С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Линейные операторы 112 Рассмотрим сначала корень Л = 1. Имеем: Ранг зтого оператора равен 3 (базисный минор расположен в левом верхнем углу), а значит, размерность его ядра равна 1. Далее, — 12 16 12 — 16 — 243 — 4 1г -16 20 16 -20 -4 5 4 -5 ' — Е)= о оо о =4 оооо 0 0 0 0 0 00 0 и, следовательно, величина е11ш 1гег(А — Е) г равна 2 — кратности собственного значения Л = О оператора А — Е. Находим кег(А — Е) г как решение системы (А — Е)гх = о: Значит, пространство пп(А — Е) 01гег(А — Е)г состоит из векторов вида (А — Е) С' —— 2(С, — Сг) Это пространства одномерно. Для того чтобы вектор (А — Е)х образовывал в нем базис, достаточно взять Сг отличным от Сг, например положить Сг = 1, Сг = О.
Таким образом, ег=, е',=(А — Е) Используя аналогичные рассуждения применительно к корню Л = — 1, получаем: ег = О, ег = (А+ Е) В постРоенном базисе е~г, егы егг, ег матРица опеРатоРа А имеет вид 00 — 1 1 Операторы, действующие ив 1" в Ь" Замечание 4. Если не требуется искать базис, в котором матрица оператора А имеет жорданову форму, а требуется лишь найти эту форму, то можно воспользоваться следующими соображениями; согласно следствию 2 и. 4 количество различных серий из собственных и присоединенных векторов длины й для данного собственного значения Л равно ганя(А — ЛЕ)ь+г + ганя(А — ЛЕ)ь г — 2 ганя(А — ЛЕ)ь.
В частности, в рассмотренном примере при Л = ' 1 ганя(А — ЛЕ)" при /с > 2 равен 2, ганя(А — ЛЕ) равен 3, ганя(А — ЛЕ)о равен 4, поэтому при каждом из этих значений Л есть лишь одна серия длины 2, что мы и получили. Глава 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ й 1. Преобразование базисов 1. Обозначения. При изучении вопросов, связанных с преобразованием координат, часто возникают весьма громоздкие выражения, содержащие разнообразные суммы.
Чтобы сделать несколько более компактной запись таких выражений, целесообразно принять следующие соглашения: 1' если какой-либо индекс 1например, 1) встречается дважды, причем один раз он записан сверху, а другой рвз — снизу 1например, а'6,), то предполагается, что по этому индексу производится суммирование, хотя сам знак суммы 12,) может отсутствовать; 2' элементы базиса обозначаются буквами с нижними индексами.
Тем самым, если мы желаем обойтись без знака суммы, то, например, координа гы вектора следуе г обозначить буквами с верхними индексами— тогда разложение вектора по базису можно будет записать так; х = х'е,. Другой пример — матрица линейного оператора. Если ее элементы обозначать буквами с двумя индексами, один из которых верхний, а другой— нижний, то результат действия оператора можно будет записать так: у' = = а'хэ. э Перепишем последнее равенство в виде произведения матриц: Таким образом, в этих обозначениях верхний инг1 екс -- это номер строки, а нижний -- номер столбца. 2.
Переход к новому базису. Пусть 1ей) и 1е,1 — два базиса. Условимся называть базис ~е,) старым, а базис ~е,~ новым. Каждый вектор нового базиса можно разложить по старому базису: ь е,=сг,е, 1напомниьц что по индексу в производится суммирование). В этих формулах с1ес сг ~ О, так как столбцы матрицы сг — координаты базисных векторов е, — линейно независимы (поскольку эти векторы линейно независимы).
Преобразование координат Обратно, если де1о ф О и (е,) — базис, то векторы е; = сг,'.ег,координаты которых являются линейно независимыми столбцами матрицы ец также линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Таким образом, формулы (1) являются формулами перехода к новому базису (от старого базиса (е„)) тогда и только тогда, когда с1еСа ф О. Матрица а называется матрицей перехода от базиса (е,) к базису (ег). Переход от старого базиса к новому иногда называют также преобразованием базиса. 3. Последовательные преобразования.
Перейдем сначала оз базиса (е,) к базису (е;) с помощью матрицы ец а затем ог базиса (е,) — к базису (е',) с помощью матрицы;3. Найдем матрицу перехода от базиса (е;) к базису (е ). Имеем: е', = Д;ег = Дгсг',ег = (о",Д;) е,. Таким образом, искомая матрица представляет собой произведение оД. В частности, если базисы (е,) и (е,') совпадают, то о',13; = б,' 1 при 1=1, т.е. сгд = Е, а значит, В = сг . Итак, если переход О при гоь от старого базиса к новому осуществллетсл с помощью матрицы а, то переход от нового базиса к старому осуществллетсл с помощью матрицы — 1, е, =Д;е,. (2) Замечание. Выражение б ( 1 при 1=1, часто называют О при гру символом Кронекера. й 2.
Преобразование координат 1. Преобразование координат вектора. Пусть (е,) — старый базис, (е,) — новый базис, е; = а,'е„е, = Д;е„где Д = сг '. Выразим координаты произвольного вектора х в новом базисе через его координаты в старом базисе. Имеем: х = х'е, = х'Д,'е, = хнеи откуда (в силу линейной независимости векторов е,) х' = Д,'х'. Таким образом, координаты вектора преобразуются с помощью матрицы р'. Замечание. Ясно, что х' = сг',хг.
2. Преобразование матрицы линейного оператора. Выразим теперь матрицу линейного оператора А, действующего из 1 Р в Ь", в новом базисе через его матрицу в старом базисе. Имеем: А (Е ) = А (а,'Ел) = П,'.А (Е,) = Оза',Ег = а',О',ЩЕ1 = бгЕ., Гл 3. Преобразование базисов и координат 116 откуда озз = сг,'до,'. (2) Замечание. Полученную формулу можно записать так: А = ВАо. Следовательно, г1е1А = г1еЬВг1еЬАг1е1о = де1А, т.е. определитель матрицы линейного оператора ие зависит от выбора базиш. 3. Линейная форма. Определение 1.
Числовая функция (т. е, функция, значениями которой являются числа) векторного аргумспгпа А(х) называется линейной формой, если: 1' длл любых х, у А(х + у) = А(х) + А(у): 2' для любого х и любого числа Л А(Лх) = ЛА(х). Пусть А(х) линейная форма в 1 ". Имеем: А(х) = А(х'е;) = А(е,)х' = а,х'. Числа а, = А(е,) называются коэффициентами линейной формы в базисе (е,).
Выясним, как они преобразуются при переходе к новому базису. Имеем а, = А (е,) = А (и,'е,) = огА (е,) = о,'а,. Итак, (3) — 3 а; =о,а„ т. с. коэффициенты линейной формы преобразуются с помощью матрицы о (как базис), а не с помощью матрицы )1 (как координаты вектора). Определение 2.
Числовая функция нескольких векторных аргументов называется линейной по одному из пих, если при фиксированных значениях осгп льиых аргументов она лвллстся линейной формой. Определение 3. Числовая функция двух вектпориых аргументов пазываепюя билинейной формой, если она линейно по казкдому из них. Пусть В(х, у) — билинейная форма. Имеем: В(х,у) = В(х'е,, узе.) = В(е,, узе )х' = В(е„е )х'уз = Ь; х'уз. Матрица с элементами Ьм — — В(еы е, ) называется матрицей б линейной формы в базисе (е 1. Выясним, как она преобразуется при переходе к новому базису.
Имеем: Ь„= В(Е„Е1) = В (ОЕЕ„О,"Ег) = О,'В (Е,, О,"Ег) = Итак, = сг,'о" Ь,„. (4) Эта формула похожа на формулу (5) преобразования матрицы линейного оператора, но в ней матрица о фигурирует дважды, а в формуле (5) фигурируют матрицы о и,З. 117 Тензори Замечание. Точно так же можно ввести понятие полилинейиой формы — числовой функции нескольких векторных аргументов, линейной по каждому из них. Рассуждая аналогично, можно назвать числа р„„ = Р (е„, ..., е,„) координатами полилинейной формы в базисе (ее), а саму форму записать так: Р(хы ...,хь) = рч мя"...ле«.
Ясно, что при переходе к новому базису координаты полилинейной формы будут преобразовываться следующим образом; (5) «ь р„„= а,.... а,.„'р„ 'й' 3. Тензоры 1. Определение тензора. Прежде чем дать определение тензора, обсудим несколько вопросов общего характера. Ранее огмечалосгч что теорема об изоморфизме двух линейных пространств одинаковой размерности позволяет при изучении свойств абстрактного линейного пространства реально рассматривать вместо него любую из его ингерпретаций, в частности геометрическую (вектор — направленный отрезок) и алгебраическую 1вектор —. набор чисел). Именно параллельное рассмотрение указанных интерпретаций в наибольшей мере способствует эффективному построению линейной алгебры.
Например, то, что размерность образа линейного оператора не превосходит размерности его области определения, отнюдь не очевидно геометрически, но очевидно алгебраически — ранг матрицы не превосходит количества ее строк. С другой стороны, то, что ранг произведения операторов не превосходит рангов сомножителей, почти очевидно геометрически 1вспомним рисунок), но далеко не очевидно алгебраически. Идея параллельного рассмотрения геометрической и алгебраической интерпретации вектора как рвз и лежит в основе понятия тензора. При изучении геометрического объекта методом координат мы фактически заменяем его новым обьектом: «геометрический объект е система координата.
Поэтому итогом нашего исследования является информация об этом новом объекте, а не об исходном. Тем самым, на последнем этапе всегда возникает задача о разделении полученной информации на чисто геометрическую и ту, которая привнесена специальным выбором системы координат. Иногда эта задача оказывается весьма сложной. Один из способов ее решения состоит в том, чтобы все время оперировать только такими объектами (их и называют тензорами), которые, в определенном смысле, не зависят от выбора системы координат. Поясним, о чем идет речь.
Если интерпретировать вектор как набор чисел, то он, конечно, будет зависеть от выбора системы координат. Однако вектор — направленный отрезок — от выбора системы координат, очевидно, не зависит. Но с этой точки зрения такие объекты, как линейный оператор, линейная, билинейная и полилинейная форма также не зависят от выбора Преобразование базисов и координат системы координат —. их можно интерпретировать как функции ог направленных отрезков.
Все эти объекты и называются тснзорами. С алгебраической точки зрения вектор, линейный оператор, линейная, билинейная и полилинейная форма — это наборы чисел, преобразующиеся при переходе к новому базису по формулам 13) — 17). Рассмотрение этих формул приводит нас к следующему определению. О п р е д ел е н и е. Геометрический объект, задаваемый в каждом бгьзисе пространства Ь" совокупностью пг~ ч чисс, называетсяр раз кввариантным и $7 раз контравариантиым теизором, если при переходе к новому базису зти числа преобразуются так; 1 Зг" Зч »1 «Рагг ЗЗ«1Р1 ...$., $1-Лр $1 ' ' ' $» »1 ' ' Рч '$1..$»' В этих формулах матрица сз встречается р раз, а матрица Д вЂ” д раз, чем и объясняется название «р раз ковариантный и д рвз контравариантный тензор».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
