С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Отметим также, что указанные произведения широко используются в физике. Например, момент приложенной к точке М силы Е относительно точки О представляет собой векторное произведение (ОМ . Е). Особое место в аналитической геометрии занимает раздел «Линии и поверхности второго порядкам Определения эллипса и гиперболы похожи друг на друга. Их можно даже объединить, сказав: эллипсом (гиперболой) называется множество всех таких точек плоскости, для которых сумма (модуль разности) расстояний до двух фиксированных точек есть постоянная положительная величина.
Есть и другое общее определение этих кривых, включающее заодно и параболу: эллипсом, отличным от окружности (гиперболой, параболой), называется множество всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной гочки к расс« оянию до фиксированной прямой постоянно и меньше единицы (больше единицы, равно единице). Это сходство в определениях проявляется, в частности, в том, что эллипс, гипербола и парабола могут быть получены в качестве сечения конуса плоскостью, не проходящей через вершину.
Опираясь на этот факт, можно наглядно проследить, как эти кривые переходят друг в друга при изменении угла наклона секущей плоскости. Эллипс, гипербола и парабола играют фундаментальную роль в физике. Так, брошенный камень движется по параболе, а движение небесных тел (планет, комет, метеоритов и т, д.) под действием притяжения Солнца происходит по эллипсу или гиперболе. Широко используются и оптические свойства этих кривых. Но не это главное. Рассмотрим некоторую функцию 1'(х, й) и поставим такой вопрос: как приближенно описать поведение этой функции в окрестности точки (О, 0)? Естественно воспользоваться формулой Тейлора. В качестве первого, линейного, приближения получаем: 1(т у) У(0 О)+У (О, 0)я+Уц(0, 0)у. В этом приближении график нашей функции, т, е, поверхность е = г"(т, у), представляет собой плоскость Т— ее называют касательной плоскостью к поверхности е = 1(х, у) в точке (0,0).
Как правило, линейного приближения бывает недостаточно. Второе 150 Заключение приближение выглядит так: 1(х, у) г"(О, 0) + 2" (О, 0)х + Д„(0, 0)у + + — (2" (О, 0)хз+ 22" „(О, 0)ху+ ~г„(0, 0)у~~. В этом приближении поверх- 2 ность 2 = у(х, у) представляет собой поверхносгь второго порядка (еслн, конечно, хотя бы одна из вторых производных отлична от нуля) — либо параболоид, либо параболический цилиндр. Квадратичная часть в этом уравнении, нлн, как ее называют в линейной алгебре, квадратичная форма, описывает, очевидно, отклонение поверхности от касательной плоскости Т.
ВсЯкаЯ кваДРатичнаЯ фоРма аых + 2агзхУ+ аУ (в нашем слУчае аы = 2 2 1 = — Г„(0, 0), а12 = у,и(0, 0), а22 = Г„„(0, 0)), как мы знаем, при помощи -2 -2 поворота пожег быть приведена к виду агх 1-азу, т, е, к сумме квадратов координат с некоторыми коэффициентами, причем а2а2 = аыа22 — а22 2 (убедитесь в этом).
Поэтому если аыа22 — аг~2 = а1а2 > О, т.е. числа аг и аз имеют одинаковые знаки, то поверхность 2 = ((х, у) в окрестности точки (0,0) лежит по одну сторону от плоскости Т вЂ” в этом случае точка (О, 0) называется э липтической. При аыа22 — а 2 ( 0 числа аг и аз 2 имеют разные знаки, поэтому часть поверхности 2 = 1(х,у) лежит по одну сторону от плоскости Т, а часть — по другую.
Точка (О, 0) при этом называется гиперболической. Наконец, если а2га22 — агз = О, т. е, одно из 2 чисел аг и а2 равно нулю, то точка (О, 0) называется параболической. В этом случае поведение поверхности 2 = 2 (х, у) по отношению к плоскости Т в окрестности точки (О, 0) определяется производными функции у более высоких порядков. По-существу, та же идея лежит в основе классификации дифференциальных уравнений в частных производных вида аы,)'„+2а222" + а222э„+ г'(х,у,г",2', Я = О.
При а1га22 — а22 ) 0 это уравнение называется эллиптическим, при 2 ама22 — а22 < 0 — гиперболическиль а прн ама22 — аг = 0 — параболическим. Поведение решений эллиптических, гиперболических и параболических уравнений весьма различно, что проявляется, в частности, в различии тех физических процессов, которые этими уравнениями описываю гся. Эллиптические уравнения описывают, например, стационарное электрическое или тепловое поле, потенциальное течение жидкости.
Гиперболическими уравнениями описываются разнообразные колебательные и волновые процессы, а параболическими — диффузионные процессы, например, процесс распространения тепла. Обратим внимание и на то, что идея классификации квадратичных форм по количеству положительных и отрицательных элементов их матрицы, приведенной к диагональному виду (ш е. по индексам инерции), лежит в основе построения псевдоевклидовых пространств, а затем и специальной теории относительности. Обратимся теперь к нашим исследованиям, связанным с классификацией кривых и поверхностей второго порядка. Как в случае кривых, так и в случае поверхностей мы начинали с того, что с помощью повороза системы координат приводили входящую в уравнение квадратичную форму Заключение к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами.
Для кривых зча задача решае гся просто — получается одно уравнение для гангенса угла поворозп, которое, разумеется, всегда имеет решение. Сложнее обстоит дело с поверхностями. Путем весьма нетривиальных рассуждений мы установили, что стоящая перед нами задача сводится к решению уравнения е1ес(А — ХЕ) = = 0 (это уравнение появилось у нас позже и в линейной алгебре, правда, из совершенно других соображений). Спасительным для нас оказалось то, что это кубическое уравнение относительно Л, а кубическое уравнение всегда имеет вещественный корень.
Если бы мы попытались применить ту же идею к уравнению гиперповерхности второго порядка в четырехмерном пространстве, то ничего бы не получилось: уравнение е1ее(А — йЕ) = 0 в этом случае является уравнением четвертой степени, а зпкое уравнение может, вообще говоря, и не иметь вещественных корней. Между тем, представляется весьма правдоподобным, что квадратичная форма в любом пространстве может быть при помощи поворота (или, как говорят в линейной алгебре, ортогонального преобразования) приведена к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами.
В самом деле, переход от старой системы координат в п-мерном пространстве к новой осущен ствляется по формулам ее = 2 а„е,. Поскольку столбцы матрицы А— в=1 это координаты новых базисных векторов в старом базисе и обе системы координат — декартовы, то на матрицу А накладываются следующие ограничения; ее столбцы должны быть координатами единичных (п условий) и попарно ортогональных (п(п — Ц/2 условий) векторов.
Такие матрицы в линейной алгебре называются ортогональными. Следовательно, из и элементов матрицы А произвольно выбранными могут быть и — и — п(п — 1)/2 = п(п — 1)/2 элементов. Но и количество коэффициентов квадратичной формы, которые мы хотим обратить в нуль, равно п(п — 1) /2.
Таким образом, количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, что и дает основания для нашей гипотезы. Вопрос о возможности приведения квадратичной формы к сумме квадратов (с некоторыми коэффициентами) ортогональным преобразованием является, пожалуй, центральным вопросом линейной алгебры — науки о векторах, описываемых аксиоматикой Вейля. Геометрия подобна зоопарку, имеющему несколько входов (различных систем аксиом), где, например, шансы увидеть верблюда во многом зависят от того, через какой вход мы войдем. С этой точки зрения система аксиом Вейля значительно удобнее для исследования указанного вопроса, нежели система аксиом Гильбсрта. Она удобна и в плане возможных обобщений — пространство можно считать п-мерным, а под числами понимать элементы произвольного поля.
Основным обьектом линейной алгебры является п-мериое линейное пространсгво. Это — абстрактное пространство, но, благодаря теореме об изоморфизме линейных пространств одинаковой размерности, вместо него можно рассматривать любую его конкретную интерпретацию, в частности геометрическую интерпретацию (вектор — направленный отрезок) !52 Заключение и алгебраическую интерпретацию (вектор — набор чисел). Геометрическая интерпретация трактует вектор зак, как он вводится в аналитической геометрии.
Вектор здесь нс связан с какой-либо системой координат. В рамках алгебраической интерпретации набор чисел, задающих вектор, конечно же зависит от выбора системы координат, но эза зависимость не произвольна — она описывается вполне определенными формулами. На первый взгляд алгебраическая интерззретция вектора кажется надуманной. Но в действительности именно она адекватно соответствует физической трактовке вектора. В самом деле, в природе нет какой-то абсолютной системы координат, все инерциальные системы отсчета равноправны.
Нет и каких-либо выделенных направлений. Поэтому поня гие «направление», а значит и привычная геометрическая интерпретация вектора (при всей своей наглядности), не имеют, строго говоря, физического смысла. Поскольку единственное основное понятие линейной алгебры — это вектор, то здесь есгественным образом возникают объекты, непосредственно связанные с вектором; линейный оператор, билинейная форма, получаемая из нее квадратичная форма, полилинейная форма и ряд других.
Все эти объекты, включая и вектор, объединяются общим названием «тепзоры»вЂ” они не зависят от выбора системы координат в том же смысле, что и вектор (вспомним геометрическую интерпретацию вектора). По этой причине тензоры широко используются в современной теоретической физике (например, в общей теории относительности).
С алгебраической точки зрения квадратичная форма задается (и х и)- матрицей. Линейный оператор, действующий из Ь" в Ь", также задается (и х и)-матрицей. Но квадратичная форма это дважды ковариантный тензор, а линейный оператор -- один раз ковариантный и один раз контра- вариантный тензор. Это означает, что при переходе к новому базису указанные матрицы преобразуются по-рвзному.
Иными словами, если в какомто базисе эти матрицы совпадали, то в другом базисе они, вообще говоря, совпадать не будут. Оказывается,. однако, что в евклидовом пространстве при ортогонвльных преобразованиях — а именно эта ситуация нас и интересует с точки зрения задачи о приведении квадратичной формы к сумме квадратов — различие между ковариантностью и контравариантностью исчезает. Это дает возможность сформулировать нашу задачу на языке операторов и, благодаря этому, решить ее. Мы кратко описали центральную линию раздела «Линейная алгебра».
Подобно стволу дерева, она имеет многочисленные ответвления. В роли одного из них выступают наши исслодования, связанные со структурой линейного оператора. Мы установили, что с каждым оператором, действующим из Ь" в Ь", связаны два инвариантных надпространства — ядро и образ, сумма размерностей которых равна п., но пространство Ь" не является, вообще говоря, их прямой суммой. Путем весьма непростых рассуждений нам удалось описать взаимное расположение указанных надпространств в терминах базиса из непополнимых серий. Обратим особое внимание на то, что эги рассуждения не предполагали какой-либо конкретизации понятия числа — они верны для любого поля. Лишь при рассмотрении собственных векторов, собственных значений и связанного с ними характеристического уравнения для нас стало принципиально, о каком поле идет речь. Это Заключение 153 объясняется тем, что характеристическое уравнение, будучи уравнением п-й степени, имеет корни далеко не в любом поле.
В поле комплексных чисел, благодаря наличию основной теоремы алгебры, оно имеет ровно п корней (включая кратные), поэтому матрица любого оператора может быть приведена к жордановой форме. Линейная алгебра имеет многочисленные физические приложения. Например, как мы говорили, унитарное пространство играет фундаментальную роль в квантовой механике, где физическая величина интерпретируется как самосопряженный оператор, а процесс измерения случайным образом фиксирует один из собственных векторов этого оператора. Обширны и приложения теории групп, которая используется как в самых абстрактных разделах современной теоретической физики (например, в квантовой теории поля), так и во всех без исключения разделах естествознания, в живописи, в архитектуре и даже в быту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
