С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Доказательство. Допустим, что векторы еыег, ...,е„линейно независимы, и рассмотрим произвольный вектор х. Поскольку размерность пространства равна и, то векторы х,е„еа, ...,е„линейно зависимы. Следовательно, существуют такие числа Ло, Лм ..., Лч, не обращаюгциеся в нуль одновременно, что Лох + Лге1 + ... + Л„еп = о, причем Ло отлично от нуля (иначе оказалось бы, что векторы еы ез, ..., е„линейно зависимы). Но тогда обе части этого равенства можно умножить на 1/Ло и получить разложение вектора х по векторам еы ег, ..., еп. Итак, векторы ем ею ..., е„линейно независимы, н любой вектор х пространства 1 может быть по ним разложен.

Теорема доказана. Теорема 2, сдали в линейном пространстве Ь существует базис из п векторов, то зто пространство — п-мерное. и-мерное линейное пространство Доказательство. Допустим, что векторы еыея, ...,е„образуют базис линейного пространства 1. '!ем самым в этом проегрансгве существует п линейно независимых векторов (векторы еы ез, ..., е„).

Осталось доказать, что любые (и + 1) векторов линейно зависимы. Пусть иы из, ..., и„ч л — произвольные векторы пространства Ь. Разложим каждый из них по базису еы ез,..., е„: Ил = дыел +... + дгоен Кн.~л = д)нлцгел +... + д)о Поен Ранг матрицы С не превосходит количества и ее столбцов, поэтому ее строки (их и + 1) линейно зависимы. Следовательно, векторы иы ию ..., ио.лл также линейно зависимы. Теорема доказана. Определение 2. Козфд)ициенты разложен л вектора по базису (г.е.

числа, фигурирующие в этом разложении), пазываютсл координатами вектора в этом базисе. Координаты вектора в данном базисе определлкппсл сдшктвснным образом это утверждение доказывается точно так же, как в аналитической геометрии (п. 4 ~ 4 гл. 1 ч. 2). Тот факт, что вектор х имеет координаты хы хю ..., х„, условимся, как и прежде, обозначать так: х = (хы хз, ..., х„). Тоо рема 3. 1' Если х = (хм хз, ..., хн), у = (уы ую ..., Уо), то х+ у = (хл + +дыха+Ул .

хо+У~)' 2' если х = 1хыха, .,.,х„), то Лх = (Лх1, Лхз, ..., Лх„). Доказательство. Имеем: 1' х + у = хлел + ... + х„е„+ + улел + ... + У„ен = (хл + ул)ел + ... + (х„ + ун)ен; 2' Лх = Л(хлел + ... + хне„) = (Лхл)ел -г ... + (Лх„)ен. Теорема доказана. 2. Примеры. П р и м е р 1. Ясно, что размерность пространства векторов направленных отрезков на прямой, на плоскости и в пространстве равна соответственно 1, 2 и 3. П р и м е р 2. Ясно также, что сйш )л" = сйш С" = п.

П р и м е р 3. Размерность линейною пространства — множества всех (т х и)-матриц равна тлп, поскольку оно отличается от )1 "" или С лишь формой записи элементов. Ьазисом в нем являются, например, (т х и)-магрицы, в каждой из которых один элемент равен 1, а все остальные -- О. П ример 4. Если векторы хм ха, ..., хь линейно независимы, то размерность их линейной оболочки равна и, поскольку эти векторы образуют базис в1(х„хю ...,хь).

П ример 5. Множество С(а,б( всех непрерывных на отрезке (а,б) функций не имеет конечной размерности, поскольку, например, степенные функции 1,х,х, ...,х", ... линейно независимы (напомним, что многочлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его Гл 1. Конечномерное линейное пространство коэффициенты равны нулю), а их бесконечно много. Линейные пространства, не имеющие конечной размерности, изучаются в специальном разделе математики, называемом «функциональный анализ».

П р и м е р 6. Найдем размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Напомним, что каждое решение предсчавляет собой набор из и чисел (хч, хч, ..., х„, сч, сч, ..., с„„) (здесь г ранг матрицы системы, и — количество неизвестных), где числа сч, сз,..., сп могут быть выбраны произвольно, а числа хч, хз, .,,, хг по выбранным сч,сз, ...,с„г находятся однозначно. Полагая сначала сг = 1, сз =О, ...

«с„,=О,затемсч =О,сч =1, ...,сп, =Опт.д.,мыполучим (и — г) решений. При этом любое решение (хы хч, ..., х„, сы са, ..., с„ данной системы представляет собой их линейную комбинацию с коэффициентами сг, ся, ..., с„„и, сверх того, они линейно независимы (поскольку равенство (хм ха, ...,х„,сч, сч, ..., с„„) = (О, ...,0) возможно лишь при сч = сз =... = с„, = 0). Таким образом, указанные решения образуют базис в пространстве решений, а значит размерность этого пространства равна п — т Любой базис в пространстве решений однородной системы линейных уравнений называется фунда ентальной совокупностью решений этой системы. 3. Изоморфизм. Определение.

Линейные пространства 1 и 1' называются изоморфнымщ если между их элемептама можно установи«пи такое взаимно од»«означиое соответсгпвие х «-» х', что: 1' если х «-» х', у «-» у', то х + у «-» х' + у', 2' если х «э х', то Лх «э Лх'. Само это соответствие называется изоморфизмом. Замечание.

При изоморфизме нулевой элемент пространства 1 переходит в нулевой элемент пространства 1.'. В самом деле, если х «э х', то Ох = о «-» Ох' = о'. Теорема 1. Если пространства Ь и 1' изоморфны, то «11ш1 = ойш?', Доказательство. Допустим, что пространства 1 и 1' изоморфны, ойп«К = и. Пусть хч,хч, ...,хп — произвольные линейно независимые векторы пространсгва Ь. Тогда соответствующие им векторы хых!~, ...,х'„чакже линейно независимы, поскольку если их линейная комбинация равна о', то соответствующая ей линейная комбинация векторов хч, хч,..., х„равна о. С другой стороны, любые (и + 1) векторов пространства 1 ' линейно зависимы, чак как соответствующие им векчоры пространства 1 линейно зависимы.

Следовательно, айша' = п. Теорема доказана. Теорема 2. Любые два линейных прострапсгпва над одним и тем же полем и одинаковой размер««ости изоморфны. Доказательство. Пусть еыеч,...,е„и е'ыеч, ...,е'„— базисы в пространствах 1 и Ь' соответственно. Поставим в соответствие произвольному элементу х = хчег + хчеч +...

+ х ев пространства Ь элемент х' = х«е'ч+хчез+... + хве'„пространства Ь«. Это соответствие, очевидно, 91 п-мерное линейное пространство взаимно однозначное, а значит, как следует из теоремы 3 и. 1, является изоморфизмом. Теорема доказана. Замечание 1. Эта теорема позволяет вместо абстрактного конечно- мерного линейного пространства рассматривать любую его модель, т. е. любой конкретный пример линейного прас гранства (например, Кь или Сь). При этом все результаты, полученные в рамках этой модели, будут автоматически переноситься на абстрактное линейное пространство той же размерности или любую его модель. Замечание 2. К любой системе аксиом обычно предъявляют три требования: непротиворечивость, полнота и независимость.

Непротиворечивость означает, что ни одна из аксиом не противоречи г остальным аксиомам. Применительно к аксиомам Вейля это требование, очевидно, выполнено, иначе ей не могли бы удовлетворять векторы— направленные отрезки. Полнота означает, что все модели данной системы аксиом изоморфны, т.е. между любыми основными объектами любых двух из них можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее основные отношения между ними. Тем самым теорему 2 можно сформулировать так: сисгпема аксиом и-мерного линейного пространства полна Наконец, система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом не может быть выведена из других как теорема.

Этому требованию аксиомы Вейля не удовлетворяют. В самом деле, если к полной системе аксиом добавить новые аксиомы, не описывающие новых основных понятий, то она станет либо противоречивой, либо зависимой — в противном случае можно было бы указать две неизоморфные друг другу модели исходной, полной системы аксиом. Из этого, в частности, следует, что аксиомы П! группы не могут быть аксиомами, поскольку новых основных понятий они не описываюг. Более того, даже вопрос о независимосги аксиом 1 группы (линейного пространства) оказывается не вполне ясным. Как мы увидим в конце курса, при наиболее естественной трактовке аксиомы 4' аксиома 1' является теоремой, а не аксиомой! 4.

Линейное дополнение. Определение 1. Пересечением Ьг О Ьз двух линейных подпространств 1 г и Ьз линейного прострапсеава Ь" называется мнозюество всех векторов пространства Ь, принадлежащих как 1 ы так и Ьг. Теорема 1. Пересечение двух линейны с надпространств являетпся линейным подпространством. Доказательство. Если х,у а Ьг О Ьз, то х,у й Ь1 и х,у б Ьз, поэтому х+у Е Ьг и х+у Е Ьэ, т.е. х+у Е Ьг ОЬг, если х Е Ь1 ПЬг, то х Е Ьг и х С Ьз, поэтому Лх Е Ь, и Лх Е Ьг, т.е. Лх С Ь| О Ьг. Теорема доказана. Теорема 2. Пусть еы ...,еь — базис подпротаранства Ь„ аы..., и — базисподпространства1г.

Векторы ем ...,еь,пы...,й линейно независ мы тогда и только тогда, когда Ь, О Ьа = о. Доказательство. Рассмотрим равенство Лег+...+Льеь=дгй1+ ..+р а Гл 1. 92 Конечномерное ли ейное пространстпво Левая часть этого равенства представляет собой вектор х, пространства Ьт, а правая -- вектор хг пространства Ьг. Если векторы еы ...,еь,ит, ...,ить линейно независимы, то равенство (1) возможно лишь при Лл = рл = О, т.е, когда хт = хг = о, а значит, Ьт О Ьг = о.

Обратно, если Ьт С Ьг = о, то равенство хт = хг возможно лишь при хт = хг = о, т.е. равенство (1) возможно лишь при Л, = р = О. Следовательно, векторы ет, ..., ею иы..., и линейно незанисимы. Теорема доказана. Определение 2. Говорят, что пространство Ьь представляет собой пр мую сумму Ьт 6~ Ьг двух своих линейных надпространств 1 т и 1 ш если любой вектпор х пространства 1 "' можета быть единставенным образом представлен в виде суммы хт + хг, где хт Е Ьт, хг й Ьг. Т е о р е м а 3. Ь" = 1 т Э Ьг пюгда и тполько тогдщ когда совокуппость базисов надпространств 1 т и 1 г образует базис пространства Ь".

Характеристики

Список файлов книги