С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 15
Текст из файла (страница 15)
~эх =а: 7' при а ) 0 это уравнение описывает две параллельные прямые х = = ~~/а; 8' при а = 0 зто уравнение описывает одну прямую х = О. Наконец, при а < 0 это уравнение описывает пустое множество, которое уже вошло в нашу классификацию. Итак, всякая кривая второго порядка представляет собой одпо иэ восьми м~охссств точек: эллипс, гипербола, парабола, две пересеюпощиеся прямые, дее пара ельные пр мыс, одна прямая, точка, пустое множество. Замечание. Ясно, что при растяжении плоскости в каком-либо направлении тип каждой из указанных восьми кривых не меняется. 8 3.
Поверхности второго порядка 1.Уравнение поверхности второго порядка. Определение. Поверхностью второго порядка называется множесгаво всех точек М~хыхз, хз), координаты которых удовлетворяют уравнению аыхз + аззхз + аззхз + 2аззхзхз + 2аззхгхз + 2 2 з + 2аззхзхз + 261хг + 26зхз + 26зхз + с = 0 при аы + азз + азз + аш + а1з + азз г- О. 2 2 2 2 2 2 3 а м е ч а н и е. Нетрудно видеть, что сечением поверхности второго порядка плоскостью может быть только кривая второго порядка или сама эта плоскость.
В самом деле, при соответствующем выборе системы координат уравнение указанной плоскости примет вид хз = О, а уравнение сечения поверхности вид аыхз + аззхз + 2аззхзхз + 26|хз + 2Ьзхз + с = О. 2 з Если аы + азз + а,з т': О, то сечением будет кривая второго порядка.
3 3 2 В противном случае — либо прямая, либо пустое множество, либо вся плоскость. Это и доказывает утверждение, поскольку прямая и пустое множество — кривые второго порядка. Линии и поверхности второго порядка азхзг+ агхгг+ азхзг+ 2Ь1хг+ 2Ьгхг+ 2Ьзхз+ с = О. (1) Это угверждение и на самом деле оказывается нерным, но доказагь его путем подбора углов Эйлера очень трудно.
Поступим иначе. Полагая а, = а О заметим, прежде всего, что выражение з г 1 г г аых1+ аггхг+ аззхз+ 2ашхгхг + 2агзхзхз + 2агзхгхз = ~~ а, хгху го=1 можно переписать так: 3 з з г,ч.с., = г (~,„,;),, =)А «). ),1=-1 Далее, поскольку аз. = а „то з 3 (Ах у) = с) а, х,у = ~~3 аг,у х, = (Ау х). го=1 Перейдем теперь к решению нашей задачи.
Попробуем сначала отвегить на такой вопрос: как должен быть направлен вектор е), чтобы з в системе координат Охзх'гхз выражение 2 а,.хзх приняло вид зй=1 -г ) ) )г ) )г ) ),) а1х1 + (аггхг + а ззхз + 2а гзхгх 3) ° (2) Представим вектор х в виде х = х)е) + х ге!г+ х зе!3. Поскольку Ах = = хгАе1 + х',Ае', + х',Ае,', то (Ах х) = (Ае, ег) хзг+ 2(Ае) ег) хгх', + 2(Ае1 ез)хгхз-)- + (Ае'„е'„) хгг + 2 (Ае'г . ез) х'гх!3 + (Ае'3 е)3) х'3. Мы хотим, чтобы выражения (Аез е)г) и (Ае) ез) обратились в нуль. Для этого векторы Аез и е, должны быть коллинеарными, т. е. Аег = Лег, или, что то же самое, (А — ЛЕ)е1 = о. Эта однородная система имеет нетривиальное решение е1 тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, гге.
когда число Л удовлетворяет кубическому уравнению Наша цель состоит в том, чтобы классифицировать все поверхности второго порядка. Для этого постараемся, перейдя к новой системе координат, максимально упростить данное уравнение. Как мы помним, такой переход осуществляется при помощи поворотов на углы Эйлера и параллельного переноса. Начнем с поворотов. В нашем распоряжении имеются три угла Эйлера. Поэтому представляется весьма правдоподобным, что подбором этих углов удастся обратить в нуль три коэффициента при произведениях разноименных координат, т. е. привести данное уравнение к виду Поверхности второго породив гГе1(А — ЛЕ) = О. Поскольку кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один нещественный корень Ло, то при Л = Ло рассматриваемая система имеет нетривиальное решение ег.
Принимая вектор ег за первый координатный вектор новой системы координат, мы и приведем выражение 3 а;.х;х к виду (2). Теперь (точно так же, как это делалось применигз=г тельно к кривым второго порядка) поворотом в плоскости Ох' х' можно привести исходное ураннение к виду (1) (нетрудно заметить, что с = с, однако для наших целей зто не важно).
В нашем распоряжении остается еще параллельный перенос. Без ограничения общности будем считать, что ~а~~ > (аз > ~аз~ (в противном слУчае оси кооРдинат можно пеРеобозначить). Ясно, что аз + аз з+ аз зф О. Поэтому представляются возможными три случая. 1. аг, аг, аз т': О. Полагая хг = х — Ьг)аг, хз = у — Ьз(аз, хз = з— — Ьз/аз, приведем уравнение (1) к виду азха+ азУ + азль + с' = О. Таким образом, зтот случай распадается на два: 2 2 3 г х у 1г при с ф- О уравнение (1) принимает вид — + — + — = 1; а Ь с 1з при с' = О уравнение (1) принимает вид — + — + — = О.
х у а Ъ с 6г Ьз П. аг, аз т'- О, аз = О. Полагая хг —— х — —, хз = у — —, приведем аг аз ураннение (Ц к виду аг х + аздз + 26зхз + с' = О. Этот случай распадается на три; Пг при Ьз ф О, полагая хз = з —, получим уравнение вида 2Ьз — + — =з; у а Ь х' у' Пз при Ьз = О, с' ф О уравнение приводится к виду — + — = 1; а Ь 2 2 Пз при Ьз = О, с' = О уравнение принимает вид + = О.
а Ь Ь Ш, аг т'. -О, аз = аз = О. Г!олагвя хг = х — —, приведем уравнение (1) аг к виду агхз + 26зхз + 26зхз + с' = О. Гл 4. Линии и поверхности второго порядка 76 Этот случай распадается на два: П1г при Ьз т+ Ьг г~ О сделаем сначала поворот хг = у' сов зг — г' з1п ьэ ( хз = у' з1п зг + г' соз р ) и подберем угол сг так, чтобы коэффициент при г' обратился в нуль. Для этого, как нетрудно видеть, достаточно положить р = О при Ьз = О или с!8 Р = Ьз(Ьз пРи Ьз ф О. В РезУльтате полУчитсЯ УРавнение агх + ЬУ' + + с' = О„где Ь ф О. Параллельным переносом у' = у — с'/Ь оно приводится к виду х~ = ау, где а ф О; П!з при Ьг = Ьз = О уравнение принимает вид хз = а.
Итак, уравнение (1) распадается на семь случаев. 2. Цилиндры. Рассмотрим кривую, лежащую в плоскости, и через каждую ее точку проведем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Поверхность, образованная проведенными прямыми, называется иилиндром. Указанные прямые называются вбразующилги цилиндра., а исходная кривая — его направляющей. Можно сказать иначе: направляющая цилиндра — это его сечение плоскостью, перпендикулярной к образующей. Из этого следует, что сели среди поверхностей второго порядка есть цилиндры, то их не более, чем кривых второго порядка, т.е, не более 8. С другой стороны, все уравнения, в которые не входит переменная х (случаи Пз, Пз, П1ы П1з), являются, очевидно, уравнениями цилиндров с образующими, параллельными оси О (поскольку переменная г может принимать произвольные значения).
По внешнему виду указанные уравнения иден гичны уравнениям всех кривых второго порядка (случаи 1ы !з, Пы Пт предыдущего параграфа). Поэтому цилиндров второго порядка ровно восемь: 1' эллиптический ц линдр (направляющая — эллипс); 2' гипербвличесниг1 и,илиндр (направляющая — гипербола); 3' параболический цилиндр (направляющая — парабола); 4' две пересекающиеся нлвскостпи (направляющая две пересекающиеся прямые); 5' две пара ельные плоскости (направляющая — две параллельные прямые); 6' одна плоскость (направляющая одна прямая); 7' прлмвл (направляющая точка); 8' пустое .множество (направляющая -- пустое множество).
3. Конусы. Рассмотрим кривую, лежащую в плоскости, и точку, не лежащую в этой плоскости. Через эту точку и каждую точку кривой проведем прямую. Поверхность, образонанная проведенными прямыми, называется конусом. Указанные прямые называются образующими конуса, исходная кривая его наврав лющей, а исходная точка вершиной конуса. Ясно, что среди поверхностей второго порядка конусов не более, чем кривых второго порядка, т.
е. не более 8. С другой стороны, все поверхности, Поверхности второго порядка 77 описываемые уравнением г г х у г — + — + — =0 а Ь с (случай 1г), являются конусами с вершиной в начале координат. В самом деле, как видно из уравнения, вместе с каждой точкой (хв, ув, гв), отличной от начала координат, рассматриваемая поверхность целиком содержит прямую х = Схв у = Суо г = Сго проходящую через эту гочку (при С = 1) и начало координат (при С = О).
Представляются возможными два случая: а) числа а, Ь и с имеют один и тот же знак; в этом случае нашему уравнению удовлетворяют координаты единственной точки начала координат; б) знак одного из чисел а, Ь и с противоположен знаку двух других (без ограничения общности можно считать, что а,Ь > О, а с ( О) и, следовагельно, наше уравнение имеет вид г х у Поверхность, описываемая этим уравнением, называется конусом второго порядка.
Итак, мы нашли еще две поверхности второго порядка: 9' одна точка; 10' конус впюрого порядки. Первая из этих поверхностей представляет собой конус, направляющей которого является пустое множество. Образующей конуса второго порядка является, например, сечение плоскостью г = 1, представляющее собой эллипс с полуосями а и Ь. Поэтому конус второго порядка можно назвать также эллиптическим конусом. При а = Ь = 1 он предо~валяет собой прямой круговой конус с прямым углом при вершине: х +у Ясно, что в общем случае конус второго порядка может быть получен из прямого кругового конуса с прямым углом при вершине равномерным растяжением в а раз вдоль оси Ох и в Ь раз вдоль оси Оу (т. е.
преобразованием х — с (1,Са)х, у э (1 сЬ)у). Выясним, что представляет собой сечение прямого кругового конуса с прямым углом при вершине плоскостью, не проходящей через вершину. Для этого поступим так; сначала повернем систему координат на угол р, полагая х = хсовсо — гвш р ( г = хв1псо+ гсовсо )( !"л 4. Линии и поверхности второго порядка а затем рассмотрим сечение плоскостью г = ге. В результате в плоскости г = ге получим уравнение х~ сов 21о — 2хгоз1п2~р+ у = го сов 2уь При соз 2о = О это уравнение представляет собой уравнение параболы. Если жс соз 2«э ~ О, то, разделив на него, приведем полученное уравнение к виду Ясно, что при сов 2р > О полученное уравнение представляет собой уравнение эллипса, а при сов 2»о < Π— уравнение гиперболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
