С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ев лидово пространство 134 от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису — это ортогональное преобразование, а при таких преобразованиях матрицы оператора и квадратичной или билинейной формы преобразуются одинаково. Следовательно, построенный ортонормированный базис— искомый. Теорема доказана. Следствие. В линейном пространсгпве над полем К длл люб х двух квадратичных или си метричпых билинейных форм, одна из которых— полооюительпо определеюпзл, существует такой базис, в котором мазпраца одной иг них единичная, а другой диагональная. В самом деле, принимая положительно определенную симметричную билинейную форму (данную, или гу, из которой получена данная положительно определенная квадратичная форма) за скалярное произведение, мы сможем построить такой ортонормированный базис, в котором матрица второй квадратичной или симметричной билинейной формы диагональна. В 4.
Гиперповерхности второго порядка 1. Система координат. Добавим теперь последнюю, %группу аксиом Вейля. Будем считагь, что наряду с векторами в ст имеются точки, а также правило, по которому любой упорядоченной паре точек А, В ставится в соответствие вектор АВ. При этом: 1' для любого вектора х и любой точки О суи1ествует единственнаа »почка М такая, что ОМ = х (откладывание вектора от данной точки); 2' для любых точек А, В и С имеет место равенство АВ+ВС = АС !правило треугольника). Следствие 1. Для любой точки А меет место равенство АА = = о.
В самом деле, прибавляя к обеим частям равенства АА+ АА = АА вектор ( — АА), получим; АА+ о = о, откуда АА = о. Следствие 2. Для лзобых точек А и В имеет место равенство ВА = — АВ. Действительно, АВ й ВА = АА = о. Определение. Сисзпемой координата Ох~...
х" называется совокупность ортонормированного б зиса 1е,) и точки О (качала координат), а координатами точки М вЂ” координаты век»пора ОМ в базисе 1ез). Ясно, что каждая точка ЛХ имеет вполне определенный набор координат хз, ..., х"; обратно, для любых чисел хз, ..., хв существует ровно одна точка ЛХ с координатами х, ..., х" !это следует из аксиомы 1 ). Иными словами, соответствие ЛХ ~-~ (х~, ..., хп) является взаимно однозначным. Тот факт, что точка ЛХ имеет координаты хз, ..., х" будем обозначать так; ЛХ1х~, ..., х"). Пусть Ох~, ...,х" — «старая» система координат, Охз, ...,х"-- «новая», О (о'', ..., о").
Выразим «новые» координаты точки ЛХ через се «старые» координаты. Для этого заметим, что «новые» координаты точки М вЂ” это координаты вектора ОМ в «новой» системе координат. Найдем сначала координаты этого вектора в «старой» системе координат. 1 ипврновврхности второго порядка Согласно аксиоме 2' и следствию 2 имеем: ОМ = ОО + ОМ = — ОО + + ОМ =. (х~ — о, ..., хо — оо). Следовательно, х' = Д,' (х' — о'). Таким образом, переход от «старой» системы координат к «новой» осуществляется при помощи параллельного переноса на вектор ОО и ортогонального преобразования, поскольку «старый«и «новый» базисы— ортонормированные.
Из полученных формул следует, что старые координаты выражаются через новыс так: х' = а',х' + о', где о = (э~". 2. Каноническое уравнение гиперповерхности второго порядка. Множество всех точек ЛХ(х", ..., х"), координаты которых удовлетворяют уравнению ((х, ..., хв) = О, называется гинерповерхностью. В частности, если г(х~, ..., х") = а«х' + Ь и 2, а«ф О, то гиперповерхность называется гиперпяоскостью.
Примерами гиперплоскостей могут служить прямая на плоскости и плоскость в пространстве. Множество всех точек йб(х, ..., х"), координаты которых удовлетворяют уравнению а«х'хд + 2Ь;х' + с = О, где 2" а~ ф О, называется гиперповехностью второго порядка. Прн переходе к новому базису по формулам х« = а',х«это уравнение преобразуется тнк; (о с«";а,„) х'хо + + 2 (о,'Ь«) х' + с = О.
Следовательно, А(х,х) = а«.х'хг квадратичная форма, В(х) = Ь,х' — линейная форма. Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением ортонормнрованных базисов и, следовательно, не делаем различия между ковариантными и контравариантными тензорами, то линейную форму В(х) можно рассматривать как скалярное произведение вектора 1эна вектор х: В(х) = (1э,х). Уравнение гипсрповерхности второго порядка можно существенно упростить, если перейти к новой системе координат. Делается это, вообще говоря, в трн этапа. 1'. Не меняя начала координат, выполним такое ортогональное преобразование, при котором матрица А примег диагональный вид.
Само уравнение при этом перепишется так: Л, (х') + 2 ~ ~Ь,х' + с = О. Здесь 1« = ганя А < и, Л«ф О. 2«. Сделаем теперь параллельный перенос, полагая при «( 1«х' = у' — Ь,/Л«. В результате уравнение примет вид Л;(у*) + 2 ~~~ Ь,х'+ с = О (при й = и вторая группа слагаемых отсутствует). !'л 4.
Евклидова прострапствв 136 3'. В случае lс + 1 < п в нашем распоряжении остается еще ортогональаое преобразование в пространстве Т (еьэг,,..,еи) — оно, очевидно, не меняет квадратичной формы. Выберем базис в этом пространстве так, чтобы новый (6+ 1)-й базисный вектор оказался направленным вдоль вектора Ь. Тогда в новой системе координат вектор Ь будет иметь координаты (6, О, ..., О). Возвращаясь к старым обозначениям, получим окончательно: ~Л,( *)'+26 ""+ ° =О. 1=.1 Это уравнение называется каноническим уравнением гиперпвверхнвсти второго порядка 3.
Классификация. Все гиперповерхности второго порядка, канонические уравнения которых не содержат хотя бы одной переменной (т. е. либо 6+ 1 < пи либо 6 + 1 = и, но 6 = О), называются ц линдрами. Если же каноническое уравнение гиперповерхности второго порядка содержит все переменные, то возможны 3 случая. , г 1. Если 6 = О, с ~ О, то уравнение принимает вид 2,' а,(хг) ю=1 = 1.
Гиперповерхности, уравнение которых имеет такой вид, называю гся зллипсоидами и гиперболоидами. и 2. Если Ь = с = О, то уравнение принимает вид 2 аг (х') = О. 1=1 Гиперповерхности, описываемые уравнениями такого вида, называются конусами. 3. Наконец, если Ь р': О, то, полагая х"т1 = хи — с/(26), приведем и — 1 и каноническое уравнение к виду 2,' аг (х') = хи. Гиперповерхности, опит.=1 сываемые такими уравнениями, называются параболвидами. Замечание. Нетрудно убедиться в том, что в 11-мерном пространстве имеется и + Зп — 1 различных типов гиперповерхностей второго 2 порядка, и из которых — мнимые, т.е.
их уравнения описывают пустое множество. При этом цилиндров — пз + п — 3 (п — 1 из них мнимые), эллипсоидов и гиперболоидов — и + 1 (1 — мнимый), конусов — и/2+ 1 при четном и и (11 + 1)/2 — при нечетном, а параболоидов — и) 2 при четном п и (и+ 1)/2 — при нечетном. 4. Инварианты. Вернемся к общему уравнению гиперповерхности второго порядка; а,ухгхг + 26,х1+ с = О. ГОВОрят, Чта фуНКцИя Г (ам, ..., аии, 61, ..., Ьи, С) яВЛяЕтСя ииВариантвм этого уравнения, если при переходе к любой другой системе координат ее значение не изменяется; ~ (а„, ..., аии, 61,...,Ьи, с) = Г(а11, ...,а „,Ь1,...,Ьи, с) .
1 иперповерхности второго порядка 137 Рассмотрим две матрицы: и В= Теорема. Все коэф4ициенты характеристического уравнения дяя матрицы А и е1е1В являются инвариантами уравнения гиперповерхпости второго порлдка. Доказательство. Переход от одной системы координат к другой это последовательное выполнение ортогонального преобразования и параллельного переноса. При параллельном переносе матрица А вообще не изменяется, поэтому не изменяются и коэффициенты указанного характеристического уравнения. При ортогональном преобразовании коэффициенты матрицы А изменяются, но не меняются собственные значения самосопряженного оператора А, а значит и коэффициенты указанного характеристического уравнения, поскольку последние через них выражаю гся: (ам — Л) а1г ...
а1„ аг1 (агг — Л) ... аг„ = (Л, — Л)(Л вЂ” Л)(˄— Л). а г ... (а„ вЂ” Л) а 1 Осталось доказать инвариантность с1е1В. Заметим, прежде всего, что гиперповерхность, описываемая данным уравнением, может рассматриваться как сечение конуса В(х,х) = О в (и + 1)-мериом пространстве гиперплоскостью хпэ~ = 1, т. е. как направляющая этого конуса. В самом деле, В(х х)~„ем г = ~ ~а, х хг + 2~~ ЬЛх'. 1+ с 1 . пг=1 '=1 Далее, переходу к новой системе координат в и-мерном пространстве по формулам х' = ег'„хе+ о' соответствует преобразование в (п ~ 1)-мерном а,...о„о пространстве с матрицей се = ''„'''''';;''„' , поскольку о", ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
