С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Замечание 2. Рассмотрим систему Ах = Ь и запишем ее в виде Ах = Ь, + Ьг, где Ь1 е ппА, Ьг е (ппА)г. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу А'" и учитывая, что А'"Ьг = о, получим: А"Ах = А"Ьы Но система Ах = Ь, всегда имеет решение, поскольку Ьг е по А. Следовательно, и полученная система, т.е. система А" Ах = = А"'Ь, имеегп решение ири всех Ь.
й 3. Операторы в Е" 1. Сопряженный оператор. Определение. Оператор А* называется сопрязюенным по отношению к оператору А, если для любых векторов х, у имеет место равенство (Ах, у) = (х, А*у). Теорема. Оператор А* явгяется сопрялсштым по отношению к оператору А тогда и только тогдьц когда в ортонормированном базисе матрица А* равна А". Доказательство. Оператор В является сопряженным по отношению к оператору А тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе (Ах, у) = 2 а',хе у' = (х, Ву) = ~ хеб,'у', или 2 (а',. — ог) х"у': —.
О. це е,е е.е Но билинейная форма тождественно равна нулю тогда и только тогда, когда все ее коэффициенты (равные ее значениям на базисных векторах) равны нулю. Следовательно, полученное тождество эквивалентно равенству В = А". Теорема доказана. В С.Н Калечцее !'л 4. Евклидова пространство 130 Следствие 1.
Для любого оператора А существует единственный оператор А' (чтобы найти его матрицу, нужно взять матрицу оператора А в каком-нибудь ортонормированном базисе и транспонировать се). Следствие 2. (А')* = А. 2. Ортогоналъный оператор. Определение 1. ОператорА называется ортогопальпы, если для любых векторов х, у имеет место равенство (Ах, Ау) = (х, у). Замечание. Поскольку ортогональный оператор нс меняет скалярного произведения векторов, то он не меняет длины векторов и углы между ними. В частности, любой ортонормированный базис он переводит в ортонормированный базис.
Геометрически это соответствует повороту и отражению относительно координатных плоскостей. Теорема 1. Если Ь вЂ” инвариантное надпространство ортогонального оператора А, то и Ьх — его инвариантное надпространство. Доказательство. Оператор А переводитортонормированный базис пространства 1 в ортонормированную совокупность векторов пространства Ь, количество которых равно размерности этого пространства, г.е.
в ортонормированный базис пространства 1. Следовательно, А(1 ) = 1. Поэтому для любого вектора х Е Ь существует такой вектор у Е Ь, что Ау = х. Если х й Ь, то для любого х б Ь имеот место равенство (Ая, х) = = (Ая, Ау) = (я, у) = О, поскольку у й Ь. Теорема доказана. Теорема 2. Оператор А лвляется ортогональным тогда и только пгогда, когда А' = А Д о к аз атал ь ство. Оператор А является ортогональным тогда и только тогда, когда (Ах, Ау) ив е (х, А*Ау) = =(х,у), или (х, А*Ау— — у) = О, т.е.
А*Ау =: у илн А*А = Е. Теорема доказана. Следствие. Оператор А яв летел ортогональным гпогда и пюлько тогда, когда в ортопормировапном базисе матрица А ~ равна А'". Опре.деление 2. Матрица А называется ортогональной, если А '=А'" Таким образом, можно сказать, что оператор явллется ортогональным пюгда и только тогда, когда в ортопормироваппом базисе его матрица-- оргпогопальпая.
Замечание 1. По определению ортогональной матрицы АА" (1 при = А'"А = Е, т.е. ~,а,,а ь = 2 а„а, = 1 0, ~' Таким образом, строки (столбцы) ортогональной матрицы — это координаты векторов, образующих ортонормированный базис. Замечание 2. Поскольку для ортогональной матрицы ААы = Е, то (г1е1 А)г = 1.
Если г1ес А = 1, то матрица А называется собствеюшй, а если де1 А = ( — 1), то несобственной ортогональной матрицей. Отметим также, что гюскольку определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса, то определитель матрицы ортогонального оператора в любом базисе равен +1. Операторы в Е Творе.ма 3. Длл любого ортогонального оператора существует такой ортоноумированный базис, в копюром его матрица имеет вид сое»»1 — гйп р» е1п д» сог.р» сое д» вЂ” гйп р» гйп у» сое р» л Л вЂ” м где Л» = +1.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 1 и методом математической индукции. При и = 1 справедливость утверждения очевидна. Допусгим, что теорема доказана для п < т — 1, и докажем, что в тком случае она верна и для п = т. Если характеристическое уравнение для данного оператора имеет по крайней мере один вещественный корень Л „то Л„, = х1, поскольку из равенства Ах = Л,„х следует, что (Ах, Ах) = (х,х) = Лг (х,х). В этом случае для доказательства теоремы достаточно принягь собственный вектор, соответствующий Л, за базисный вектор епн а затем в ортогональном дополнении к Е(е ) привести матрицу оператора к требуемому виду.
Возможен, однако, и такой случай: характеристическое уравнение не имеет вещественных корней. Пусть Л + 1р — один из его комплексных корней. Ему соответствует двумерное инвариантное надпространство Ь оператора А (см.п.б з2 гл.2). Выберем ортонормированный базис (е») так, что 1 = 1 (еы ег). Поскольку Ь ь — также инвариантное подпространство, то матрица оператора в базисе (ег) имеет «блочный» вид амамО.. О а»1 агг О .. О О О А О О Строки ортогональной матрицы — это координаты векторов, образующих ортонормированный базис, поэтому аы + а»г = 1 г г г аг, +агг =1 аыагг + аггагг = О Полагая аы = соз»г, азг = — гйп г», получаем; (аг» агг) (х е1п з» х сое у) ' Гл 4. Евклидова пространство 132 Однако один из этих случаев отпадает, поскольку характеристическое урав/сов гг — Л вЂ” сцп гг пение ( ) = Л- — 1 = О, а значит и характеристическое (, — в1пэг -сову — Л) уравнение для матрицы А, имеют вещественные корни, что противоречит /аг~ аггл /сов гг — в|п<р') предположению.
Следовательно, ( " 'г) = ( ~~1. Для завер~агг агг~ в1п<Р сов Ф / шения доказательства теоремы осталось привести матрицу А к требуемому виду, что возможно в силу предположения индукции. 3. Ортогональные преобразования. Пусть (е,) — ортонормированный базис, (е,) — произвольный базис, е, = о,'е,. Теорема.
Бозио (е;) лв лстсл ортонормироваиным тогда и только тогда, когда матрица о — ортогонолыгал. Доказательство. Базис (е,) является ортонормированным тогда и только тогда, когда (е„е.) = б,, где б,г. = с (1 при Имеем: (О при в Итак, (е,,е ) = Б, тогда и только тогда, когда 2„о,'о' = бггэ т.е. г о'"о = Е, или а ~ = о". Теорема доказана. Следствие. Произведение ортогон льиых матариц является ортогональной магприцей. Замечание. При ортогона иных преобразованиях,т.е.
при переходах от ортонормированных базисов к ортонормированным базисам, исчезает различие между ковариантными и контраваршгнтными тен,горами. В самом деле, рассмотрим, например, тензор типа (1,1) (линейный оператор). Его матрица при переходе к новому базису преобразуется так: А = БАе. Магрица тензора типа (2, 0) (билинейной или квадрагичной формы) преобразуется так: В = сг"'Во.
Но при ортогональном преобразовании Б = о'", поэтому эти две формулы становятся одинаковыми. С этим, в частности, связана «путаница» с верхними и нижними индексами, иногда возникающая при рассмотрении ортонормированных базисов. 4. Самосопряженпый оператор. Определение. Лиггейггый оператор А иазыоаетсл самосоггрлзюеииым, если А* = А. Тем самым, можно сказать, что в любом ортоиормироваином базисе матрица самосопрязкеииого операгпора си метрична: а, = а,. Теорема 1. Все корпи кариктеришпического уравпенил длл сачосопрлзсштого оператори веществегты.
Доказательство. Допустим, что указанное характеристическое уравнение имеет корень Л + гд, т.е. г1е1(А — (Л + гд)Е) = О. Тогда однородная система Ак = (Л е гд)к имеет нетривиальное решение к = х+ + гу: А(х+ гу) = (Л + гр)(х+ гу), или Ах+ гАу = Лх — ду+ г(Лу+ дх), Операторы в Е 1ЗЗ откуда Ах = Лх — ру ( Ау = Лу + рх ) Умножая скалярно первое уравнение на ( — у), второе — на х и складывая их, получаем: — (Ах, у) + (х, Ау) = д(~х~э + ~у~г). Но левая час гь этого равенства равна нулю, поскольку оператор А — самосопряженный. Следовательно, р = О.
Теорема доказана. Теорема 2. Длл любого самосопрлженного оператора существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Доказательство. Заметим сначала, что если х — собственный вектор самосопряженного оператора А, у2 х, то Ау ' х. В самом деле, (х, Ау) = (Ах, у) = Л(х,у) = О. Таким образом, ортогональное дополнение надпространства 1 (х) является инвариантным подпространством оператора А. Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы.
Найдем какое-нибудь собственное значение Л1 (его существование гарантирует теорема 1) и соответствующий ему единичный собственный вектор еы Ортогональное дополнение надпространства 1 (ег) является инвариантным подпространством оператора А, поэтому теперь можно рассматривать оператор А только на нем. Найдем какое-нибудь собственное значение Лг и соответствующий ему единичный собственный вектор ею после чего будем рассматривать оператор А только на ортогональном дополнении надпространства В(ем еэ) и т, д, В результате мы построим ортонормированный базис из собственных векторов е„ег, ...,е„.
Теорема доказана. Следствие. Длл любого самосопрлзюенного оператора существует такой ортояормированный базис, в котором его матрица диагональна. 3 а м е ч а н и е 1. Справедливо и обратное утверждение: если существует оргпопормированный базис, в котором матрица оператора диагон льна, то 'этот оператор — с мосопрлженпый, поскольку в указанном базисе матрица этого оператора симметрична.
Замечание 2. Отметим, что в том базисе, в котором матрица ортогонального оператора А имеет вид, указанный в теореме 3 п. 2, матрица А + Аы диагональна, Попробуйте объяснить этот факт и, основываясь на Вашем обьяснении, привести еще одно доказательство упомянутой теоремы. 5. Квадратичная форма в Еп. Теорема. Длл любой квадратичной или си етричной билинейной формы существуегп такой ортонормированпый базис, в котором ее матрица диагональна Доказательство.
Рассмотримсначалапроизвольныйортонормированный базис и запишем в нем матрицу данной квадратичной или симметричной билинейной формы. Рассмотрим теперь самосопряженный оператор с такой же матрицей и построим ортонормированный базис из его собственных векторов. В нем матрица оператора диагональна. Но переход !"л 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
