а множества С' элемент а ', а значит и элемент е = аа, принадлежат С', поэтому множество С' обладает и свойствами 2', 3' группы. Теорема доказана. 2. Примеры.
П ример 1. Линейное пространство является абелевой грушюй, поскольку операция сложения в нем обладает следующими свойствами: Г для любых векторов а и Ь а + Ь = Ь + а; 2' для любых векторов а, Ь и с а + (Ь + с) = (а+ Ь) + с; 3' существует такой вектор о, что для любого нектора а а + о = а; 4' для любого вектора а существует вектор ( — а) такой, что а+ ( — а) = = о. Если отказаться от свойства Г, а свойство 4' трактовать так,как его трактуют в определении группы (см. замечание предыдущего пункта),то и в этом случае линейное пространство останется группой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
